Слабая сходимость: основные свойства. Критерии слабой сходимости

Доказать, что из сходимости по норме следует слабая сходимость. Привести пример последовательности в банаховом пространстве, сходящейся слабо, но не сходящейся по норме.

Доказать, что $x_{n} \rightarrow x$, где $\left\{ x_{n}\right\}$ и $x$ — векторы нормированного пространства $X$, тогда и только тогда, когда $x_{n}$ слабо сходятся к $x$ равномерно по единичному шару пространства $X^{*}$, т. е.

Пусть $x_{n} \rightharpoonup x, y_{n} \rightharpoonup y, \alpha_{n} \rightarrow \alpha , \beta_{n} \rightarrow \beta$, где $\left\{ x_{n}\right\} , x,\left\{ y_{n}\right\}$ и $y$ — векторы нормированного пространства $X$, а $\left\{ \alpha_{n}\right\} , \alpha ,\left\{ \beta_{n}\right\} , \beta$ — комплексные числа. Доказать, что $\alpha_{n} x_{n}+\beta_{n} y_{n} \rightharpoonup \alpha x+\beta y$. Доказать, что если $x_{n} \rightharpoonup x$ и $x_{n} \rightharpoonup x^{\prime }$, то $x = x^{\prime }$.

(С. Мазур, 1933). Пусть последовательность $x_{n}$ слабо сходится к $x$ в нормированном пространстве $X$. Доказать, что $x \in \overline{\operatorname {conv}\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }}$.

(Х. Хан, 1922). Доказать, что в произвольном нормированном пространстве $X$ любое слабо ограниченное множество ограничено по норме. Доказать, что из слабой сходимости или слабой фундаментальности некоторой последовательности векторов нормированного пространства следует ограниченность этой последовательности по норме.

Доказать, что на ограниченных множествах сепарабельного гильбертова пространства слабая сходимость равносильна покоординатной сходимости, а именно $x_{n} \rightharpoonup x$ тогда и только тогда, когда $\left(x_{n}, e_{k}\right) \rightarrow \left(x, e_{k}\right)$ для любого $k \in \mathbb {N}$, где $\left\{ e_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — произвольный фиксированный ортонормированный базис.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что если $x_{n} \rightharpoonup x$ в пространстве $X$, то $A x_{n} \rightharpoonup A x$ в пространстве $Y$. Привести пример, показывающий, что последовательность $\left\{ A x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ не обязана сходится к $A x$ по норме.

Доказать критерий слабой сходимости. Пусть $X$ — нормированное пространство, а $\left\{ x_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — последовательность векторов в нём. Доказать, что $x_{n} \rightharpoonup x$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. последовательность ограничена, т. е. существует такое число $C$, что $\left\| x_{n}\right\| < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. в $X^{*}$ найдётся такое всюду плотное множество $Y$, что $f\left(x_{n}\right) \rightarrow f(x)$ для любого $f \in Y$.

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве слабая сходимость совпадает со сходимостью по норме, т. е.

Доказать критерий слабой сходимости в $l_{p}, p \in (1, \infty )$ : последовательность $x^{n} = \left(x_{1}^{n}, x_{2}^{n}, \ldots \right)$ сходится слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x^{n}\right\|_{l_{p}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{n} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

(Я. Шур, 1909). Доказать, что слабая сходимость в $l_{1}$ совпадает со сходимостью по норме (равномерной сходимостью).

Доказать, что в пространстве $l_{1}$ нет подпространств, изоморфных пространству $l_{2}$.

Доказать критерий слабой сходимости в $c_{0}$ : последовательность $x^{n} = \left(x_{1}^{n}, x_{2}^{n}, \ldots \right)$ сходится слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x^{n}\right\|_{c_{0}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{n} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

Доказать критерий слабой сходимости в $c$ : последовательность $x^{n} = \left(x_{1}^{n}, x_{2}^{n}, \ldots \right)$ сходится слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены три условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x^{n}\right\|_{c} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{n} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$;

3. если обозначить $l_{n} = \lim_{k \rightarrow \infty } x_{k}^{n}$ и $l = \lim_{k \rightarrow \infty } x_{k}$, то $l_{n} \rightarrow l$.

Доказать критерий слабой сходимости в $C[0,1]$ : последовательность $x_{n} = x_{n}(t)$ сходится слабо к $x$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x\right\|_{C[0,1]} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}(t) = x(t)$ для любого $t \in [0,1]$.

Доказать критерий слабой сходимости в $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$ : последовательность $x_{n} = x_{n}(t)$ сходится слабо к $x$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x_{n}\right\|_{L_{p}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. для каждого элемента произвольной системы функций $\left\{ g_{\alpha }\right\} \subset \subset L_{q}[0,1] = \left(L_{p}[0,1]\right)^{*}$, удовлетворяющей условию $\overline{\operatorname {Lin}\left\{ g_{\alpha }\right\} } = L_{q}[0,1]$, справедливо равенство

   $$\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} x_{n}(t) g_{\alpha }(t) d t = \int _{0}^{1} x(t) g_{\alpha }(t) d t$$

   В главе 10 будет доказано, что при $p > 1$ в качестве системы $\left\{ g_{\alpha }\right\}$ можно взять любую из систем

   $$\left\{ t^{m}\right\} _{m = 0}^{\infty }, \quad \left\{ \sin \pi m t\right\} _{m = 1}^{\infty }, \quad \left\{ \chi _{(a, b)}(t): a \in [0,1], b \in [0,1], a < b\right\}$$

   (здесь $\chi_{(a, b)}$ — характеристическая функция интервала $(a, b)$). В случае $p = 1$ и $q = \infty$ в качестве системы $\left\{ g_{\alpha }\right\}$ можно выбрать систему характеристических функций всех измеримых по Лебегу множеств на $[0,1]$.

Доказать, что в гильбертовом пространстве $x_{n} \rightarrow x$ тогда и только тогда, когда $x_{n} \rightharpoonup x$ и $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow \left\| x\right\|$.

Доказать, что в любом равномерно выпуклом нормированном пространстве (см. определение 2.11) $x_{n} \rightarrow x$ тогда и только тогда, когда $x_{n} \rightharpoonup x$ и $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow \left\| x\right\|$.

Доказать, что из слабой сходимости в пространстве $L_{p}[0,1]$, $p \in [1, \infty )$, вообще говоря, не следует сходимость по мере.

Доказать, что если $p > 1$ и последовательность функций $x_{n} \in L_{p}[0,1]$, ограниченная по норме $L_{p}[0,1]$, сходится по мере к некоторой функции $x$, то $x \in L_{p}[0,1]$ и $x_{n} \rightharpoonup x$. Доказать, что при $p = 1$ это утверждение неверно.

Доказать, что если $x_{n} \rightharpoonup 0$ в нормированном пространстве $X$, то $\underline{\lim }_{n \rightarrow \infty }\left\| x-x_{n}\right\| \geqslant \left\| x\right\|$ для любого элемента $x$.

В пространствах $c_{0}$ и $C[0,1]$ привести примеры слабо фундаментальных последовательностей, не имеющих слабого предела. $\square$

Доказать, что любое рефлексивное банахово пространство является секвенциально слабо полным (т. е. любая слабо фундаментальная последовательность имеет слабый предел). Привести пример нерефлексивного, но секвенциально слабо полного банахова пространства.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ и $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательности векторов из $H$. Будет ли числовая последовательность $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ сходящейся, если последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ и $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ фундаментальны (по норме или слабо)? Исследовать все три случая.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X^{*}$ сепарабельно (отсюда, в силу утверждения задачи 5.42, следует сепарабельность самого пространства $X$). Доказать, что слабая сходимость в единичном шаре пространства $X$ метризуема.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X^{*}$ сепарабельно. Указать такую метрику $w(x, y)$, определённую на всём $X$, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ слабо сходится к $x \in X$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена;

2. $w\left(x_{n}, x\right) \rightarrow 0$.

(С. Банах, 1932). Пусть банахово пространство $X$ рефлексивно, а $X^{*}$ сепарабельно. Доказать, что из любой последовательности точек единичного шара $\left\{ x:\left\| x\right\|_{X} \leqslant 1\right\}$ можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к точке единичного шара (то есть единичный шар секвенциально слабо компактен).

Пусть банахово пространство $X$ рефлексивно, а $X^{*}$ сепарабельно. Доказать, что любое ограниченное множество $B \subset X$ слабо секвенциально предкомпактно, т. е. из любой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ точек множества $B$ можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность $x_{n_{k}} \rightarrow x \in X$. Доказать, что если к тому же $B$ есть замкнутое и выпуклое множество, то $x \in B$, т. е. $B$ слабо секвенциально компактно.

Доказать, что единичные шары в пространствах $l_{1}, c_{0}, C[0,1]$ не являются слабо секвенциально компактными множествами.

Доказать, что любая последовательность вложенных непустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в рефлексивном банаховом пространстве имеет непустое пересечение. Привести контрпример к этому утверждению для случая нерефлексивных банаховых пространств (ср. с задачами 1.36, 1.38, 2.68, 3.34 и 4.22).