Теорема Банаха—Штейнгауза

(Часть доказательства теоремы 7.1). Пусть $X$ — банахово пространство, $Y$ — нормированное пространство, а $\left\{ T_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X, Y)$, причём $\left\| T_{n}\right\| \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что для любого $\lambda > 0$ множество

нигде не плотно в $X$.

Показать, что полнота пространства $X$ в условии теоремы 7.1 существенна.

Пусть $f_{n} \in l_{\infty }$ — последовательность функционалов на пространстве $l_{1}, f_{n}(x) = n x_{n}, n = 1,2, \ldots$ Это семейство функционалов не ограничено в пространстве $l_{\infty } = \left(l_{1}\right)^{*}$, а значит, по теореме Бана-ха-Штейнгауза существует такой вектор $x \in l_{1}$, что $\sup \left|f_{n}(x)\right| = \infty$. Найти такой вектор $x$.

(Е. Хеллингер, О. Тёплиц, 1910). Пусть $A: H \rightarrow H$ — линейный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что если для всех $x, y \in H$ выполнено равенство $(A x, y) = (x, A y)$, то оператор $A$ ограничен. [^fn1]

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Доказать, что если билинейная форма $B(x, y)$, определённая на $X \times Y$, непрерывна отдельно по каждому аргументу, то она непрерывна по совокупности аргументов.

Определим оператор

в пространстве $C[-\pi , \pi ]$. Доказать, что $\left\| S_{n}\right\| \rightarrow \infty$. Вывести отсюда, что существует непрерывная функция $x \in C[-\pi , \pi ]$, у которой тригонометрический ряд Фурье расходится в точке $t = 0$.