Основные понятия

На подпространстве $\left\{ \varphi \in \mathcal{D}: \varphi (0) = 0\right\}$ определён линейный функционал $\varphi \rightarrow \int_{\mathbb {R}} \frac{\varphi (t)}{t} d t$. Доказать, что этот функционал непрерывен, и найти все его непрерывные продолжения на всё пространство $\mathcal{D}$.

На подпространстве $\left\{ \varphi \in \mathcal{D}: \varphi (x) \equiv 0\text{ при }\left|x\right| < \varepsilon \right\}$ (число $\varepsilon = \varepsilon (\varphi )$ — своё для каждой функции $\varphi$) определён линейный функционал $\varphi \rightarrow \int_{\mathbb {R}} \exp \left(1 / t^{2}\right) \varphi (t) d t$. Доказать, что этот функционал нельзя продолжить до непрерывного функционала на всём пространстве $\mathcal{D}$.

Привести примеры обобщённых функций, принадлежащих

Доказать, что функционалы $\delta_{a}, \mathcal{P} \frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x \pm i 0}$ лежат в пространстве $\mathcal{D}^{\prime }$.

Доказать, что обобщённые функции $\delta_{a}, \mathcal{P} \frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x \pm i 0}$ сингулярны.

Доказать формулы Сохоцкого:

Определим обобщённую функцию $(x+i 0)^{\lambda }, \operatorname {Re} \lambda > -1$, как предел регулярных обобщённых функций

(где $\arg z \in [0,2 \pi )$) при $\varepsilon \rightarrow +0$. Доказать, что

Пусть $\operatorname {Re} \lambda \leqslant -1, \lambda \neq -1,-2, \ldots$, а $n$ есть целая часть числа $-\operatorname {Re} \lambda$. Для каждой функции $\varphi \in \mathcal{D}$ положим

Доказать, что эти формулы задают обобщённые функции на D. Доказать, что в каждой полосе $-n-1 < \operatorname {Re} \lambda < -n$ эти функционалы могут быть заданы формулами

Доказать, что при фиксированной $\varphi$ функция $g(\lambda ): = \left\langle x_{+}^{\lambda }, \varphi \right\rangle$ голоморфна в области $\mathbb {C} \backslash \left\{ -1,-2, \ldots \right\}$ и, вообще говоря, имеет полюсы первого порядка в точках $-1,-2, \ldots$ Найти вычеты в этих точках.

Доказать, что при фиксированном $\varphi$ функция $g(\lambda ): = \left\langle \left|x\right|^{\lambda }, \varphi \right\rangle$ голоморфна в области $\mathbb {C} \backslash \left\{ -1,-3,-5, \ldots \right\}$ и, вообще говоря, имеет полюсы первого порядка в точках $-1,-3,-5, \ldots$ Найти вычеты в этих точках.

Доказать, что при фиксированном $\varphi$ функции $g_{+}(\lambda ): = : = \left\langle (x+i 0)^{\lambda }, \varphi \right\rangle$ и $g_{-}(\lambda ): = \left\langle (x-i 0)^{\lambda }, \varphi \right\rangle$ голоморфны в $\mathbb {C}$.

Доказать, что если две локально суммируемые функции $f, g \in L_{1, \text{ loc }}(\mathbb {R})$ определяют одну и ту же регулярную обобщённую функцию ($\left\langle F_{f}, \varphi \right\rangle = \left\langle F_{g}, \varphi \right\rangle$ для любой $\varphi \in \mathcal{D}$), то $f(x) = g(x)$ почти всюду на $\mathbb {R}$.

Пусть $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ и $\langle F, \varphi \rangle \geqslant 0$ для любой неотрицательной функции $\varphi \in \mathcal{D}$. Доказать, что найдется такая неубывающая функция $\mu$, что $\langle F, \varphi \rangle = \int_{\mathbb {R}} \varphi (t) d \mu$, где интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса.

Доказать, что всякая обобщённая функция регулярна на дополнении к своему сингулярному носителю.

Найти носитель и сингулярный носитель следующих обобщённых функций:

Доказать, что обобщённая функция $F$ принадлежит $\mathcal{E}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда носитель $F$ лежит на некотором отрезке (то есть компактен).

Доказать, что если функция $f$ имеет вид $f(x) = g(x)\left(1+|x|^{n}\right)$, где $g \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $n \in \mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\}$, то $f$ порождает обобщенную функцию $F_{f} \in S^{\prime }$.

Пусть $W_{2}^{-1}[-\pi , \pi ]$ — пополнение пространства $L_{2}[-\pi , \pi ]$ по норме

Показать, что $\delta_{0} \in W_{2}^{-1}[-\pi , \pi ]$, и найти $\left\| \delta_{0}\right\|_{W_{2}^{-1}[-\pi , \pi ]}$ (ср. с задачей 5.20 а)).

Доказать, что если последовательность функций $\left\{ f_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty } \subset \subset L_{1, \text{ loc }}(\mathbb {R})$ для любого отрезка $[a, b]$ удовлетворяет условиям (1) и (2), то $f_{n}-\delta$-образная последовательность:

1. для любых $a_{1}, b_{1},\left[a_{1}, b_{1}\right] \subset [a, b]$, имеет место неравенство

   $$\left|\int _{a_{1}}^{b_{1}} f_{n} d x\right| < C,$$

   где константа $C$ не зависит от $a_{1}, b_{1}$ и $n$, а зависит только от $[a, b]$;

2. $\int_{a}^{b} f_{n} d x \rightarrow \begin{cases} 1, & \text{ если } 0 \in (a, b), \\ 0, & \text{ если } 0 \notin [a, b].\end{cases}$

Пусть $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ — неотрицательная функция и $\int_{\mathbb {R}} f d x = 1$. Доказать, что $f_{n}(x) = n f(n x)$ является $\delta$-образной последовательностью в $\mathcal{D}^{\prime }$.

Найти предел в $\mathcal{D}^{\prime }$ следующих последовательностей:

Найти предел $F = \lim_{n \rightarrow \infty } F_{n}$ в $\mathcal{D}^{\prime }$ следующих последовательностей:

Верно ли, что любая последовательность непрерывных функций $f_{n}$, сходящаяся поточечно на $\mathbb {R}$ к нулю, сходится к нулю и в $\mathcal{D}^{\prime }$?

Доказать, что регулярные обобщённые функции плотны в $\mathcal{D}^{\prime }$.

Доказать, что регулярные обобщённые функции, порожденные финитными бесконечно дифференцируемыми функциями, плотны в $\mathcal{D}^{\prime }$ (то есть $\mathcal{D}$ плотно в $\mathcal{D}^{\prime }$).

Доказать, что для любой обобщённой функции $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ найдётся последовательность регулярных функций, порожденных функциями из $\mathcal{D}$, которая сходится к $F$ в $\mathcal{D}^{\prime }$. [^fn1]