Компактные множества в конкретных нормированных пространствах

Пусть $M$ — равностепенно непрерывное множество в пространстве $C[0,1]$. Пусть последовательность функций из $M$ сходится поточечно к непрерывной функции $x$. Доказать, что эта последовательность сходится и по норме к тому же пределу.

Какие из перечисленных ниже множеств предкомпактны в пространстве $C[0,1]$ :

Является ли предкомпактным в пространстве $C[0,1]$ множество

Является ли предкомпактным в пространстве $C[a, b]$ множество

(В. Д. Ерохин). Доказать, что всякий компакт диаметра $d$ в пространстве $C[0,1]$ лежит в некотором замкнутом шаре радиуса $d / 2$ (т.е. его чебышёвский радиус равен $d / 2$). Докажите, что для гильбертовых пространств (размерности больше 1) это неверно.

Доказать, что множество $M$ в пространстве $C^{n}[0,1], n = 1,2, \ldots$, предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и множество $M_{n}$ функций $\left\{ x^{(n)}(t): x \in M\right\}$ равностепенно непрерывно.

Верно ли, что множество $M$ в пространстве $C^{n}[0,1], n = 1,2, \ldots$, предкомпактно тогда и только тогда, когда множество $M_{n}$ из предыдущей задачи предкомпактно в $C[0,1]$?

Привести пример множества $M$ непрерывно дифференцируемых функций, предкомпактного в пространстве $C[0,1]$, но не предкомпактного в пространстве $C^{1}[0,1]$.

Является ли предкомпактным в пространстве $C^{1}[0,1]$ множество аналитических функций

где ряд сходится в круге $D \subset \mathbb {C}$, содержащем $[0,1]$?

Доказать утверждение:

При каком условии на последовательность $\left\{ a_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ параллелепипед $\Pi_{\left\{ a_{k}\right\} } = \left\{ x \in l_{p}:\left|x_{n}\right| \leqslant a_{n}\right\}$ предкомпактен в пространстве $l_{p}(1 \leqslant p < \infty )$?

При каком условии на последовательность $\left\{ a_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ эллипсоид $E_{\left\{ a_{k}\right\} } = \left\{ x \in l_{2}: \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\left|x_{n}\right|^{2}}{a_{n}^{2}} \leqslant 1\right\}$ предкомпактен в пространстве $l_{2}$?

Доказать, что любое компактное множество $M \subset l_{2}$ содержится в некотором эллипсоиде вида $\left\{ x \in l_{2}: \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\left|x_{n}\right|^{2}}{a_{n}^{2}} \leqslant 1\right\}$, где $a_{n} \rightarrow 0$.

Доказать предкомпактность в пространстве $l_{1}$ множества $M = \left\{ x: \sum_{n = 1}^{\infty } n\left|x_{n}\right| \leqslant 1\right\}$.

Является ли предкомпактным в пространстве $l_{1}$ множество $M = \left\{ x: x_{n} = \int_{0}^{1} \frac{y(s)}{n^{2}+s^{2}} d s\right\}$, где функции $y$ выбираются из замкнутого единичного шара пространства $C[0,1]$?

При каких значениях параметров $\alpha \in \mathbb {R}$ и $\beta > 0$ множество $M_{\alpha , \beta } = \left\{ x \in l_{p}: \sum_{n = 1}^{\infty } n^{\alpha }\left|x_{n}\right|^{\beta } \leqslant 1\right\}$ предкомпактно в пространстве $l_{p} (1 \leqslant p < \infty )$?

Является ли множество

предкомпактным в пространстве $l_{1}$? Критерий предкомпактности, доказанный для пространства $l_{2}$, можно обобщить на сепарабельные гильбертовы пространства.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в нём. Доказать, что множество $M$ предкомпактно в $H$ тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $N \in \mathbb {N}$, что $\sum_{k = N}^{\infty }\left|\left(x, e_{k}\right)\right|^{2} < \varepsilon^{2}$ для всех $x \in M$.

Является ли множество $\left\{ \sin (\pi n t)\right\}_{n = 1}^{\infty }$ предкомпактным в пространстве $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty ]$?

Доказать, что если $\left\{ \varphi_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \Lambda }$ — предкомпактное множество функций в $C[a, b]$, то множество $\left\{ x_{\alpha } = \varphi_{\alpha } \theta \right\}_{\alpha \in \Lambda }$, где $\theta$ — фиксированная функция из $L_{2}[a, b]$, предкомпактно в $L_{2}[a, b]$.

Доказать, что множество $M$ в пространстве $W_{p}^{n}[0,1], 1 \leqslant p < \infty , n = 1,2, \ldots$, предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in M$ и $h \in [0, \delta ]$ выполнено неравенство

Выяснить, являются ли предкомпактными множества $M_{a} = \left\{ n^{-a} \sin (n t)\right\}_{n = 1}^{\infty }$ при $a \in [0,1]$ в пространствах:

Является ли предкомпактным в пространстве $C[a, b]$ единичный шар пространства $C^{1}[a, b]$?

Доказать компактность вложений:

Доказать, что следующие вложения пространств некомпактны: