Обобщенные функции

На подпространстве $\left\{ \varphi \in \mathcal{D}: \varphi (0) = 0\right\}$ определён линейный функционал $\varphi \rightarrow \int_{\mathbb {R}} \frac{\varphi (t)}{t} d t$. Доказать, что этот функционал непрерывен, и найти все его непрерывные продолжения на всё пространство $\mathcal{D}$.

На подпространстве $\left\{ \varphi \in \mathcal{D}: \varphi (x) \equiv 0\text{ при }\left|x\right| < \varepsilon \right\}$ (число $\varepsilon = \varepsilon (\varphi )$ — своё для каждой функции $\varphi$) определён линейный функционал $\varphi \rightarrow \int_{\mathbb {R}} \exp \left(1 / t^{2}\right) \varphi (t) d t$. Доказать, что этот функционал нельзя продолжить до непрерывного функционала на всём пространстве $\mathcal{D}$.

Привести примеры обобщённых функций, принадлежащих

Доказать, что функционалы $\delta_{a}, \mathcal{P} \frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x \pm i 0}$ лежат в пространстве $\mathcal{D}^{\prime }$.

Доказать, что обобщённые функции $\delta_{a}, \mathcal{P} \frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x \pm i 0}$ сингулярны.

Доказать формулы Сохоцкого:

Определим обобщённую функцию $(x+i 0)^{\lambda }, \operatorname {Re} \lambda > -1$, как предел регулярных обобщённых функций

(где $\arg z \in [0,2 \pi )$) при $\varepsilon \rightarrow +0$. Доказать, что

Пусть $\operatorname {Re} \lambda \leqslant -1, \lambda \neq -1,-2, \ldots$, а $n$ есть целая часть числа $-\operatorname {Re} \lambda$. Для каждой функции $\varphi \in \mathcal{D}$ положим

Доказать, что эти формулы задают обобщённые функции на D. Доказать, что в каждой полосе $-n-1 < \operatorname {Re} \lambda < -n$ эти функционалы могут быть заданы формулами

Доказать, что при фиксированной $\varphi$ функция $g(\lambda ): = \left\langle x_{+}^{\lambda }, \varphi \right\rangle$ голоморфна в области $\mathbb {C} \backslash \left\{ -1,-2, \ldots \right\}$ и, вообще говоря, имеет полюсы первого порядка в точках $-1,-2, \ldots$ Найти вычеты в этих точках.

Доказать, что при фиксированном $\varphi$ функция $g(\lambda ): = \left\langle \left|x\right|^{\lambda }, \varphi \right\rangle$ голоморфна в области $\mathbb {C} \backslash \left\{ -1,-3,-5, \ldots \right\}$ и, вообще говоря, имеет полюсы первого порядка в точках $-1,-3,-5, \ldots$ Найти вычеты в этих точках.

Доказать, что при фиксированном $\varphi$ функции $g_{+}(\lambda ): = : = \left\langle (x+i 0)^{\lambda }, \varphi \right\rangle$ и $g_{-}(\lambda ): = \left\langle (x-i 0)^{\lambda }, \varphi \right\rangle$ голоморфны в $\mathbb {C}$.

Доказать, что если две локально суммируемые функции $f, g \in L_{1, \text{ loc }}(\mathbb {R})$ определяют одну и ту же регулярную обобщённую функцию ($\left\langle F_{f}, \varphi \right\rangle = \left\langle F_{g}, \varphi \right\rangle$ для любой $\varphi \in \mathcal{D}$), то $f(x) = g(x)$ почти всюду на $\mathbb {R}$.

Пусть $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ и $\langle F, \varphi \rangle \geqslant 0$ для любой неотрицательной функции $\varphi \in \mathcal{D}$. Доказать, что найдется такая неубывающая функция $\mu$, что $\langle F, \varphi \rangle = \int_{\mathbb {R}} \varphi (t) d \mu$, где интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса.

Доказать, что всякая обобщённая функция регулярна на дополнении к своему сингулярному носителю.

Найти носитель и сингулярный носитель следующих обобщённых функций:

Доказать, что обобщённая функция $F$ принадлежит $\mathcal{E}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда носитель $F$ лежит на некотором отрезке (то есть компактен).

Доказать, что если функция $f$ имеет вид $f(x) = g(x)\left(1+|x|^{n}\right)$, где $g \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $n \in \mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\}$, то $f$ порождает обобщенную функцию $F_{f} \in S^{\prime }$.

Пусть $W_{2}^{-1}[-\pi , \pi ]$ — пополнение пространства $L_{2}[-\pi , \pi ]$ по норме

Показать, что $\delta_{0} \in W_{2}^{-1}[-\pi , \pi ]$, и найти $\left\| \delta_{0}\right\|_{W_{2}^{-1}[-\pi , \pi ]}$ (ср. с задачей 5.20 а)).

Доказать, что если последовательность функций $\left\{ f_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty } \subset \subset L_{1, \text{ loc }}(\mathbb {R})$ для любого отрезка $[a, b]$ удовлетворяет условиям (1) и (2), то $f_{n}-\delta$-образная последовательность:

1. для любых $a_{1}, b_{1},\left[a_{1}, b_{1}\right] \subset [a, b]$, имеет место неравенство

   $$\left|\int _{a_{1}}^{b_{1}} f_{n} d x\right| < C,$$

   где константа $C$ не зависит от $a_{1}, b_{1}$ и $n$, а зависит только от $[a, b]$;

2. $\int_{a}^{b} f_{n} d x \rightarrow \begin{cases} 1, & \text{ если } 0 \in (a, b), \\ 0, & \text{ если } 0 \notin [a, b].\end{cases}$

Пусть $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ — неотрицательная функция и $\int_{\mathbb {R}} f d x = 1$. Доказать, что $f_{n}(x) = n f(n x)$ является $\delta$-образной последовательностью в $\mathcal{D}^{\prime }$.

Найти предел в $\mathcal{D}^{\prime }$ следующих последовательностей:

Найти предел $F = \lim_{n \rightarrow \infty } F_{n}$ в $\mathcal{D}^{\prime }$ следующих последовательностей:

Верно ли, что любая последовательность непрерывных функций $f_{n}$, сходящаяся поточечно на $\mathbb {R}$ к нулю, сходится к нулю и в $\mathcal{D}^{\prime }$?

Доказать, что регулярные обобщённые функции плотны в $\mathcal{D}^{\prime }$.

Доказать, что регулярные обобщённые функции, порожденные финитными бесконечно дифференцируемыми функциями, плотны в $\mathcal{D}^{\prime }$ (то есть $\mathcal{D}$ плотно в $\mathcal{D}^{\prime }$).

Доказать, что для любой обобщённой функции $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ найдётся последовательность регулярных функций, порожденных функциями из $\mathcal{D}$, которая сходится к $F$ в $\mathcal{D}^{\prime }$. [^fn1]

Пусть $\varphi \in \mathcal{D}, F \in \mathcal{D}^{\prime }$. Доказать, что если $\varphi \cdot F = 0$, то $\langle F, \varphi \rangle = 0$. Верно ли обратное утверждение?

Доказать, что всякая обобщённая функция является пределом обобщённых функций с компактным носителем (иными словами, $\mathcal{E}^{\prime }$ секвенциально плотно в $\mathcal{D}^{\prime }$).

Доказать, что $x^{m} x_{+}^{\lambda } = x_{+}^{m+\lambda }, \lambda \neq -1,-2, \ldots , m \in \mathbb {N}$.

Доказать, что $x^{2 m}|x|^{\lambda } = |x|^{2 m+\lambda }$, а $x^{2 m+1}|x|^{\lambda } = |x|^{2 m+1+\lambda } \operatorname {sign} x$, $\lambda \neq -1,-2, \ldots , m \in \mathbb {N}$.

Решить в $\mathcal{D}^{\prime }$ уравнения:

Доказать, что если функция $f$ абсолютно непрерывна на $\mathbb {R}$, то $\left(F_{f}\right)^{\prime } = F_{f^{\prime }}$. Доказать правило Лейбница: если $f \in \mathcal{E}$, а $F \in \mathcal{D}^{\prime }$, то $(f F)^{\prime } = f^{\prime } F+f F^{\prime }$.

Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{k \in \mathcal{K}}$ — последовательность действительных чисел, занумерованная в порядке возрастания, $\mathcal{K} = \left\{ 1, \ldots , n\right\}$, либо $\mathcal{K} = \mathbb {N}$, причём последовательность $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ не имеет конечных точек накопления. Пусть функция $f$ абсолютно непрерывна на каждом промежутке $\left(x_{k}, x_{k+1}\right)$ и имеет в точках $x_{k}$ разрывы первого рода, $h_{k}: = f\left(x_{k}+0\right)-f\left(x_{k}-0\right)$. Доказать, что $f_{\text{обобщ. }}^{\prime } = f_{\text{классич. }}^{\prime }+\sum_{k \in \mathcal{K}} h_{k} \delta_{x_{k}}$.

Вычислить производную следующих обобщённых функций:

Вычислить вторую производную следующих обобщённых функций:

Вычислить $n$-ю производную $x_{+}^{\lambda }$ при $-1 < \operatorname {Re} \lambda < 0$ (определение $x_{+}^{\lambda }$ см. в задаче 16.8).

Доказать, что носитель производной любой обобщённой функции $F$ является подмножеством носителя $F$.

Найти порядок сингулярности обобщённых функций:

Найти носитель и порядок сингулярности обобщённых функций:

Доказать теорему 16.1.

Доказать, что любая обобщённая функция $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ представима в виде не более чем счётной суммы $\sum F_{f_{k}}^{\left(n_{k}\right)}$, где все $f_{k} \in L_{1, \text{ loc }}(\mathbb {R})$ и каждый отрезок на прямой пересекается с конечным числом носителей функций $f_{k}$.

Привести пример функции $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ с бесконечным порядком сингулярности.

Доказать, что у любой обобщённой функции $G$ есть первообразная, то есть такая обобщённая функция $F$, что $F^{\prime } = G$. Рассмотреть случаи:

Решить в $\mathcal{D}^{\prime }$ дифференциальные уравнения:

Доказать, что обобщённая функция $F$ инвариантна относительно сдвигов $(\langle F, \varphi (x)\rangle = \langle F, \varphi (x+a)\rangle$ для любых $\varphi \in \mathcal{D}$ и $a \in \mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда она совпадает с регулярной функцией, порожденной некоторой константой.

Доказать, что любая обобщённая функция, удовлетворяющая уравнению

с постоянными коэффициентами $a_{k} \in \mathbb {C}$, является регулярной обобщённой функцией, порожденной некоторым обычным решением этого уравнения.

Доказать, что обобщённая функция $F$ имеет одноточечный носитель $\left\{ a\right\} : \operatorname {supp} F = \left\{ a\right\}$ тогда и только тогда, когда $F$ представима в виде конечной линейной комбинации функции $\delta_{a}$ и её производных.

Доказать равенство

(суммы рядов в обеих частях берутся в $\mathcal{D}^{\prime }$).

Доказать равенство $\sum_{n = 1}^{\infty } \sin n x = \frac{1}{2} \operatorname {ctg} \frac{x}{2}$ (ряд сходится в $\mathcal{D}^{\prime }$; $\left\langle \operatorname {ctg} \frac{x}{2}, \varphi \right\rangle : =$ v.p. $\int \operatorname {ctg} \frac{x}{2} \varphi (x) d x$).

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} \cos n x$ сходится в $\mathcal{D}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда найдутся такие $C > 0$ и $k \in \mathbb {N}$, что $\left|a_{n}\right| < C n^{k}, n = 1,2, \ldots$

Вычислить композицию $\delta (a x+b)$, где $a \neq 0$ и $b$ — некоторые действительные числа.

Пусть $F_{g}$ — регулярная обобщённая функция, порожденная локально интегрируемой функцией $g$. Доказать, что для любого диффеоморфизма $\gamma : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ справедливо равенство $F_{g} \circ \gamma = F_{g \circ \gamma }$, где $g \circ \gamma$ — обычная композиция функций $g$ и $\gamma$.