Линейные непрерывные функционалы

Пусть $f$ — ненулевой линейный функционал на линейном пространстве $X$. Доказать, что $\operatorname {Ker} f$ есть линейное подпространство коразмерности 1 (см. определение 2.22).

Пусть $f$ и $g$ — два ненулевых линейных функционала на линейном пространстве $X$. Доказать, что если $\operatorname {Ker} f = \operatorname {Ker} g$, то $f = \alpha g$ для некоторого $\alpha \in \mathbb {C}$.

Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}$ — линейные функционалы на линейном пространстве $X$. Обозначим через $X_{0}$ пересечение ядер всех этих функционалов. Доказать, что если $\operatorname {codim} X_{0} < n$, то найдутся такие комплексные числа $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n},\left|\alpha_{1}\right|+\ldots +\left|\alpha_{n}\right| \neq 0$, что $\sum_{k = 1}^{n} \alpha_{k} f_{k} = 0$ (другими словами, функционалы $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{n}$ являются линейно зависимыми).

Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}$ — линейно независимая система линейных функционалов на линейном пространстве $X$, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ комплексные числа. Доказать, что существует такой вектор $x \in X$, что $f_{k}(x) = \lambda_{k}$ для всех $1 \leqslant k \leqslant n$.

Доказать теорему 5.1.

Пусть $f$ — линейный функционал на нормированном пространстве. Доказать, что $f$ непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности $x_{n} \rightarrow 0$ числовая последовательность $\left\{ f\left(x_{n}\right)\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена.

Пусть $f$ — линейный функционал в нормированном пространстве. Доказать, что $f$ непрерывен тогда и только тогда, когда ядро $\operatorname {Ker} f$ замкнуто.

Привести пример (нелинейного) функционала $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ на некотором банаховом пространстве $X$, непрерывном на $X$, но не ограниченном на единичном шаре этого пространства.

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве всякий линейный функционал непрерывен.

Пусть $f$ — линейный функционал на комплексном нормированном пространстве $X$. Доказать, что $\operatorname {Re} f$ и $\operatorname {Im} f$ являются веще-ственно-линейными функционалами. Доказать, что если функционал $f$ непрерывен, то функционалы $\operatorname {Re} f$ и $\operatorname {Im} f$ также непрерывны и $\left\| \operatorname {Re} f\right\| = \left\| \operatorname {Im} f\right\| = \left\| f\right\|$ (нормы функционалов $\operatorname {Re} f$ и $\operatorname {Im} f$ определяются аналогично равенству (5.1)).

Пусть $\varphi$ — вещественно-линейный функционал на комплексном линейном пространстве $X$. Доказать, что единственный комплексный линейный функционал $f$ с условием $\operatorname {Re} f = \varphi$ имеет вид $f(x) = \varphi (x)-i \varphi (i x)$.

Пусть $f$ — ненулевой линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве $X$. Доказать, что для любого $x \in X$ справедливо равенство $\operatorname {dist}(x, \operatorname {Ker} f) = \left|f(x)\right| /\left\| f\right\|$.

Пусть $f$ — ненулевой линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве $X$. Обозначим

Доказать, что $\operatorname {dist}(0, M) = \left|a\right| /\left\| f\right\|$. В конечномерных нормированных пространствах любой линейный функционал оказывается ограниченным (см. задачу 5.9). В бесконечномерном случае это уже не так.

Пусть $X$ — линейное подпространство функций $x \in C[0,1]$, дифференцируемых в точке $t_{0} \in (0,1)$. Доказать, что подпространство $X$ не замкнуто и всюду плотно в $C[0,1]$. Доказать, что линейный функционал $f(x) = x^{\prime }\left(t_{0}\right)$ на нормированном пространстве $X$ (норма на $X$ наследуется из $C[0,1]$) не является ограниченным.

Пусть $\left\{ x_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — базис Гамеля в банаховом пространстве. Доказать, что существует такое $n \in \mathbb {N}$, что множество $\left\{ a_{1} x_{\lambda_{1}}+\ldots \ldots +a_{n} x_{\lambda_{n}}: a_{k} \in \mathbb {R}\right\}$ всюду плотно в $X$.

Пусть $\left\{ x_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — базис Гамеля в бесконечномерном нормированном пространстве. При помощи этого базиса построить пример всюду определённого неограниченного линейного функционала.

Доказать, что в любом нормированном бесконечномерном пространстве $X$ найдётся незамкнутое линейное подпространство коразмерности 1.

Доказать, что если неограниченный функционал в нормированном пространстве определён на всюду плотном множестве, то его ядро всюду плотно.

Доказать, что указанный функционал является линейным и непрерывным на указанном пространстве $X$, и найти его норму:

Доказать, что указанный функционал является линейным и непрерывным на указанном пространстве $X$, и найти его норму:

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве и в гильбертовом пространстве всякий функционал достигает своей нормы на единичном шаре. В каждом из пространств привести примеры функционалов, которые не достигают своей нормы на единичном шаре:

Пусть $f$ — ненулевой линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве $X$. Доказать, что если для некоторого $x \notin \operatorname {Ker} f$ существует элемент наилучшего приближения в $\operatorname {Ker} f$ (см. определение 2.16), то $f$ достигает своей нормы на единичном шаре. Доказать, что если $f$ достигает своей нормы на единичном шаpe, то для любого $x \in X$ в $\operatorname {Ker} f$ существует элемент, ближайший к $x$.

Привести пример банахова пространства $X$ и замкнутого подпространства $X_{0}$ в нём, для которого не существует 0-перпендикуляра (см. определение 2.18).

Пусть $X$ — нормированное пространство, $Y \subset X$ — подпространство конечной коразмерности, а $f$ — линейный непрерывный функционал на $Y$. Доказать, что любое продолжение $f$ до линейного функционала на $X$ есть непрерывный функционал.

Пусть банахово пространство $X$ есть:

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что продолжение по Хану-Банаху любого линейного непрерывного функционала на $X$ единственно тогда и только тогда, когда сопряжённое пространство $X^{*}$ строго нормировано (см. определение 2.4).

Доказать, что любой линейный непрерывный функционал, определённый на всюду плотном линейном подпространстве нормированного пространства $X$, имеет единственное продолжение по Хану-Банаху.

Доказать, что для любого ненулевого $x \in X$ существует такой функционал $f \in X^{*}$, что $\left\| f\right\| = 1, f(x) = \left\| x\right\|$.

Доказать, что для любых $x, y \in X, x \neq y$, существует такой функционал $f \in X^{*}$, что $f(x) \neq f(y)$.

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — линейно независимая система векторов нормированного пространства $X$, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ — комплексные числа. Доказать, что существует такой линейный непрерывный функционал $f$, что $f\left(x_{k}\right) = \lambda_{k}$ для всех $1 \leqslant k \leqslant n$ (сравните с задачей 5.4).

Пусть $X$ — вещественное нормированное пространство, $\left\{ x_{n}\right\}$ — конечная или счётная система векторов в $X$, а $\left\{ c_{n}\right\} \subset \mathbb {R}$. Доказать, что существование функционала $f \in X^{*}$ со свойством $f\left(x_{n}\right) = c_{n}$ для любого $n \in \mathbb {N}$ равносильно тому, что для произвольного конечного набора $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{n = 1}^{N} \subset \mathbb {R}$ выполнено $\left|\sum_{n = 1}^{N} \lambda_{n} c_{n}\right| \leqslant M\left\| \sum_{n = 1}^{N} \lambda_{n} x_{n}\right\|$ с некоторой единой постоянной $M > 0$.

Доказать, что существует линейный непрерывный функционал $f$ на вещественном пространстве $l_{\infty }$, удовлетворяющий следующим условиям:

1. $\inf_{n \in \mathbb {N}} x_{n} \leqslant f(x) \leqslant \sup_{n \in \mathbb {N}} x_{n}$;

2. если существует $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a$, то $f(x) = a$;

3. функционал инвариантен при сдвигах, т. е. $f\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right)\right) = f\left(\left(x_{2}, x_{3}, \ldots \right)\right)$ для любого $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in l_{\infty }$.

Найти:

Привести примеры гладкого и негладкого пространства. Доказать, что в гладком пространстве продолжение по Хану-Банаху любого линейного функционала с любого одномерного подпространства единственно.

Пусть линейный функционал $f$ определён на одномерном подпространстве $\operatorname {Lin}(x) \subset C[0,1]$, где:

Пусть на одномерном подпространстве $\operatorname {Lin}(x) \subset C[0,1]$, порожденном некоторой ненулевой функцией $x(t)$, определен функционал $f(\lambda x) = \lambda x\left(t_{0}\right)$, где $t_{0} \in [0,1]$ — фиксированная точка. Единственно ли продолжение по Хану-Банаху такого функционала?

Доказать, что для линейного подпространства $Y$ нормированного пространства $X$ с условием $\bar{Y} \neq X$ и произвольной точки $x \in X$ существует такой функционал $f \in X^{*}$, что $\left\| f\right\| = 1, f(x) = \operatorname {dist}(x, Y)$ и $f(y) = 0$ для любого $y \in Y$.

Пусть $U_{1}$ и $U_{2}$ — два выпуклых непустых непересекающихся множества вещественного банахова пространства $X$, одно из которых имеет непустую внутренность. Доказать, что существуют такой линейный непрерывный функционал $f$ и такое число $c \in \mathbb {R}$, что аффинная гиперплоскость $X_{f, c}$ разделяет $U_{1}$ и $U_{2}$.

Пусть $P$ — подпространство вещественного пространства $C[0,1]$, состоящее из всех многочленов. Доказать, что $P_{+}$и $P_{-}$множества, состоящие из многочленов с положительным (отрицательным) коэффициентом при старшей степени, — выпуклы, не пересекаются, но не разделяются никакой гиперплоскостью.

Пусть $B_{1}$ и $B_{2}$ — два выпуклых замкнутых непустых непересекающихся множества вещественного банахова пространства $X$, причём одно из них компактно. Доказать, что существуют такой линейный непрерывный функционал $f$ и такое число $c \in \mathbb {R}$, что аффинная гиперплоскость $X_{f, c}$ строго разделяет $B_{1}$ и $B_{2}$.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что пространство $X^{*}$ банахово.

Доказать, что если сопряжённое пространство $X^{*}$ к нормированному пространству $X$ сепарабельно, то $X$ тоже сепарабельно. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Пусть нормированное пространство $Z$ есть декартово произведение нормированных пространств $X$ и $Y$ и $\left\| z = (x, y)\right\|_{Z} = \left\| x\right\|_{X}+\left\| y\right\|_{Y}$. Доказать, что сопряжённое пространство $Z^{*}$ совпадает с $X^{*} \times Y^{*}$, и найти норму в нём.

Пусть $X$ — конечномерное нормированное пространство. Доказать, что $X^{*}$ изоморфно $X$ (и, стало быть, тоже конечномерно).

Пусть сопряжённое пространство $X^{*}$ к нормированному пространству $X$ конечномерно. Доказать, что $X$ изоморфно $X^{*}$ (и, стало быть, тоже конечномерно).

Пусть $X_{0}$ — неполное нормированное пространство, а $X$ его пополнение. Доказать, что пространства $X^{*}$ и $X_{0}^{*}$ изометрически изоморфны.

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ — нормированные пространства, $X_{1} \subset X_{2}$, $\left\| \cdot \right\|_{X_{2}} \prec \left\| \cdot \right\|_{X_{1}}$ на пространстве $X_{1}$ (см. определение 2.3) и $X_{1}$ плотно в $X_{2}$ по норме $\left\| \cdot \right\|_{X_{2}}$. Доказать, что тогда $X_{2}^{*} \subset X_{1}^{*}$ и $\left\| \cdot \right\|_{X_{1}^{*}} \prec \left\| \cdot \right\|_{X_{2}^{*}}$ на пространстве $X_{2}^{*}$.

Построить пример таких нормированных пространств $X_{1}$ и $X_{2}$, что $X_{1} \subsetneq X_{2},\left\| \cdot \right\|_{X_{2}} \prec \left\| \cdot \right\|_{X_{1}}$, но $X_{2}^{*} \supsetneq X_{1}^{*}$ и $\left\| \cdot \right\|_{X_{1}^{*}} \succ \left\| \cdot \right\|_{X_{2}^{*}}$. $\downarrow$

Доказать утверждение п. 2 в списке сопряжённых пространств по схеме, описанной в предыдущей задаче.

Найти элементы пространства $l_{1}$, соответствующие следующим функционалам на пространствах с и $c_{0}$:

Доказать следующие утверждения в списке сопряженных пространств:

Найти элементы пространства $B V_{0}[-1,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $C[-1,1]$ :

Найти элементы пространства $B V_{0}[0,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $C[0,1]$ :

Пусть $f$ — положительный линейный функционал на вещественном пространстве $C[0,1]$, т.е. $f(x) \geqslant 0$ для любой неотрицательной функции $x(t)$. Доказать, что $f$ непрерывен и $\left\| f\right\| = f\left(x_{0}(t) \equiv 1\right)$.

Найти элементы пространства $L_{\infty }[-1,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $L_{1}[-1,1]$ :

Найти элементы пространства $L_{2}[-1,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $L_{2}[-1,1]$ :

Найти элементы пространства $l_{\infty }$, соответствующие следующим функционалам на $l_{1}$ :

Найти элементы пространства $l_{2}$, соответствующие следующим функционалам на $l_{2}$ :

Доказать, что пространство $l_{1}$ изометрически вложено в пространство $l_{\infty }^{*}$, но не изоморфно ему.

Доказать, что следующие функционалы являются линейными и непрерывными на пространстве $l_{\infty }$, и найти их нормы:

Доказать, что продолжение по Хану-Банаху любого линейного непрерывного функционала с $c_{0}$ на $l_{\infty }$ единственно. [^fn1]

Доказать, что $L_{1}[0,1]$ изометрически вложено в пространство $(L_{\infty }[0,1])$*, но не изоморфно ему.

Доказать, что следующие функционалы являются линейными и непрерывными в пространстве $L_{\infty }[-1,1]$, и найти их нормы:

Найти элементы пространства $B V_{0}[-1,1] \times \mathbb {C}$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $C^{1}[-1,1]$ с нормой $\left\| x\right\|_{C^{1}[-1,1]} = \left|x(-1)\right|+\max_{-1 \leqslant t \leqslant 1}\left|x^{\prime }(t)\right|$ :

Найти элементы пространства $W_{2}^{1}[0,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $W_{2}^{1}[0,1]$ :

Решить пункты а, б задачи 5.20 с помощью теоремы 5.4.

Доказать, что если $X$ — рефлексивное пространство, то для любого функционала $f \in X^{*}$ существует такой элемент $x \in X$, что $\left\| x\right\| = 1$ и $f(x) = \left\| f\right\|$ (необходимость в теореме Джеймса).

Доказать, что каноническое вложение $\pi : X \rightarrow X^{* *}$ является изометрией.

Доказать нерефлексивность пространств:

Доказать, что если пространство $X$ рефлексивно, то и $X^{*}$ рефлексивно.

Доказать нерефлексивность пространств:

Доказать, что любое конечномерное нормированное пространство и любое гильбертово пространство рефлексивно.

Доказать рефлексивность пространств:

Доказать, что если $X$ — банахово пространство и $X^{*}$ рефлексивно, то $X$ также рефлексивно.

Доказать, что не существует такого банахова пространства $X$, что $X^{*} = c_{0}$.

Доказать, что банахово пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда всякое замкнутое подпространство $Y \subset X$ коразмерности 1 является подпространством существования (ср. с задачей 14.127).

Привести пример банахова пространства $X$ и замкнутого подпространства $Y \subset X$, которое не является подпространством существования (сравните с задачей 5.22).

Пусть $M$ — произвольное множество в нормированном пространстве $X$.

Найти множество $M^{\perp }$, если: