Теорема Хана—Банаха

Пусть $X$ — нормированное пространство, $Y \subset X$ — подпространство конечной коразмерности, а $f$ — линейный непрерывный функционал на $Y$. Доказать, что любое продолжение $f$ до линейного функционала на $X$ есть непрерывный функционал.

Пусть банахово пространство $X$ есть:

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что продолжение по Хану-Банаху любого линейного непрерывного функционала на $X$ единственно тогда и только тогда, когда сопряжённое пространство $X^{*}$ строго нормировано (см. определение 2.4).

Доказать, что любой линейный непрерывный функционал, определённый на всюду плотном линейном подпространстве нормированного пространства $X$, имеет единственное продолжение по Хану-Банаху.

Доказать, что для любого ненулевого $x \in X$ существует такой функционал $f \in X^{*}$, что $\left\| f\right\| = 1, f(x) = \left\| x\right\|$.

Доказать, что для любых $x, y \in X, x \neq y$, существует такой функционал $f \in X^{*}$, что $f(x) \neq f(y)$.

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — линейно независимая система векторов нормированного пространства $X$, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ — комплексные числа. Доказать, что существует такой линейный непрерывный функционал $f$, что $f\left(x_{k}\right) = \lambda_{k}$ для всех $1 \leqslant k \leqslant n$ (сравните с задачей 5.4).

Пусть $X$ — вещественное нормированное пространство, $\left\{ x_{n}\right\}$ — конечная или счётная система векторов в $X$, а $\left\{ c_{n}\right\} \subset \mathbb {R}$. Доказать, что существование функционала $f \in X^{*}$ со свойством $f\left(x_{n}\right) = c_{n}$ для любого $n \in \mathbb {N}$ равносильно тому, что для произвольного конечного набора $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{n = 1}^{N} \subset \mathbb {R}$ выполнено $\left|\sum_{n = 1}^{N} \lambda_{n} c_{n}\right| \leqslant M\left\| \sum_{n = 1}^{N} \lambda_{n} x_{n}\right\|$ с некоторой единой постоянной $M > 0$.

Доказать, что существует линейный непрерывный функционал $f$ на вещественном пространстве $l_{\infty }$, удовлетворяющий следующим условиям:

1. $\inf_{n \in \mathbb {N}} x_{n} \leqslant f(x) \leqslant \sup_{n \in \mathbb {N}} x_{n}$;

2. если существует $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = a$, то $f(x) = a$;

3. функционал инвариантен при сдвигах, т. е. $f\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right)\right) = f\left(\left(x_{2}, x_{3}, \ldots \right)\right)$ для любого $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in l_{\infty }$.

Найти:

Привести примеры гладкого и негладкого пространства. Доказать, что в гладком пространстве продолжение по Хану-Банаху любого линейного функционала с любого одномерного подпространства единственно.

Пусть линейный функционал $f$ определён на одномерном подпространстве $\operatorname {Lin}(x) \subset C[0,1]$, где:

Пусть на одномерном подпространстве $\operatorname {Lin}(x) \subset C[0,1]$, порожденном некоторой ненулевой функцией $x(t)$, определен функционал $f(\lambda x) = \lambda x\left(t_{0}\right)$, где $t_{0} \in [0,1]$ — фиксированная точка. Единственно ли продолжение по Хану-Банаху такого функционала?

Доказать, что для линейного подпространства $Y$ нормированного пространства $X$ с условием $\bar{Y} \neq X$ и произвольной точки $x \in X$ существует такой функционал $f \in X^{*}$, что $\left\| f\right\| = 1, f(x) = \operatorname {dist}(x, Y)$ и $f(y) = 0$ для любого $y \in Y$.

Пусть $U_{1}$ и $U_{2}$ — два выпуклых непустых непересекающихся множества вещественного банахова пространства $X$, одно из которых имеет непустую внутренность. Доказать, что существуют такой линейный непрерывный функционал $f$ и такое число $c \in \mathbb {R}$, что аффинная гиперплоскость $X_{f, c}$ разделяет $U_{1}$ и $U_{2}$.

Пусть $P$ — подпространство вещественного пространства $C[0,1]$, состоящее из всех многочленов. Доказать, что $P_{+}$и $P_{-}$множества, состоящие из многочленов с положительным (отрицательным) коэффициентом при старшей степени, — выпуклы, не пересекаются, но не разделяются никакой гиперплоскостью.

Пусть $B_{1}$ и $B_{2}$ — два выпуклых замкнутых непустых непересекающихся множества вещественного банахова пространства $X$, причём одно из них компактно. Доказать, что существуют такой линейный непрерывный функционал $f$ и такое число $c \in \mathbb {R}$, что аффинная гиперплоскость $X_{f, c}$ строго разделяет $B_{1}$ и $B_{2}$.