Свёртка

Доказать, что если $f, g, h \in L_{1}(\mathbb {R})$, то их свёртка обладает следующими свойствами:

Доказать, что если $f, g \in L_{1}(\mathbb {R})$, то их свёртка обладает следующими свойствами:

Доказать, что $\operatorname {supp}(f * g) \subseteq \operatorname {supp} f+\operatorname {supp} g$.

Вычислить свёртку характеристических функций $\chi_{[1,2]}(x) * * \chi_{[3,4]}(x)$.

Вычислить свёртку $f(x) * \chi_{[2,4]}(x)$, где

Доказать, что свёртка $\omega_{a, b} * \chi_{[c, d]}$, где $\omega_{a, b}$ - «шапочка» из задачи 15.1, есть функция типа «шляпы» из задачи 15.2.

Доказать, что если $f, g \in L_{1}(\mathbb {R}), f \in C^{1}(\mathbb {R})$ и $f^{\prime } \in L_{1}(\mathbb {R})$, то $f * g \in C^{1}(\mathbb {R})$ и $(f * g)^{\prime } = f^{\prime } * g$.

Доказать, что если $f, g \in L_{1}(\mathbb {R})$, то $\widehat{f * g} = \sqrt{2 \pi } \hat{f} \cdot \hat{g}$.

Вычислить свёртку $\frac{1}{x^{2}+a^{2}} * \frac{1}{x^{2}+b^{2}}, a, b > 0$.

Доказать, что если $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $g \in L_{\infty }(\mathbb {R})$, то свёртка $f * g$ равномерно непрерывна на $\mathbb {R}$.

Доказать, что если $f \in L_{1}(\mathbb {R}) \cap L_{\infty }(\mathbb {R})$ и $g \in L_{1}(\mathbb {R})$, то $f * g \in C_{0}(\mathbb {R}) \cap L_{1}(\mathbb {R})$ и $\left\| f * g\right\|_{C_{0}(\mathbb {R})} \leqslant \left\| f\right\|_{L_{\infty }(\mathbb {R})} \cdot \left\| g\right\|_{L_{1}(\mathbb {R})}$.

Доказать, что если $f \in L_{2}(\mathbb {R})$ и $g \in L_{2}(\mathbb {R})$, то свёртка $f * g$ определена и принадлежит пространству $C_{0}(\mathbb {R})$.

Привести пример двух таких функций $f, g \in L_{1}(\mathbb {R})$, что $f * g$ разрывна.

(Ф. Титчмарш, 1926). Пусть $f, g \in L_{1}(\mathbb {R}), f \equiv g \equiv 0$ при $t < 0$ и $f * g = 0$. Доказать, что тогда одна из функций $f$ или $g$ равна нулю почти всюду.

Пусть функции $f, g \in L_{1}(\mathbb {R})$ имеют носители на отрезке $[0,1]$, непрерывны на этом отрезке, и $f(1) \neq 0$. Доказать, что если $\operatorname {supp}(f * g) \subseteq [0,1]$, то $g \equiv 0$.

Доказать, что оператор свёртки $S_{f}$ в $L_{2}(\mathbb {R})$ унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию $\sqrt{2 \pi } \hat{f}: \hat{F} S_{f} \hat{F}^{-1} h = \sqrt{2 \pi } \hat{f} h$ для любой функции $h \in L_{2}(\mathbb {R})$.

Найти спектр оператора свёртки с функцией $e^{-\left|x\right|}$ в $L_{2}(\mathbb {R})$.

Найти спектр оператора $A: L_{2}(\mathbb {R}) \rightarrow L_{2}(\mathbb {R})$ следующего вида:

Является ли этот оператор компактным?

Найти спектр оператора Гильберта в $L_{2}(\mathbb {R})$ :

(Н. Винер, 1933). Пусть $f \in L_{2}(\mathbb {R})$. Доказать, что система $\left\{ f(x-a): a \in \mathbb {R}\right\}$ сдвигов этой функции полна в $L_{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда мера множества $\left\{ y \in \mathbb {R}: \hat{f}(y) = 0\right\}$ равна нулю.

Доказать, что для обобщённой функции $G \in \mathcal{E}^{\prime }$ отображение $\varphi \rightarrow G * \varphi$ определяет непрерывный оператор $S_{G}: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{D}$ и справедливо включение:

Доказать, что если регулярная обобщённая функция $G = G_{\varphi }$ порождена основной функцией $\varphi$, то для любой обобщённой функции $F$ свёртка $F * G$ есть регулярная функция, порожденная свёрткой $F * \varphi$ (которая вычисляется по определению 18.2).

Доказать, что если одна из обобщённых функций $F$ и $G$ является элементом из $\mathcal{E}^{\prime }$, а другая — элементом из $\mathcal{D}^{\prime }$, то свёртка $F * G$ определена, является элементом пространства $\mathcal{D}^{\prime }$ и справедливо соотношение $F * G = G * F$.

Доказать, что если одна из обобщённых функций $F$ и $G$ является элементом из $\mathcal{E}^{\prime }$, а другая — элементом из $\mathcal{S}^{\prime }$, то свёртка $F * G$ определена, является элементом пространства $\mathcal{S}^{\prime }$ и справедливо соотношение $F * G = G * F$.

Доказать, что если одна из обобщённых функций $G$ и $H$ является элементом из $\mathcal{E}^{\prime }$, а другая — элементом из $\mathcal{S}^{\prime }$, то $\hat{F}[G * H] = \sqrt{2 \pi } \hat{F}[G] \cdot \hat{F}[H]$.

Пусть $f \in L_{2}[-\pi , \pi ]$. Для каждого $a \in [0,2 \pi ]$ и $t \in [-\pi , \pi ]$ положим

Доказать, что система функций $\left\{ f_{a}\right\}_{a \in [0,2 \pi ]}$ полна в $L_{2}[-\pi , \pi ]$ тогда и только тогда, когда $c_{n}(f) = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi }^{\pi } f(t) e^{-i n t} d t \neq 0$ для всех $n \in \mathbb {Z}$.

Обозначим через $\mathcal{D}_{+}^{\prime }$ множество обобщённых функций $F$ со свойством $\operatorname {supp} F \subset [0,+\infty )$. Доказать, что если $F, G \in \mathcal{D}_{+}^{\prime }$, то свёртка $F * G$ определена и $F * G \in \mathcal{D}_{+}^{\prime }$.

Доказать, что в $\mathcal{D}_{+}^{\prime }$ свёртка ассоциативна.

Привести пример обобщённых функций $F, G$ и $H$, для которых выражения $F *(G * H)$ и $(F * G) * H$ определены и различны.

Пусть функция $g \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $\int_{\mathbb {R}} g d x = 1$. Пусть $F_{n} \in \mathcal{D}^{\prime }$ - peгулярные обобщённые функции, порождённые функциями $n g(n x)$. Доказать, что $F_{n} * \varphi \rightarrow \varphi$ в $\mathcal{D}$ для любой функции $\varphi \in \mathcal{D}$ (ср. с задачами 16.20 и 18.31 а)).

Вычислить свёртки:

Показать, что для линейного непрерывного оператора $A: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{E}$ следующие свойства эквивалентны:

1. $A$ перестановочен со сдвигами: $(A \varphi )(x-a) = A(\varphi (x-a))$ для всех $a \in \mathbb {R}$;

2. А перестановочен с дифференцированием: $(A \varphi )^{\prime } = A\left(\varphi^{\prime }\right)$;

3. $A \varphi = F * \varphi$ для всех $\varphi$, где $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ — некоторая обобщённая функция.

Вычислить первообразную порядка $1 / 2$ от

Проверить, что $I\left(\frac{1}{2}\right) I\left(\frac{1}{2}\right) \theta (x) = x_{+}$.

Доказать, что $I(\alpha ) I(\beta ) f = I(\alpha +\beta ) f$ для $f \in \mathcal{D}_{+}^{\prime }, \alpha , \beta \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

Вычислить производную порядка $1 / 2$ от $\theta (x)$.

Доказать, что интегральное уравнение Абеля

с известной дифференцируемой функцией $g$ имеет решение $f(x) = \frac{1}{\Gamma (\alpha )} \int_{0}^{x} \frac{g^{\prime }(t) d t}{(x-t)^{1-\alpha }}$ при любом $\alpha \in (0,1)$.