Компактные множества

Доказать теорему 4.1.

Теорема 4.1: подмножество метрического пространства $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и секвенциально компактно (то есть всякая последовательность его элементов содержит сходящуюся в $X$ подпоследовательность).

Пусть $U$ — открытое покрытие метрического компакта $(X, \rho )$. Доказать, что найдется такое $r > 0$, что всякий шар $B(x, r)$ содержится в некотором элементе покрытия $U$.

Доказать, что в метрическом пространстве компактное множество замкнуто и ограничено.

Доказать, что любое подмножество предкомпактного множества предкомпактно.

Доказать, что в любом конечномерном нормированном пространстве предкомпактность равносильна ограниченности.

Доказать, что в дискретном метрическом пространстве, в пространстве $\mathbb {N}$ и пространстве $\mathbb {Z}$ множество предкомпактно тогда и только тогда, когда оно состоит из конечного числа точек.

Доказать, что если отображение $f: X \rightarrow Y$ метрических пространств непрерывно и $X$ — компакт, то $f(X)$ — компакт в $Y$.

Доказать, что если множество $M$ предкомпактно в неполном метрическом пространстве $X$, то оно предкомпактно и в пополнении этого пространства[^fn1]. Привести контрпример к обратному утверждению.

Привести пример неполного метрического пространства $X$ и вполне ограниченного, но не предкомпактного множества $M$ в нём (сравните эту задачу с теоремой 4.2).

Доказать, что если множество $M$ в метрическом пространстве $X$ вполне ограничено, то любая последовательность точек множества $M$ содержит фундаментальную подпоследовательность.

Доказать, что если для некоторого $\varepsilon > 0$ для множества $M$ метрического пространства $X$ найдётся конечная $\varepsilon$-сеть, то существует конечная $2 \varepsilon$-сеть, состоящая из точек множества $M$.

В замкнутом единичном шаре пространства $l_{p}, 1 \leqslant p \leqslant \infty$, предъявить последовательность, не содержащую ни одной фундаментальной подпоследовательности.

Доказать, что в любом бесконечномерном нормированном пространстве $X$ любой шар (замкнутый или открытый) не предкомпактен.

Доказать, что любое предкомпактное множество в бесконечномерном банаховом пространстве нигде не плотно.

Доказать, что если в нормированном пространстве $X$ множество $M$ является предкомпактным, то оно ограничено и его можно с любой точностью аппроксимировать конечномерным подпространством, т. е. для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое конечномерное подпространство $X_{0}$, что $\operatorname {dist}_{0}\left(M, X_{0}\right) < \varepsilon$ (см. определение 1.17). Доказать обратное утверждение для банахова пространства $X$.

Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство, а $M$ — предкомпактное множество в нём. Доказать, что $(M, \rho )$ — сепарабельное метрическое пространство.

Пусть $M$ — компактное множество в банаховом пространстве $X$. Доказать, что найдётся такая последовательность $x_{n} \rightarrow 0$, что $M \subset \overline{\operatorname {conv}\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }}$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, а $M$ — ограниченно компактное множество в нём. Доказать, что для любой точки $x \in X$ расстояние от $x$ до $M$ достигается, т. е. найдётся такой $y \in M$, что $\operatorname {dist}(x, M) = \rho (x, y)$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, а $M_{1}$ и $M_{2}$ — компактные множества в нём. Доказать, что $\operatorname {dist}_{0}\left(M_{1}, M_{2}\right) = \rho \left(x_{0}, y_{0}\right)$ (см. определение 1.17) для некоторых $x_{0} \in M_{1}$ и $y_{0} \in M_{2}$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, а $M$ — компактное множество в нём. Доказать, что $\operatorname {diam}(M) = \rho (x, y)$ для некоторых $x, y \in M$.

Пусть $X$ — метрический компакт. Доказать, что у любого подмножества в $X$ существует чебышёвский центр.

Доказать, что в полном метрическом пространстве любая система замкнутых непустых вложенных множеств имеет непустое пересечение, если все эти множества вложены в некоторый компакт. [^fn1]

Доказать, что функция $operatorname{dist}_{\mathrm{H}}$ удовлетворяет аксиомам метрики.

Обозначим через $\mathcal{N}(X)$ семейство всех подмножеств метрического пространства $X$, состоящих из конечного числа точек. Доказать, что если $X$ полно, то пространство $(\exp (X), \operatorname {dist}_{\mathrm{H}})$ является пополнением пространства $(\mathcal{N}(X), \operatorname {dist}_{\mathrm{H}})$.

Пусть $X$ — метрический компакт. Доказать, что пространство $(\exp (X), \operatorname {dist}_{\mathrm{H}})$ также является компактом.

Пусть $X$ — полное метрическое пространство, а $\left\{ f_{j}\right\}_{1}^{n}$ сжимающие отображения из $X$ в $X$. Определим отображение

Доказать, что $F$ — сжимающее отображение в $\left(\exp (X), \operatorname {dist}_{\mathrm{H}}\right)$. Пространство Хаусдорфа является удобным инструментом для построения различных объектов как неподвижных точек сжимающих отображений. Приведём несколько примеров. 1. Отрезок $[0,1]$ делится на три равные части и внутренность средней из них выкидывается. С двумя оставшимися отрезками проделывается та же процедура и т. д. Множество, остающееся в результате этого процесса, есть множество Кантора на отрезке $[0,1]$. 2. Определим функцию Кантора $L K(x)$ на отрезке $[0,1]$ последовательно: 1) $\operatorname {LK}(0) = 0, \operatorname {LK}(1) = 1$. 2) На интервале $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ положим $\left.L K\right|_{\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)} \equiv \frac{L K(0)+L K(1)}{2} = \frac{1}{2}$. 3) На каждом следующем интервале $\Delta$, выкидываемом при построении канторовского множества, полагаем функцию $L K$ равной среднему арифметическому уже известных ее значений, определенных на ближайших множествах справа и слева от $\Delta$ :

4. В точках канторовского множества доопределим функцию $L K$ по непрерывности. График этой функции называется лестнищей Кантора. 3. В треугольнике с вершинами в точках $(0,0),(0,1)$ и $(1,0)$ проводятся три средние линии. Внутренность центрального треугольника выкидывается, а с оставшимися тремя треугольниками проделывается та же процедура и т. д. Множество, оставшееся в результате этого процесса, есть треугольник Серпинского.

Доказать, что следующие множества есть неподвижные точки для некоторых сжимающих отображений. Найти эти отображения.

Пусть $M$ — такое множество в полном метрическом пространстве $X$, что любая вещественнозначная непрерывная на $M$ функция ограничена. Доказать, что $M$ — компакт.

Пусть $M$ — такое множество в полном метрическом пространстве $X$, что любая вещественнозначная непрерывная и ограниченная на $M$ функция достигает своей точной верхней и точной нижней граней. Доказать, что $M$ — компакт.

Пусть $M$ — компактное множество в полном метрическом пространстве $X_{1}, f: M \rightarrow X_{2}$, где $X_{2}$ — также полное метрическое пространство. Доказать, что из непрерывности отображения $f$ следует его равномерная непрерывность.

Пусть $M$ — такое множество в полном метрическом пространстве $X$, что любая вещественнозначная непрерывная на $M$ функция равномерно непрерывна. Доказать, что $M$ — компакт.

Пусть $M$ — компакт в метрическом пространстве $X$, а $Y$ нормированное пространство. Обозначим через $C(M, Y)$ множество непрерывных функций из $M$ в $Y$. Доказать, что норма $\left\| x\right\|_{C(M, Y)} = \max_{t \in M}\left\| x(t)\right\|_{Y}$ превращает $C(M, Y)$ в нормированное пространство (линейные операции вводятся поточечно), а если $Y$ — банахово пространство, то и пространство $C(M, Y)$ банахово. [^fn1]

(Дини, 1872). Пусть $M$ — метрический компакт, а последовательность функций $\left\{ f_{n}: M \rightarrow Y\right\}_{1}^{\infty }$, непрерывно отображающих $M$ в нормированное пространство $Y$, сходится к непрерывной функции $f$ поточечно и для любого $x \in M$

Доказать, что $f_{n} \rightarrow f$ в пространстве $C(M, Y)$. [^fn1]

Доказать, что если множество $M$ компактно в метрическом пространстве $X$, а отображение $f: M \rightarrow M$ удовлетворяет неравенству $\rho (f(x), f(y)) < \rho (x, y)$ при любых $x \neq y$, то существует единственная неподвижная точка $x \in M$ (сравните с задачей 1.74 и теоремой 1.4).

Доказать, что в метрическом пространстве любое изометрическое вложение компакта в себя является изометрией этого компакта (и показать, что для произвольного замкнутого ограниченного множества это неверно).

Пусть $X$ — полное метрическое пространство, $M$ — компактное множество в нём, $\varphi : M \rightarrow M$ — отображение, удовлетворяющее неравенству $\rho (\varphi (x), \varphi (y)) \geqslant \rho (x, y)$. Доказать, что $\varphi$ есть изометрия множества $M$.

Найти аппроксимативную размерность:

Найти аппроксимативную размерность:

Пусть $M$ — равностепенно непрерывное множество в пространстве $C[0,1]$. Пусть последовательность функций из $M$ сходится поточечно к непрерывной функции $x$. Доказать, что эта последовательность сходится и по норме к тому же пределу.

Какие из перечисленных ниже множеств предкомпактны в пространстве $C[0,1]$ :

Является ли предкомпактным в пространстве $C[0,1]$ множество

Является ли предкомпактным в пространстве $C[a, b]$ множество

(В. Д. Ерохин). Доказать, что всякий компакт диаметра $d$ в пространстве $C[0,1]$ лежит в некотором замкнутом шаре радиуса $d / 2$ (т.е. его чебышёвский радиус равен $d / 2$). Докажите, что для гильбертовых пространств (размерности больше 1) это неверно.

Доказать, что множество $M$ в пространстве $C^{n}[0,1], n = 1,2, \ldots$, предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и множество $M_{n}$ функций $\left\{ x^{(n)}(t): x \in M\right\}$ равностепенно непрерывно.

Верно ли, что множество $M$ в пространстве $C^{n}[0,1], n = 1,2, \ldots$, предкомпактно тогда и только тогда, когда множество $M_{n}$ из предыдущей задачи предкомпактно в $C[0,1]$?

Привести пример множества $M$ непрерывно дифференцируемых функций, предкомпактного в пространстве $C[0,1]$, но не предкомпактного в пространстве $C^{1}[0,1]$.

Является ли предкомпактным в пространстве $C^{1}[0,1]$ множество аналитических функций

где ряд сходится в круге $D \subset \mathbb {C}$, содержащем $[0,1]$?

Доказать утверждение:

При каком условии на последовательность $\left\{ a_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ параллелепипед $\Pi_{\left\{ a_{k}\right\} } = \left\{ x \in l_{p}:\left|x_{n}\right| \leqslant a_{n}\right\}$ предкомпактен в пространстве $l_{p}(1 \leqslant p < \infty )$?

При каком условии на последовательность $\left\{ a_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ эллипсоид $E_{\left\{ a_{k}\right\} } = \left\{ x \in l_{2}: \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\left|x_{n}\right|^{2}}{a_{n}^{2}} \leqslant 1\right\}$ предкомпактен в пространстве $l_{2}$?

Доказать, что любое компактное множество $M \subset l_{2}$ содержится в некотором эллипсоиде вида $\left\{ x \in l_{2}: \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\left|x_{n}\right|^{2}}{a_{n}^{2}} \leqslant 1\right\}$, где $a_{n} \rightarrow 0$.

Доказать предкомпактность в пространстве $l_{1}$ множества $M = \left\{ x: \sum_{n = 1}^{\infty } n\left|x_{n}\right| \leqslant 1\right\}$.

Является ли предкомпактным в пространстве $l_{1}$ множество $M = \left\{ x: x_{n} = \int_{0}^{1} \frac{y(s)}{n^{2}+s^{2}} d s\right\}$, где функции $y$ выбираются из замкнутого единичного шара пространства $C[0,1]$?

При каких значениях параметров $\alpha \in \mathbb {R}$ и $\beta > 0$ множество $M_{\alpha , \beta } = \left\{ x \in l_{p}: \sum_{n = 1}^{\infty } n^{\alpha }\left|x_{n}\right|^{\beta } \leqslant 1\right\}$ предкомпактно в пространстве $l_{p} (1 \leqslant p < \infty )$?

Является ли множество

предкомпактным в пространстве $l_{1}$? Критерий предкомпактности, доказанный для пространства $l_{2}$, можно обобщить на сепарабельные гильбертовы пространства.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в нём. Доказать, что множество $M$ предкомпактно в $H$ тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $N \in \mathbb {N}$, что $\sum_{k = N}^{\infty }\left|\left(x, e_{k}\right)\right|^{2} < \varepsilon^{2}$ для всех $x \in M$.

Является ли множество $\left\{ \sin (\pi n t)\right\}_{n = 1}^{\infty }$ предкомпактным в пространстве $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty ]$?

Доказать, что если $\left\{ \varphi_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \Lambda }$ — предкомпактное множество функций в $C[a, b]$, то множество $\left\{ x_{\alpha } = \varphi_{\alpha } \theta \right\}_{\alpha \in \Lambda }$, где $\theta$ — фиксированная функция из $L_{2}[a, b]$, предкомпактно в $L_{2}[a, b]$.

Доказать, что множество $M$ в пространстве $W_{p}^{n}[0,1], 1 \leqslant p < \infty , n = 1,2, \ldots$, предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in M$ и $h \in [0, \delta ]$ выполнено неравенство

Выяснить, являются ли предкомпактными множества $M_{a} = \left\{ n^{-a} \sin (n t)\right\}_{n = 1}^{\infty }$ при $a \in [0,1]$ в пространствах:

Является ли предкомпактным в пространстве $C[a, b]$ единичный шар пространства $C^{1}[a, b]$?

Доказать компактность вложений:

Доказать, что следующие вложения пространств некомпактны: