Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость векторов, функционалов и операторов

(Часть доказательства теоремы 7.1). Пусть $X$ — банахово пространство, $Y$ — нормированное пространство, а $\left\{ T_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X, Y)$, причём $\left\| T_{n}\right\| \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что для любого $\lambda > 0$ множество

нигде не плотно в $X$.

Показать, что полнота пространства $X$ в условии теоремы 7.1 существенна.

Пусть $f_{n} \in l_{\infty }$ — последовательность функционалов на пространстве $l_{1}, f_{n}(x) = n x_{n}, n = 1,2, \ldots$ Это семейство функционалов не ограничено в пространстве $l_{\infty } = \left(l_{1}\right)^{*}$, а значит, по теореме Бана-ха-Штейнгауза существует такой вектор $x \in l_{1}$, что $\sup \left|f_{n}(x)\right| = \infty$. Найти такой вектор $x$.

(Е. Хеллингер, О. Тёплиц, 1910). Пусть $A: H \rightarrow H$ — линейный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что если для всех $x, y \in H$ выполнено равенство $(A x, y) = (x, A y)$, то оператор $A$ ограничен. [^fn1]

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Доказать, что если билинейная форма $B(x, y)$, определённая на $X \times Y$, непрерывна отдельно по каждому аргументу, то она непрерывна по совокупности аргументов.

Определим оператор

в пространстве $C[-\pi , \pi ]$. Доказать, что $\left\| S_{n}\right\| \rightarrow \infty$. Вывести отсюда, что существует непрерывная функция $x \in C[-\pi , \pi ]$, у которой тригонометрический ряд Фурье расходится в точке $t = 0$.

Доказать, что из сходимости по норме следует слабая сходимость. Привести пример последовательности в банаховом пространстве, сходящейся слабо, но не сходящейся по норме.

Доказать, что $x_{n} \rightarrow x$, где $\left\{ x_{n}\right\}$ и $x$ — векторы нормированного пространства $X$, тогда и только тогда, когда $x_{n}$ слабо сходятся к $x$ равномерно по единичному шару пространства $X^{*}$, т. е.

Пусть $x_{n} \rightharpoonup x, y_{n} \rightharpoonup y, \alpha_{n} \rightarrow \alpha , \beta_{n} \rightarrow \beta$, где $\left\{ x_{n}\right\} , x,\left\{ y_{n}\right\}$ и $y$ — векторы нормированного пространства $X$, а $\left\{ \alpha_{n}\right\} , \alpha ,\left\{ \beta_{n}\right\} , \beta$ — комплексные числа. Доказать, что $\alpha_{n} x_{n}+\beta_{n} y_{n} \rightharpoonup \alpha x+\beta y$. Доказать, что если $x_{n} \rightharpoonup x$ и $x_{n} \rightharpoonup x^{\prime }$, то $x = x^{\prime }$.

(С. Мазур, 1933). Пусть последовательность $x_{n}$ слабо сходится к $x$ в нормированном пространстве $X$. Доказать, что $x \in \overline{\operatorname {conv}\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }}$.

(Х. Хан, 1922). Доказать, что в произвольном нормированном пространстве $X$ любое слабо ограниченное множество ограничено по норме. Доказать, что из слабой сходимости или слабой фундаментальности некоторой последовательности векторов нормированного пространства следует ограниченность этой последовательности по норме.

Доказать, что на ограниченных множествах сепарабельного гильбертова пространства слабая сходимость равносильна покоординатной сходимости, а именно $x_{n} \rightharpoonup x$ тогда и только тогда, когда $\left(x_{n}, e_{k}\right) \rightarrow \left(x, e_{k}\right)$ для любого $k \in \mathbb {N}$, где $\left\{ e_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — произвольный фиксированный ортонормированный базис.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что если $x_{n} \rightharpoonup x$ в пространстве $X$, то $A x_{n} \rightharpoonup A x$ в пространстве $Y$. Привести пример, показывающий, что последовательность $\left\{ A x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ не обязана сходится к $A x$ по норме.

Доказать критерий слабой сходимости. Пусть $X$ — нормированное пространство, а $\left\{ x_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — последовательность векторов в нём. Доказать, что $x_{n} \rightharpoonup x$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. последовательность ограничена, т. е. существует такое число $C$, что $\left\| x_{n}\right\| < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. в $X^{*}$ найдётся такое всюду плотное множество $Y$, что $f\left(x_{n}\right) \rightarrow f(x)$ для любого $f \in Y$.

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве слабая сходимость совпадает со сходимостью по норме, т. е.

Доказать критерий слабой сходимости в $l_{p}, p \in (1, \infty )$ : последовательность $x^{n} = \left(x_{1}^{n}, x_{2}^{n}, \ldots \right)$ сходится слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x^{n}\right\|_{l_{p}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{n} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

(Я. Шур, 1909). Доказать, что слабая сходимость в $l_{1}$ совпадает со сходимостью по норме (равномерной сходимостью).

Доказать, что в пространстве $l_{1}$ нет подпространств, изоморфных пространству $l_{2}$.

Доказать критерий слабой сходимости в $c_{0}$ : последовательность $x^{n} = \left(x_{1}^{n}, x_{2}^{n}, \ldots \right)$ сходится слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x^{n}\right\|_{c_{0}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{n} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

Доказать критерий слабой сходимости в $c$ : последовательность $x^{n} = \left(x_{1}^{n}, x_{2}^{n}, \ldots \right)$ сходится слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены три условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x^{n}\right\|_{c} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{n} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$;

3. если обозначить $l_{n} = \lim_{k \rightarrow \infty } x_{k}^{n}$ и $l = \lim_{k \rightarrow \infty } x_{k}$, то $l_{n} \rightarrow l$.

Доказать критерий слабой сходимости в $C[0,1]$ : последовательность $x_{n} = x_{n}(t)$ сходится слабо к $x$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x\right\|_{C[0,1]} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}(t) = x(t)$ для любого $t \in [0,1]$.

Доказать критерий слабой сходимости в $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$ : последовательность $x_{n} = x_{n}(t)$ сходится слабо к $x$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x_{n}\right\|_{L_{p}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. для каждого элемента произвольной системы функций $\left\{ g_{\alpha }\right\} \subset \subset L_{q}[0,1] = \left(L_{p}[0,1]\right)^{*}$, удовлетворяющей условию $\overline{\operatorname {Lin}\left\{ g_{\alpha }\right\} } = L_{q}[0,1]$, справедливо равенство

   $$\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} x_{n}(t) g_{\alpha }(t) d t = \int _{0}^{1} x(t) g_{\alpha }(t) d t$$

   В главе 10 будет доказано, что при $p > 1$ в качестве системы $\left\{ g_{\alpha }\right\}$ можно взять любую из систем

   $$\left\{ t^{m}\right\} _{m = 0}^{\infty }, \quad \left\{ \sin \pi m t\right\} _{m = 1}^{\infty }, \quad \left\{ \chi _{(a, b)}(t): a \in [0,1], b \in [0,1], a < b\right\}$$

   (здесь $\chi_{(a, b)}$ — характеристическая функция интервала $(a, b)$). В случае $p = 1$ и $q = \infty$ в качестве системы $\left\{ g_{\alpha }\right\}$ можно выбрать систему характеристических функций всех измеримых по Лебегу множеств на $[0,1]$.

Доказать, что в гильбертовом пространстве $x_{n} \rightarrow x$ тогда и только тогда, когда $x_{n} \rightharpoonup x$ и $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow \left\| x\right\|$.

Доказать, что в любом равномерно выпуклом нормированном пространстве (см. определение 2.11) $x_{n} \rightarrow x$ тогда и только тогда, когда $x_{n} \rightharpoonup x$ и $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow \left\| x\right\|$.

Доказать, что из слабой сходимости в пространстве $L_{p}[0,1]$, $p \in [1, \infty )$, вообще говоря, не следует сходимость по мере.

Доказать, что если $p > 1$ и последовательность функций $x_{n} \in L_{p}[0,1]$, ограниченная по норме $L_{p}[0,1]$, сходится по мере к некоторой функции $x$, то $x \in L_{p}[0,1]$ и $x_{n} \rightharpoonup x$. Доказать, что при $p = 1$ это утверждение неверно.

Доказать, что если $x_{n} \rightharpoonup 0$ в нормированном пространстве $X$, то $\underline{\lim }_{n \rightarrow \infty }\left\| x-x_{n}\right\| \geqslant \left\| x\right\|$ для любого элемента $x$.

В пространствах $c_{0}$ и $C[0,1]$ привести примеры слабо фундаментальных последовательностей, не имеющих слабого предела. $\square$

Доказать, что любое рефлексивное банахово пространство является секвенциально слабо полным (т. е. любая слабо фундаментальная последовательность имеет слабый предел). Привести пример нерефлексивного, но секвенциально слабо полного банахова пространства.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ и $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательности векторов из $H$. Будет ли числовая последовательность $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ сходящейся, если последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ и $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ фундаментальны (по норме или слабо)? Исследовать все три случая.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X^{*}$ сепарабельно (отсюда, в силу утверждения задачи 5.42, следует сепарабельность самого пространства $X$). Доказать, что слабая сходимость в единичном шаре пространства $X$ метризуема.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X^{*}$ сепарабельно. Указать такую метрику $w(x, y)$, определённую на всём $X$, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ слабо сходится к $x \in X$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена;

2. $w\left(x_{n}, x\right) \rightarrow 0$.

(С. Банах, 1932). Пусть банахово пространство $X$ рефлексивно, а $X^{*}$ сепарабельно. Доказать, что из любой последовательности точек единичного шара $\left\{ x:\left\| x\right\|_{X} \leqslant 1\right\}$ можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к точке единичного шара (то есть единичный шар секвенциально слабо компактен).

Пусть банахово пространство $X$ рефлексивно, а $X^{*}$ сепарабельно. Доказать, что любое ограниченное множество $B \subset X$ слабо секвенциально предкомпактно, т. е. из любой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ точек множества $B$ можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность $x_{n_{k}} \rightarrow x \in X$. Доказать, что если к тому же $B$ есть замкнутое и выпуклое множество, то $x \in B$, т. е. $B$ слабо секвенциально компактно.

Доказать, что единичные шары в пространствах $l_{1}, c_{0}, C[0,1]$ не являются слабо секвенциально компактными множествами.

Доказать, что любая последовательность вложенных непустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в рефлексивном банаховом пространстве имеет непустое пересечение. Привести контрпример к этому утверждению для случая нерефлексивных банаховых пространств (ср. с задачами 1.36, 1.38, 2.68, 3.34 и 4.22).

Пусть $f_{n} \xrightarrow {*} f, g_{n} \xrightarrow {*} g, \alpha_{n} \rightarrow \alpha , \beta_{n} \rightarrow \beta$, где $\left\{ f_{n}\right\} , f,\left\{ g_{n}\right\}$ и $g$ функционалы из сопряжённого пространства $X^{*}$, а $\left\{ \alpha_{n}\right\} , \alpha ,\left\{ \beta_{n}\right\}$, $\beta$ — комплексные числа. Доказать, что $\alpha_{n} f_{n}+\beta_{n} g_{n} \xrightarrow {*} \alpha f+\beta g$. Доказать, что если $f_{n} \xrightarrow {*} f$ и $f_{n} \xrightarrow {*} \tilde{f}$, то $f = \tilde{f}$.

Доказать, что из сходимости по норме сопряжённого пространства следует *-слабая сходимость. Привести пример последовательности в сопряжённом пространстве, сходящейся *-слабо, но не сходящейся по норме.

Доказать, что линейные непрерывные функционалы $f_{n} \in X^{*}$ сходятся по норме к функционалу $f$ тогда и только тогда, когда они *-слабо сходятся к $f$ равномерно по единичному шару пространства $X$ (т.е. для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $N$, что справедливо неравенство $\left|\left(f_{n}-f\right)(x)\right| < \varepsilon$ при всех $x \in X,\left\| x\right\| \leqslant 1$, и $n > N$).

Доказать, что из слабой сходимости в сопряжённом пространстве следует *-слабая сходимость. Привести пример последовательности в сопряжённом пространстве, сходящейся *-слабо, но не сходящейся слабо.

Пусть $X$ — нормированное пространство и $\operatorname {dim} X < \infty$. Доказать, что тогда все три вида сходимости (по норме, слабая и *-слабая) в пространстве $X^{*}$ совпадают.

Пусть $X$ — рефлексивное нормированное пространство. Доказать, что слабая и *-слабая сходимости в пространстве $X^{*}$ совпадают.

(Х. Хан, 1922). Доказать, что любое *-слабо ограниченное множество в $X^{*}$ ограничено по норме. Доказать, что из $*$-слабой сходимости или *-слабой фундаментальности последовательности функционалов из $X^{*}$ следует ограниченность этой последовательности по норме.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что пространство $X^{*}$ полно относительно $*$-слабой сходимости (т. е. любая *-слабо фундаментальная последовательность функционалов имеет *-слабый предел в $X^{*}$).

Привести пример такой последовательности $f_{n} \xrightarrow {*} f$, что $f \notin \overline{\operatorname {Lin}\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }}$.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное пространство. Доказать, что *-слабая сходимость в единичном шаре пространства $X^{*}$ метризуема.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное пространство. Указать такую метрику $w(x, y)$, определённую на всём $X^{*}$, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty } *$-слабо сходится к $f \in X^{*}$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена;

2. $w\left(f_{n}, f\right) \rightarrow 0$.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное пространство. Доказать, что единичный шар в $X^{*}$ *-слабо секвенциально компактен, т. е. из любой последовательности $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty },\left\| f_{n}\right\|_{X^{*}} \leqslant 1$, можно выбрать подпоследовательность, *-слабо сходящуюся к точке единичного шара.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность функционалов из $X^{*}$. Доказать, что $f_{n} \xrightarrow {*} f$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. последовательность ограничена, т. е. существует такое число $C$, что $\left\| f_{n}\right\|_{X^{*}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. в $X$ найдётся такое всюду плотное множество $Y$, что $f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ для любого $x \in Y$.

Доказать критерий *-слабой сходимости в $l_{1} = \left(c_{0}\right)^{*}$ : последовательность $x_{n} = \left(x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots \right)$ сходится $*$-слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x_{n}\right\|_{l_{1}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{(n)} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

Доказать критерий *-слабой сходимости в $l_{\infty } = \left(l_{1}\right)^{*}$ : последовательность $x_{n} = \left(x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots \right)$ сходится $*$-слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x_{n}\right\|_{l_{\infty }} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{(n)} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

Доказать критерий *-слабой сходимости в пространстве $B V_{0}[0,1] = (C[0,1])^{*}$ : последовательность $g_{n}$ сходится *-слабо к $g$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| g_{n}\right\|_{B V_{0}[0,1]} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. для каждого элемента произвольной системы функций $\left\{ f_{\alpha }\right\}$ в пространстве $C[0,1]$, удовлетворяющей условию $\overline{\operatorname {Lin}\left\{ f_{\alpha }\right\} } = C[0,1]$, справедливо равенство

   $$\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} f_{\alpha }(t) d g_{n} = \int _{0}^{1} f_{\alpha }(t) d g$$

Пусть $A = \left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$ — бесконечная нижнетреугольная матрица. Пусть $\sum_{j = 1}^{\infty } x_{j}$ — произвольный ряд. Рассмотрим метод суммирования этого ряда, определённый матрицей $A$ по правилу $S(A) = \lim_{n \rightarrow \infty }\left(\sum_{j = 1}^{n} a_{n j} x_{j}\right)$. Доказать, что необходимым условием корректности [^fn1] этого метода суммирования является условие

Для числовой последовательности $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ определим обобщённый предел с помощью произвольной бесконечной вправо и вниз матрицы $A = \left\{ a_{i, j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$ :

Доказать, что $\sigma (A, x) = \lim x_{k}$ для всякой последовательности $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty } \in c$ тогда и только тогда, когда выполнены три условия:

1. $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n k} = 0, k = 1,2, \ldots$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k = 1}^{\infty } a_{n k} = 1$;

3. существует такое число $M$, что $\sum_{k = 1}^{\infty }\left|a_{n k}\right| \leqslant M$ для всех $n$.

(Н. Абель, 1826). Доказать корректность метода суммирования Абеля. Пусть ряд $\sum_{k = 1}^{\infty } a_{k}$ сходится к числу $a$. Доказать, что $\lim_{x < 1, x \rightarrow 1} \sum_{k = 1}^{\infty } a_{k} x^{k} = a$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность векторов из $X$, а $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность функционалов из $X^{*}$. Будет ли числовая последовательность $f_{n}\left(x_{n}\right)$ сходящейся, если последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ фундаментальна (по норме или слабо) и последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ фундаментальна (по норме, слабо или *-слабо)? Исследовать все шесть случаев.

Определить вид сходимости (по норме, слабая, *-слабая если речь идёт о сопряжённом пространстве — или отсутствует) следующих последовательностей, и в случае сходимости найти предел:

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что для любого оператора $A \in \mathcal{B}\left(X, c_{0}\right)$ найдётся такая последовательность функционалов $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset X^{*}$, что $f_{n} \rightharpoonup 0$ и $(A x)_{n} = f_{n}(x)$ для любого $x \in X$. Доказать, что наоборот, любая слабо сходящаяся к нулю последовательность функционалов $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset X^{*}$ порождает оператор $A \in \mathcal{B}\left(X, c_{0}\right)$ по правилу $(A x)_{n} = f_{n}(x)$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, последовательности операторов $A_{n}$ и $B_{n}$ сильно сходятся в $\mathcal{B}(X, Y)$ к $A$ и $B$ соответственно, а последовательности комплексных чисел $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ сходятся к $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Доказать, что $\alpha_{n} A_{n}+\beta_{n} B_{n} \xrightarrow {s} \alpha A+\beta B$. Доказать, что если $A_{n} \xrightarrow {s} A$ и $A_{n} \xrightarrow {s} B$ в $\mathcal{B}(X, Y)$, то $A = B$. Доказать оба утверждения задачи с заменой сильной операторной сходимости на слабую операторную сходимость.

Доказать, что из равномерной сходимости последовательности операторов из $\mathcal{B}(X, Y)$ следует сильная операторная сходимость, а из сильной операторной сходимости следует слабая операторная сходимость.

Привести пример последовательности операторов пространства $\mathcal{B}(X, Y)$, сходящейся сильно, но не равномерно. Привести пример последовательности операторов, сходящейся слабо, но не сильно.

Доказать, что последовательность операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ из $\mathcal{B}(X, Y)$ сходится по норме к оператору $A$ тогда и только тогда, когда $A_{n} \xrightarrow {s} A$ равномерно на единичном шаре пространства $X$, т. е. для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое число $N$, что для всякого $x \in X$, $\left\| x\right\|_{X} \leqslant 1$ и для всех $n > N$ справедливо неравенство $\left\| A_{n} x-A x\right\|_{Y} \leqslant \varepsilon$. Доказать, что последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ сходится по норме к оператору $A$ тогда и только тогда, когда $A_{n} \rightharpoonup A$ равномерно на единичном шаре пространства $X$ и единичном шаре пространства $Y^{*}$, т. е. для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое число $N$, что для всяких $x \in X$, $\left\| x\right\|_{X} \leqslant 1$ и $f \in Y^{*},\left\| f\right\|_{Y^{*}} \leqslant 1$ и для всех $n > N$ имеет место неравенство $\left|f\left(A_{n} x-A x\right)\right| \leqslant \varepsilon$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, причём $X$ конечномерно. Доказать, что в пространстве $\mathcal{B}(X, Y)$ равномерная и сильная операторные сходимости совпадают.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, причём $Y$ конечномерно. Доказать, что в пространстве $\mathcal{B}(X, Y)$ сильная и слабая операторные сходимости совпадают.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $Y$ — банахово пространство. Доказать, что пространство $\mathcal{B}(X, Y)$ полно относительно сильной операторной сходимости.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства и $Y$ полно относительно слабой сходимости. Доказать, что пространство $\mathcal{B}(X, Y)$ полно относительно слабой операторной сходимости.

(Х. Хан, 1922). Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное пространство. Пусть $\mathcal{M} \subset \mathcal{B}(X, Y)$ — слабо ограниченное множество операторов, т. е. для всех $x \in X$ и $f \in Y^{*}$ имеют место неравенства $\sup_{A \in \mathcal{M}}\left|f(A x)\right| < C_{f, x} < \infty$. Доказать, что $\mathcal{M}$ ограничено по норме. [^fn1] В частности, любая слабо сходящаяся и любая слабо фундаментальная последовательность ограничена по норме.

Пусть последовательность непрерывных операторов $A_{n}$ в банаховом пространстве $X$ слабо сходится к $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что $\left\| A\right\| \leqslant \varlimsup_{n \rightarrow \infty }\left\| A_{n}\right\|$. Привести пример, показывающий, что даже в случае сильной операторной сходимости равенства может не быть.

Пусть $X, Y$ и $Z$ — нормированные пространства, последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X, Y)$ сходится (равномерно, сильно или слабо) к оператору $A \in \mathcal{B}(X, Y)$, а последовательность $\left\{ B_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(Y, Z)$ сходится (равномерно, сильно или слабо) к оператору $B \in \mathcal{B}(Y, Z)$. В каждом из девяти возможных случаев исследовать, будет ли последовательность $B_{n} A_{n}$ сходиться к оператору $B A$, и указать тип сходимости.

Доказать критерий сильной сходимости операторов. Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Последовательность операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в $\mathcal{B}(X, Y)$ сходится сильно к оператору $A$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. для любого $x \in X$ последовательность $\left\{ A_{n} x\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена;

2. в $X$ найдётся такое всюду плотное множество $M$, что $A_{n} x \rightarrow A x$ для любого $x \in M$.

Доказать критерий слабой сходимости операторов. Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Последовательность операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в $\mathcal{B}(X, Y)$ сходится слабо к оператору $A$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. для любых $x \in X$ и $f \in Y^{*}$ последовательность $\left\{ f\left(A_{n} x\right)\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена;

2. в $X$ найдётся такое всюду плотное множество $M$, а в $Y^{*}$ найдётся такое всюду плотное множество $L$, что $f\left(A_{n} x\right) \rightarrow f(A x)$ для любых $x \in M$ и $f \in L$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, пространства $X$ и $Y^{*}$ (а значит, и пространство $Y$) сепарабельны и $Y$ рефлексивно. Доказать, что слабая операторная сходимость в любом ограниченном множестве пространства $\mathcal{B}(X, Y)$ метризуема (сравните с задачами 7.31 и 7.46).

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, пространства $X$ и $Y^{*}$ (а значит, и пространство $Y$) сепарабельны и $Y$ рефлексивно. Доказать, что из любой ограниченной последовательности операторов из $\mathcal{B}(X, Y)$ можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность (т. е. любое ограниченное множество в $\mathcal{B}(X, Y)$ секвенциально предкомпактно относительно слабой операторной сходимости; сравните с задачами 7.34 и 7.48).

Привести пример, показывающий, что утверждение предыдущей задачи для случая сильной операторной сходимости неверно.

Для следующих последовательностей операторов $A_{n}$ определить вид сходимости (равномерная, сильная, слабая или отсутствует) и найти предел в указанных пространствах: