18.1

Свёртка функций в L1(R)L^1(\mathbb{R})

[15/27%]
Показать
LaTeX
Задача 18.1

Доказать, что если f,g,h∈L1(R)f, g, h \in L_{1}(\mathbb {R}), то их свёртка обладает следующими свойствами:

?
(а)

f∗(αg+βh)=α(f∗g)+β(f∗h)f *(\alpha g+\beta h) = \alpha (f * g)+\beta (f * h) для всех α,β∈C\alpha , \beta \in \mathbb {C};

(б)

(f∗g)∗h=f∗(g∗h)(f * g) * h = f *(g * h).

Задача 18.2

Доказать, что если f,g∈L1(R)f, g \in L_{1}(\mathbb {R}), то их свёртка обладает следующими свойствами:

?
(а)

f∗g∈L1(R)f * g \in L_{1}(\mathbb {R}) и ∥f∗g∥L1(R)⩽∥f∥L1(R)⋅∥g∥L1(R)\left\| f * g\right\|_{L_{1}(\mathbb {R})} \leqslant \left\| f\right\|_{L_{1}(\mathbb {R})} \cdot \left\| g\right\|_{L_{1}(\mathbb {R})};

(б)

f∗g=g∗ff * g = g * f.

Задача 18.3

Доказать, что supp⁡(f∗g)⊆supp⁡f+supp⁡g\operatorname {supp}(f * g) \subseteq \operatorname {supp} f+\operatorname {supp} g.

?
Задача 18.4

Вычислить свёртку характеристических функций χ[1,2](x)∗∗χ[3,4](x)\chi_{[1,2]}(x) * * \chi_{[3,4]}(x).

?
Задача 18.5

Вычислить свёртку f(x)∗χ[2,4](x)f(x) * \chi_{[2,4]}(x), где

f(x)={x+1,−1⩽x⩽01−x,0<x⩽1 f(x) = \begin{cases} x+1, & -1 \leqslant x \leqslant 0 \\ 1-x, & 0 < x \leqslant 1\end{cases}
?
Задача 18.6

Доказать, что свёртка ωa,b∗χ[c,d]\omega_{a, b} * \chi_{[c, d]}, где ωa,b\omega_{a, b} - «шапочка» из задачи 15.1, есть функция типа «шляпы» из задачи 15.2.

?
Задача 18.7

Доказать, что если f,g∈L1(R),f∈C1(R)f, g \in L_{1}(\mathbb {R}), f \in C^{1}(\mathbb {R}) и f′∈L1(R)f^{\prime } \in L_{1}(\mathbb {R}), то f∗g∈C1(R)f * g \in C^{1}(\mathbb {R}) и (f∗g)′=f′∗g(f * g)^{\prime } = f^{\prime } * g.

?
Задача 18.8

Доказать, что если f,g∈L1(R)f, g \in L_{1}(\mathbb {R}), то f∗g^=2πf^⋅g^\widehat{f * g} = \sqrt{2 \pi } \hat{f} \cdot \hat{g}.

?
Задача 18.9

Вычислить свёртку 1x2+a2∗1x2+b2,a,b>0\frac{1}{x^{2}+a^{2}} * \frac{1}{x^{2}+b^{2}}, a, b > 0.

?
Задача 18.10

Доказать, что если f∈L1(R)f \in L_{1}(\mathbb {R}) и g∈L∞(R)g \in L_{\infty }(\mathbb {R}), то свёртка f∗gf * g равномерно непрерывна на R\mathbb {R}.

?
Задача 18.11

Доказать, что если f∈L1(R)∩L∞(R)f \in L_{1}(\mathbb {R}) \cap L_{\infty }(\mathbb {R}) и g∈L1(R)g \in L_{1}(\mathbb {R}), то f∗g∈C0(R)∩L1(R)f * g \in C_{0}(\mathbb {R}) \cap L_{1}(\mathbb {R}) и ∥f∗g∥C0(R)⩽∥f∥L∞(R)⋅∥g∥L1(R)\left\| f * g\right\|_{C_{0}(\mathbb {R})} \leqslant \left\| f\right\|_{L_{\infty }(\mathbb {R})} \cdot \left\| g\right\|_{L_{1}(\mathbb {R})}.

?
Задача 18.12

Доказать, что если f∈L2(R)f \in L_{2}(\mathbb {R}) и g∈L2(R)g \in L_{2}(\mathbb {R}), то свёртка f∗gf * g определена и принадлежит пространству C0(R)C_{0}(\mathbb {R}).

?
Задача 18.13

Привести пример двух таких функций f,g∈L1(R)f, g \in L_{1}(\mathbb {R}), что f∗gf * g разрывна.

?
Задача 18.14

(Ф. Титчмарш, 1926). Пусть f,g∈L1(R),f≡g≡0f, g \in L_{1}(\mathbb {R}), f \equiv g \equiv 0 при t<0t < 0 и f∗g=0f * g = 0. Доказать, что тогда одна из функций ff или gg равна нулю почти всюду.

?
Задача 18.15

Пусть функции f,g∈L1(R)f, g \in L_{1}(\mathbb {R}) имеют носители на отрезке [0,1][0,1], непрерывны на этом отрезке, и f(1)≠0f(1) \neq 0. Доказать, что если supp⁡(f∗g)⊆[0,1]\operatorname {supp}(f * g) \subseteq [0,1], то g≡0g \equiv 0.

?