Теорема Гильберта—Шмидта

Доказать теорему 12.3.

(Д. Гильберт, 1906; Э. Шмидт, 1907). Доказать, что в сепарабельном гильбертовом пространстве компактный оператор может быть представлен в виде

где $N \leqslant \infty ,\left\{ \psi_{i}\right\}$ — ортонормированный базис, $\left\{ \varphi_{i}\right\}$ — ортонормированная система.

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{K}(H)$. Доказать, что числа $s_{k}(A)$ являются расстояниями от оператора $A$ до множества всех $(k-1)$-мерных операторов, т. е.

В частности, $s_{1} = \left\| A\right\|$.

(Вариационный принцип Куранта-Фишера). Доказать, что для всякого компактного самосопряженного неотрицательного оператора $A$ в гильбертовом пространстве $H$ справедливы равенства

где $\lambda_{n}$ — собственные значения оператора $A$, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности, а минимум берется по всем подпространствам размерности $n-1$.

Пусть $A$ и $B$ — компактные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве и $0 \leqslant A \leqslant B$. Доказать, что $\lambda_{n}(A) \leqslant \lambda_{n}(B)$, где $\lambda_{n}$ — собственные значения, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности.

Пусть $A$ и $B$ — компактные операторы в гильбертовом пространстве $H$, причём $\operatorname {Im} A \subset \operatorname {Im} B$. Доказать, что найдётся такое число $C > 0$, что $s_{n}(A) \leqslant C s_{n}(B)$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right)$ и $\operatorname {Im} A \subset \dot{W}_{2}^{1}[0,1]$. Доказать, что $A \in \mathcal{K}\left(L_{2}[0,1]\right)$ и $s_{n}(A) \leqslant C n^{-1}$ для некоторого $C > 0$ и любого $n \in \mathbb {N}$.

Дана последовательность $s_{k} \geqslant 0, s_{k} \searrow 0$. Доказать, что существует такой оператор $A \in \mathcal{K}\left(l_{2}\right)$, что $s_{k}(A) = s_{k}$ для любого $k \geqslant 1$.

Пусть $H$ — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{K}(H),\left\{ s_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ - $s$-числа оператора $A,\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ произвольный ортонормированный базис в $H$. Доказать, что $\sum_{k = 1}^{\infty } s_{k}^{2} = \sum_{n = 1}^{\infty }\left\| A e_{n}\right\|^{2}$ (т. е. либо оба ряда расходятся, либо оба ряда сходятся и их суммы равны).

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — сепарабельные гильбертовы пространства, $A \in \mathcal{K}\left(H_{1}, H_{2}\right),\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в $H_{1}$. Доказать, что $\left\| A\right\|^{2} \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty }\left\| A e_{n}\right\|^{2}$.

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — сепарабельные гильбертовы пространства, $A \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right),\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в $H_{1}$. Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| A e_{n}\right\|^{2}$ сходится, то $A$ компактен.

Пусть $H$ — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{K}(H)$. Доказать эквивалентность следующих утверждений:

1. $A \in \mathcal{S}_{2}(H)$, т. е. ряд $\sum_{k = 1}^{\infty } s_{k}^{2}(A)$ сходится;

2. для некоторого ортонормированного базиса $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в пространстве $H$ ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| A e_{n}\right\|^{2}$ сходится;

3. для любого ортонормированного базиса $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в пространстве $H$ ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| A e_{n}\right\|^{2}$ сходится;

4. для матричных элементов $a_{j k} = \left(A e_{j}, e_{k}\right)$ оператора $A$ в некотором ортонормированном базисе $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ пространства $H$ выполнено неравенство $\sum_{j, k = 1}^{\infty }\left|a_{j k}\right|^{2} < \infty$;

5. для матричных элементов $a_{j k} = \left(A e_{j}, e_{k}\right)$ оператора $A$ в произвольном ортонормированном базисе $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ пространства $H$ выполнено неравенство $\sum_{j, k = 1}^{\infty }\left|a_{j k}\right|^{2} < \infty$. Доказать, что если оператор $A$ удовлетворяет этим условиям, то суммы всех указанных рядов совпадают.

Пусть $H$ — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. Доказать, что множество $\mathcal{S}_{2}(H)$ является незамкнутым (по норме $\mathcal{B}(H)$) линейным подпространством пространства $\mathcal{K}(H)$.

Пусть $H$ — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. Доказать, что норма в $\mathcal{S}_{2}(H)$ порождается скалярным произведением

где $a_{j k} = \left(A e_{j}, e_{k}\right)$ и $b_{j k} = \left(B e_{j}, e_{k}\right)$ — матричные элементы операторов $A$ и $B$ в произвольном ортонормированном базисе $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ пространства $H$. Доказать, что то же самое скалярное произведение можно задать по правилу

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство. Доказать, что $\mathcal{S}_{2}(H)$ — гильбертово пространство со скалярным произведением, определённым в предыдущей задаче.

Доказать, что оператор $A$ в пространстве $L_{2}[0,1]$ является оператором Гильберта-Шмидта тогда и только тогда, когда

где $K \in L_{2}\left([0,1]^{2}\right)$. Доказать, что отображение $A \mapsto K$ является унитарным изоморфизмом пространств $\mathcal{S}_{2}\left(L_{2}[0,1]\right)$ и $L_{2}\left([0,1]^{2}\right)$ (в частности, $\left.\left\| A\right\|_{\mathcal{S}_{2}\left(L_{2}[0,1]\right)}^{2} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}|K(x, t)|^{2} d x d t\right)$.

Доказать, что всякий ограниченный линейный оператор в пространстве $L_{2}[0,1]$ имеет вид

для некоторой функции $K \in L_{2}\left([0,1]^{2}\right)$.

Доказать, что класс $\operatorname {Sp}(X)$ ядерных операторов в банаховом пространстве $X$ (см. определение 11.2) совпадает с классом $\mathcal{S}_{1}(H)$, если пространство $X = H$ — гильбертово.

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство и $A \in \mathcal{S}_{1}(H)$. Доказать, что для произвольного ортонормированного базиса $\left\{ e_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ ряд $\sum_{k = 1}^{\infty }\left(A e_{k}, e_{k}\right)$ сходится, и его сумма не зависит от выбора базиса $\left\{ e_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$.

Доказать, что для оператора $A \in \mathcal{S}_{1}(H) = \operatorname {Sp}(H)$ справедливы равенства

где $\left\{ e_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — произвольный ортонормированный базис (определение $\left\| A\right\|_{\mathrm{Sp}(H)}$ см. в задаче 11.27).

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство. Доказать, что $\mathcal{S}_{p}(H)$ — линейные подпространства в $\mathcal{K}(H)$ и в $\mathcal{B}(H)$. Доказать, что $\mathcal{S}_{p}(H)$ — незамкнутые двусторонние идеалы в $\mathcal{B}(H)$.

Пусть $A, B \in \mathcal{S}_{2}(H)$. Доказать, что $A B \in \mathcal{S}_{1}(H)$.

Пусть $T$ — интегральный оператор в пространстве $L_{2}[0,1]$, $(T x)(t) = \int_{0}^{1} K(t, s) x(s) d s$, причём $K(\cdot , \cdot ) \in L_{2}\left([0,1]^{2}\right)$ и при почти всех $s \in [0,1]$ функция $t \mapsto K(t, s)$ удовлетворяет условию Липшица: $\left|K\left(t_{2}, s\right)-K\left(t_{1}, s\right)\right| \leqslant C(s)\left|t_{2}-t_{1}\right|$ для всех $t_{1}, t_{2} \in [0,1]$, где функция $C(\cdot ) \in L_{2}[0,1]$. Доказать, что $T$ является ядерным оператором. Доказать, что если функция $K$ ещё и непрерывна на квадрате $[0,1]^{2}$, то $\operatorname {tr}(T) = \int_{0}^{1} K(t, t) d t$.

(Пример Т. Карлемана). Привести пример не ядерного интегрального оператора в пространстве $L_{2}[0,1]$ с непрерывным ядром.

Существуют ли:

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство и $A \in \mathcal{K}(H), A \geqslant 0$. Пусть $\lambda_{k}(A)$ — собственные значения оператора $A$, занумерованные в порядке невозрастания. Доказать, что $\lambda_{k}(A) = s_{k}(A)$.

Пусть $A$ и $B$ — компактные операторы в гильбертовом пространстве $H$, причём $\operatorname {Im} A \subset \operatorname {Im} B$. Доказать, что если $B \in \mathcal{S}_{p}(H)$, то и $A \in \mathcal{S}_{p}(H)$.

Найти норму оператора интегрирования

в $L_{2}[0,1]$ :

Найти полярное разложение $A = W S$ для оператора из задачи 12.105.

Найти нормы операторов в $L_{2}[-b, b]$ :

Найти спектр интегральных операторов в $L_{2}[0, \pi ]$ с ядром

Найти спектр интегральных операторов в $L_{2}[0,1]$ с ядром