Основы спектральной теории ограниченных операторов в банаховых пространствах

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Используя задачу 9.39, доказать, что $\rho (A)$ — открытое множество (следовательно, $\sigma (A)$ — замкнутое множество) в $\mathbb {C}$.

С помощью задачи 9.39 доказать, что спектр ограниченного оператора $A$ расположен внутри круга $\left\{ \lambda \in \mathbb {C}:\left|\lambda \right| \leqslant \left\| A\right\| \right\}$. Доказать, что при $\left|\lambda \right| > \left\| A\right\|$ резольвента задаётся в виде ряда К. Неймана:

Доказать теорему 12.1.

© Пусть $\lambda , \mu \in \rho (A)$. Доказать тождество Гильберта для резольвент:

Используя это тождество, доказать, что

Пусть $\lambda_{0}, \lambda \in \rho (A)$. Доказать, что если $\left|\lambda -\lambda_{0}\right| < \frac{1}{\left\| R_{\lambda_{0}}(A)\right\| }$, то

Доказать, что $R_{\lambda }(A)$ является

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)(X \neq \left\{ 0\right\} )$. Доказать, что спектр $A$ не пуст.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X), \lambda \in \sigma (A)$ и существует $c > 0$ такое, что $\left\| A x-\lambda x\right\| > c\left\| x\right\|$ для всех $x \in X$. Используя задачу 9.49, доказать, что $\lambda \in \sigma_{\mathrm{r}}(A)$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что если для точки $\lambda \in \mathbb {C}$ найдётся последовательность Вейля, то $\lambda \in \sigma (A)$. Доказать, что если $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}(A) \cup \sigma_{\mathrm{c}}(A)$, то для неё найдётся последовательность Вейля (см. также задачу 12.23).

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ — обратимый оператор. Доказать, что $\lambda \in \sigma (A)$ тогда и только тогда, когда $1 / \lambda \in \sigma \left(A^{-1}\right)$. Доказать это утверждение с заменой $\sigma$ на $\sigma_{\mathrm{p}}, \sigma_{\mathrm{c}}$ и $\sigma_{\mathrm{r}}$. Доказать, что собственные векторы операторов $A$ и $A^{-1}$, отвечающие собственным значениям $\lambda$ и $1 / \lambda$, совпадают.

Доказать, что спектр обратимого изометрического оператора, действующего в нормированном пространстве, лежит на единичной окружности. Доказать, что спектр унитарного оператора, действующего в гильбертовом пространстве, лежит на единичной окружности. Найти резольвенту этих операторов для $\lambda \in \mathbb {C}$, $\left|\lambda \right| \neq 1$.

Пусть $X = X_{0} \oplus X_{1}$ — банахово пространство, представленное в виде прямой суммы двух своих замкнутых подпространств, а $P \in \mathcal{B}(X)$ — проектор на $X_{0}$ вдоль $X_{1}$. Найти и классифицировать его спектр. Найти его резольвенту.

(Р. С. Филлипс, 1955). Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что $\sigma (A) = \sigma \left(A^{\prime }\right)$.

(Р. С. Филлипс, 1955). Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что [^fn1] $\sigma (A) = \overline{\sigma \left(A^{*}\right)}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что если $\lambda \in \sigma_{\mathrm{r}}(A)$, то $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}\left(A^{\prime }\right)$; если $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}(A)$, то $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}\left(A^{\prime }\right) \cup \sigma_{\mathrm{r}}\left(A^{\prime }\right)$; если $\lambda \in \sigma_{\mathrm{c}}(A)$, то $\lambda \in \sigma_{\mathrm{c}}\left(A^{\prime }\right) \cup \sigma_{\mathrm{r}}\left(A^{\prime }\right)$.

Пусть $X$ — рефлексивное банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что $\sigma_{\mathrm{c}}(A) = \sigma_{\mathrm{c}}\left(A^{\prime }\right), \sigma_{\mathrm{r}}\left(A^{\prime }\right) \subset \sigma_{\mathrm{p}}(A)$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что если $\lambda \in \sigma_{\mathrm{r}}(A)$, то $\bar{\lambda } \in \sigma_{\mathrm{p}}\left(A^{*}\right)$, если $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}(A)$, то $\bar{\lambda } \in \sigma_{\mathrm{p}}\left(A^{*}\right) \cup \sigma_{\mathrm{r}}\left(A^{*}\right)$, если $\lambda \in \sigma_{\mathrm{c}}(A)$, то $\bar{\lambda } \in \sigma_{\mathrm{c}}\left(A^{*}\right)$.

Найти спектры следующих операторов (с классификацией) и вычислить их резольвенты:

Найти спектры операторов $A$ и $A^{*}$, если $A$ действует в $l_{2}(\mathbb {Z})$ следующим образом: $(A x)_{n} = x_{n+1}$ при $n \geqslant 0,(A x)_{n} = 0$ при $n < 0$.

Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту оператора $(A x)(t) = \int_{0}^{t} x(s) d s$ в пространствах:

Найти спектр, спектральный радиус и резольвенту оператора $A: l_{p} \rightarrow l_{p}, p \in [1, \infty )$ :

Найти спектр и резольвенту следующих операторов:

Привести примеры ограниченных операторов в банаховых пространствах, показывающие, что для числа $\lambda \in \mathbb {C}$, лежащего в остаточном спектре, последовательность Вейля может существовать, а может и не существовать (ср. с задачей 12.9).

С помощью задач 8.75, 8.77 доказать, что у нормальных операторов остаточный спектр отсутствует.

(Г. Вейль, 1910). Пусть $A$ — нормальный оператор. Доказать, что $\lambda \in \sigma (A)$ тогда и только тогда, когда существует последовательность Вейля.

Доказать, что у самосопряжённого оператора спектр вещественный.

Доказать, что если спектр нормального оператора вещественный, то этот оператор самосопряжён.

Доказать, что если спектр нормального оператора лежит на окружности $\left\{ z \in \mathbb {C}:\left|z\right| = 1\right\}$, то этот оператор унитарен.

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $\sigma_{\text{ess }}(A) \backslash \sigma_{\mathrm{p}}(A) = \sigma_{\mathrm{c}}(A)$.

Пусть $A$ — ограниченный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что если для оператора $A-\lambda I$ существует ортонормированная последовательность Вейля, то $\lambda \in \sigma_{\text{ess }}(A)$.

Найти существенный спектр для следующих операторов:

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$ и $A = A^{*}$. Определим числа $m: = \inf_{\left\| x\right\| = 1}(A x, x)$ и $M: = \sup_{\left\| x\right\| = 1}(A x, x)$. Доказать, что $\sigma (A) \subset [m, M]$ и обе точки $m$ и $M$ лежат в спектре.

Используя задачу 8.52, доказать, что для любого ограниченного оператора $A$ в гильбертовом пространстве $\sigma \left(A^{*} A\right) \subset \subset \left[0,\left\| A\right\|^{2}\right]$, причём точка $\left\| A\right\|^{2}$ лежит в спектре.

Доказать, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны для:

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — нормальный оператор. Доказать, что $r(A) = \left\| A\right\|$ (см. задачу 8.78).

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X), B \in \mathcal{B}(Y)$ подобные операторы (см. определение 9.4). Доказать, что $\sigma_{\mathrm{p}}(A) = \sigma_{\mathrm{p}}(B), \sigma_{\mathrm{c}}(A) = \sigma_{\mathrm{c}}(B)$ и $\sigma_{\mathrm{r}}(A) = \sigma_{\mathrm{r}}(B)$ (отсюда следует, что $\sigma (A) = \sigma (B))$.

Привести пример двух не являющихся подобными операторов $A$ и $B$ в банаховом пространстве с одинаковыми спектрами: $\sigma (A) = \sigma (B), \sigma_{\mathrm{p}}(A) = \sigma_{\mathrm{p}}(B), \sigma_{\mathrm{c}}(A) = \sigma_{\mathrm{c}}(B), \sigma_{\mathrm{r}}(A) = \sigma_{\mathrm{r}}(B)$ и $\sigma_{\mathrm{ess}}(A) = \sigma_{\mathrm{ess}}(B)$.

С помощью задачи 12.36 найти спектр следующих операторов:

Оператор $A$ в пространстве $L_{2}[0,1]$ задан формулой

Классифицировать спектр, определив $\sigma_{\mathrm{p}}, \sigma_{\mathrm{c}}, \sigma_{\mathrm{r}}$ и $\sigma_{\mathrm{ess}}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что $\sigma (A B) \cup \left\{ 0\right\} = \sigma (B A) \cup \left\{ 0\right\}$. Доказать это равенство с заменой $\sigma$ на $\sigma_{\mathrm{p}}, \sigma_{\mathrm{c}}$ и $\sigma_{\mathrm{r}}$. Доказать, что если хотя бы один из операторов $A$ или $B$ обратим, то операторы $A B$ и $B A$ подобны и, следовательно, $\sigma (A B) = \sigma (B A)$.

Пусть $X$ — банахово пространство и для операторов $A \in \mathcal{L}(X)$ и $B \in \mathcal{L}(X)$ выполнено соотношение $A B-B A = I$. С помощью задачи 12.40 доказать, что один из операторов неограничен.

Доказать, что для любого компакта $\Omega \subset \mathbb {C}$ существует такой нормальный оператор $A$ в гильбертовом пространстве, что $\sigma (A) = \Omega$. Доказать, что любое компактное подмножество вещественной оси является спектром некоторого самосопряжённого оператора. Доказать, что любое замкнутое подмножество единичной окружности является спектром некоторого унитарного оператора.

Доказать, что для любого компакта $\Omega \subset \mathbb {C}$ существует такой оператор А в гильбертовом пространстве, что $\sigma (A) = \sigma_{\mathrm{p}}(A) = \Omega$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $U \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что $U$ является ортогональным отражением тогда и только тогда, когда $U^{*} = U = U^{-1}$. Найти $\sigma (U)$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что если $A$ и $B$ коммутируют, то $R_{\lambda }(A)$ коммутирует с $B$ для всех $\lambda \in \rho (A)$. Доказать, что если $B$ и $R_{\lambda }(A)$ коммутируют для некоторого $\lambda \in \rho (A)$, то $A$ и $B$ коммутируют.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X)$ и $A B = B A$. Доказать, что

Привести пример такой последовательности операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X)$ и такого оператора $A$ в банаховом пространстве $X$, что $A_{n} \rightrightarrows A, \sigma \left(A_{n}\right)$ — единичная окружность, а $\sigma (A)$ — единичный круг.

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X)$ и $A_{n} \rightrightarrows A$.

Найти числовой образ следующих операторов:

Доказать первое утверждение теоремы 12.2: для любого ограниченного оператора $A$ в комплексном гильбертовом пространстве $H$ числовой образ $W(A)$ — выпуклое ограниченное множество.

Доказать второе утверждение теоремы 12.2: для любого ограниченного оператора $A$ в комплексном гильбертовом пространстве $H$ выполнены включения $\sigma (A) \subset \overline{W(A)} \subset \left\{ z \in \mathbb {C}:\left|z\right| \leqslant \left\| A\right\| \right\}$.

Пусть $H$ — комплексное гильбертово пространство, $A$ самосопряжённый оператор. Доказать, что $\overline{W(A)} = [m, M]$, где $m = \inf \left\{ \lambda : \lambda \in \sigma (A)\right\}$, а $M = \sup \left\{ \lambda : \lambda \in \sigma (A)\right\}$. Обязано ли множество $W(A)$ быть замкнутым?

Пусть $H$ — комплексное гильбертово пространство, $A$ самосопряжённый оператор. Доказать, что $\overline{W(A)} = [m, M]$, где либо $M = \left\| A\right\|$, либо $m = -\left\| A\right\|$.

Пусть $H$ — комплексное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$ и для любого $x$ число $(A x, x)$ равно нулю. Доказать, что $A = 0$. Привести пример ненулевого оператора $A$ в вещественном гильбертовом пространстве со свойством $(A x, x) = 0$ для любого $x$.

Пусть $H$ — комплексное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H), w(A): = \sup \left\{ \left|z\right|: z \in W(A)\right\}$. Доказать, что $w(A) \leqslant \left\| A\right\|$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что если $\left|\lambda \right| = \left\| A\right\|$ и $\lambda \in W(A)$, то $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}(A)$.

Доказать, что для нормального оператора $A \in \mathcal{B}(H)$ в гильбертовом пространстве множество $\overline{W(A)}$ совпадает с выпуклой оболочкой спектра $\sigma (A)$.

Найти числовой образ следующих операторов:

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что $0 \in \sigma_{\text{ess }}(A)$.

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$. Опираясь на альтернативу Фредгольма, доказать, что:

Доказать, что ненулевое собственное значение компактного оператора имеет конечную кратность.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что для любого $\delta > 0$ множество $\sigma_{\mathrm{p}}(A) \cap \left\{ z:\left|z\right| > \delta \right\}$ состоит из конечного числа точек, каждая из которых является собственным значением оператора $A$ конечной кратности.

Доказать, что интегральный оператор

является оператором Вольтерра в пространстве

Пусть $A$ — оператор Вольтерра и $\lambda \in \mathbb {C}$. Доказать, что уравнение $(I-\lambda A) x = y$ в банаховом пространстве $X$ разрешимо для любой правой части и любого $\lambda$. Доказать, что решение представимо в виде ряда $x = \sum_{k = 0}^{\infty } \lambda^{k} A^{k} y$.

Решить уравнение $x(t)+\lambda \int_{0}^{t} x(s) d s = y(t)$ (относительно функции $x$ при известной функции $y$) в следующих пространствах:

Пусть $X$ — комплексное бесконечномерное банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ и $\sigma (A) = \left\{ 0\right\}$. Верно ли, что $A$ компактен?

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство. Привести примеры операторов $A \in \mathcal{K}(X)$, для которых

Исследовав собственные значения оператора РиманаЛиувилля в пространстве $L_{2}[0,1]$ с произвольным параметром $r > 1 / 2$ (см. задачу 6.35), доказать некомпактность этого оператора.

Найти собственные значения оператора Харди

в пространствах

Найти собственные значения оператора

в пространстве $L_{p}[0,1](1 \leqslant p < \infty )$.

В пространстве $C[0, \pi ]$ найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора

в случае

В пространстве $L_{2}[-\pi , \pi ]$ найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора

если $K(t, s) = \sum_{n \in \mathbb {Z}} 3^{-\left|n\right|} e^{-i n(t-s)}$.

В пространстве $L_{2}[0, \pi ]$ найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора

если $K(t, s) = \begin{cases} \sin t \cos s & \text{ при } 0 \leqslant t \leqslant s \leqslant \pi , \\ \sin s \cos t & \text{ при } 0 \leqslant s \leqslant t \leqslant \pi .\end{cases}$

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти собственные значения и собственные функции интегрального оператора

если

(Г. Вейль, 1910). Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X), \lambda \in \sigma (A) \backslash \sigma_{\mathrm{p}}(A)$ и $B = A+K$, где $K \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что $\lambda \in \sigma (B)$.

Пусть $T_{r} \in \mathcal{B}\left(l_{p}(\mathbb {Z})\right), p \in [1, \infty )$, — оператор правого сдвига, т. е. $\left(T_{r} x\right)_{n} = x_{n-1}, n \in \mathbb {Z}$. Доказать, что $\sigma \left(T_{r}\right)$ совпадает с единичной окружностью, и построить одномерный оператор $K \in \mathcal{B}\left(l_{p}(\mathbb {Z})\right)$ такой, что $\sigma \left(T_{r}+K\right)$ совпадает с единичным кругом. (См. пример 12.1 и ср. с задачей 12.47).

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X), K \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что равенство $A B-B A = I+K$ невозможно (т. е. компактное возмущение тождественного оператора не может быть коммутатором, ср. с задачей 12.41).

Доказать теорему 12.3.

(Д. Гильберт, 1906; Э. Шмидт, 1907). Доказать, что в сепарабельном гильбертовом пространстве компактный оператор может быть представлен в виде

где $N \leqslant \infty ,\left\{ \psi_{i}\right\}$ — ортонормированный базис, $\left\{ \varphi_{i}\right\}$ — ортонормированная система.

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{K}(H)$. Доказать, что числа $s_{k}(A)$ являются расстояниями от оператора $A$ до множества всех $(k-1)$-мерных операторов, т. е.