Банк задач по математике

Задача 7.59

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, последовательности операторов $A_{n}$ и $B_{n}$ сильно сходятся в $\mathcal{B}(X, Y)$ к $A$ и $B$ соответственно, а последовательности комплексных чисел $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ сходятся к $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Доказать, что $\alpha_{n} A_{n}+\beta_{n} B_{n} \xrightarrow {s} \alpha A+\beta B$ . Доказать, что если $A_{n} \xrightarrow {s} A$ и $A_{n} \xrightarrow {s} B$ в $\mathcal{B}(X, Y)$ , то $A = B$ . Доказать оба утверждения задачи с заменой сильной операторной сходимости на слабую операторную сходимость.

?

Задача 7.60

Доказать, что из равномерной сходимости последовательности операторов из $\mathcal{B}(X, Y)$ следует сильная операторная сходимость, а из сильной операторной сходимости следует слабая операторная сходимость.

?

Задача 7.61

Привести пример последовательности операторов пространства $\mathcal{B}(X, Y)$ , сходящейся сильно, но не равномерно. Привести пример последовательности операторов, сходящейся слабо, но не сильно.

?

Задача 7.62

Доказать, что последовательность операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ из $\mathcal{B}(X, Y)$ сходится по норме к оператору $A$ тогда и только тогда, когда $A_{n} \xrightarrow {s} A$ равномерно на единичном шаре пространства $X$ , т. е. для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое число $N$ , что для всякого $x \in X$ , $\left\| x\right\|_{X} \leqslant 1$ и для всех $n > N$ справедливо неравенство $\left\| A_{n} x-A x\right\|_{Y} \leqslant \varepsilon$ . Доказать, что последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ сходится по норме к оператору $A$ тогда и только тогда, когда $A_{n} \rightharpoonup A$ равномерно на единичном шаре пространства $X$ и единичном шаре пространства $Y^{*}$ , т. е. для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое число $N$ , что для всяких $x \in X$ , $\left\| x\right\|_{X} \leqslant 1$ и $f \in Y^{*},\left\| f\right\|_{Y^{*}} \leqslant 1$ и для всех $n > N$ имеет место неравенство $\left|f\left(A_{n} x-A x\right)\right| \leqslant \varepsilon$ .

?

Задача 7.63

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, причём $X$ конечномерно. Доказать, что в пространстве $\mathcal{B}(X, Y)$ равномерная и сильная операторные сходимости совпадают.

?

Задача 7.64

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, причём $Y$ конечномерно. Доказать, что в пространстве $\mathcal{B}(X, Y)$ сильная и слабая операторные сходимости совпадают.

?

Задача 7.65

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $Y$ — банахово пространство. Доказать, что пространство $\mathcal{B}(X, Y)$ полно относительно сильной операторной сходимости.

?

Задача 7.66

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства и $Y$ полно относительно слабой сходимости. Доказать, что пространство $\mathcal{B}(X, Y)$ полно относительно слабой операторной сходимости.

?

Задача 7.67

(Х. Хан, 1922). Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное пространство. Пусть $\mathcal{M} \subset \mathcal{B}(X, Y)$ — слабо ограниченное множество операторов, т. е. для всех $x \in X$ и $f \in Y^{*}$ имеют место неравенства $\sup_{A \in \mathcal{M}}\left|f(A x)\right| < C_{f, x} < \infty$ . Доказать, что $\mathcal{M}$ ограничено по норме. [^fn1] В частности, любая слабо сходящаяся и любая слабо фундаментальная последовательность ограничена по норме.

?

Задача 7.68

Пусть последовательность непрерывных операторов $A_{n}$ в банаховом пространстве $X$ слабо сходится к $A \in \mathcal{B}(X)$ . Доказать, что $\left\| A\right\| \leqslant \varlimsup_{n \rightarrow \infty }\left\| A_{n}\right\|$ . Привести пример, показывающий, что даже в случае сильной операторной сходимости равенства может не быть.

?

Задача 7.69

Пусть $X, Y$ и $Z$ — нормированные пространства, последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X, Y)$ сходится (равномерно, сильно или слабо) к оператору $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ , а последовательность $\left\{ B_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(Y, Z)$ сходится (равномерно, сильно или слабо) к оператору $B \in \mathcal{B}(Y, Z)$ . В каждом из девяти возможных случаев исследовать, будет ли последовательность $B_{n} A_{n}$ сходиться к оператору $B A$ , и указать тип сходимости.

?

Задача 7.70

Доказать критерий сильной сходимости операторов. Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Последовательность операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в $\mathcal{B}(X, Y)$ сходится сильно к оператору $A$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

для любого $x \in X$ последовательность $\left\{ A_{n} x\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена;
в $X$ найдётся такое всюду плотное множество $M$ , что $A_{n} x \rightarrow A x$ для любого $x \in M$ .

?

Задача 7.71

Доказать критерий слабой сходимости операторов. Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Последовательность операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в $\mathcal{B}(X, Y)$ сходится слабо к оператору $A$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

для любых $x \in X$ и $f \in Y^{*}$ последовательность $\left\{ f\left(A_{n} x\right)\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена;
в $X$ найдётся такое всюду плотное множество $M$ , а в $Y^{*}$ найдётся такое всюду плотное множество $L$ , что $f\left(A_{n} x\right) \rightarrow f(A x)$ для любых $x \in M$ и $f \in L$ .

?

Задача 7.72

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, пространства $X$ и $Y^{*}$ (а значит, и пространство $Y$ ) сепарабельны и $Y$ рефлексивно. Доказать, что слабая операторная сходимость в любом ограниченном множестве пространства $\mathcal{B}(X, Y)$ метризуема (сравните с задачами 7.31 и 7.46).

?

Задача 7.73

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, пространства $X$ и $Y^{*}$ (а значит, и пространство $Y$ ) сепарабельны и $Y$ рефлексивно. Доказать, что из любой ограниченной последовательности операторов из $\mathcal{B}(X, Y)$ можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность (т. е. любое ограниченное множество в $\mathcal{B}(X, Y)$ секвенциально предкомпактно относительно слабой операторной сходимости; сравните с задачами 7.34 и 7.48).

?

Задача 7.74

Привести пример, показывающий, что утверждение предыдущей задачи для случая сильной операторной сходимости неверно.

?

Задача 7.75

Для следующих последовательностей операторов $A_{n}$ определить вид сходимости (равномерная, сильная, слабая или отсутствует) и найти предел в указанных пространствах:

?

(а)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(l_{p}\right), p \in [1, \infty ), A_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(0, \ldots , 0, x_{n}, 0,0 \ldots \right)$ ;

(б)

$A_{n} \in \mathcal{B}(X)$ , где $X$ — нормированное пространство, $A_{n} x = \frac{x}{n}$ ;

(в)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(l_{p}\right), p \in [1, \infty ), A_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(0, \ldots , 0, x_{n}, x_{n+1}, \ldots \right)$ ;

(г)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(l_{p}\right), p \in [1, \infty ), A_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(\lambda_{1, n} x_{1}, \lambda_{2, n} x_{2}, \ldots \right)$ , где векторы $\lambda_{n} = \left(\lambda_{1, n}, \lambda_{2, n}, \ldots \right)$ лежат в $l_{\infty }$ и сходятся по норме этого пространства к вектору $\lambda = \left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \right)$ ;

(д)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(l_{p}\right), p \in [1, \infty ), A_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(\lambda_{1, n} x_{1}, \lambda_{2, n} x_{2}, \ldots \right)$ , где $\left|\lambda_{k, n}\right| < C$ и $\lambda_{k, n} \rightarrow \lambda_{k}$ при $n \rightarrow \infty$ для любого $k \in \mathbb {N}$ (т.е. векторы $\lambda_{n} = \left(\lambda_{1, n}, \lambda_{2, n}, \ldots \right)$ сходятся к $\lambda = \left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \right) *$ -слабо в $l_{\infty }$ );

(е)

$A_{n} \in \mathcal{B}(X)$ , где $X = l_{p}, p \in [1, \infty ), X = c_{0}$ или $X = c, A_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(x_{n}, x_{n+1}, \ldots \right)$ (т. е. $A_{n} = T_{l}^{n}$ , где $T_{l}$ — оператор левого сдвига);

(ж)

$A_{n} \in \mathcal{B}(C[0,1]),\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{t} \sum_{k = 0}^{n} \frac{s^{k}}{k!} x(s) d s$ ;

(з)

$A_{n} \in \mathcal{B}(C[0,1]),\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{1 / n}^{1-1 / n} K(t, s) x(s) d s$ , где $K(t, s)$ — непрерывная на квадрате $[0,1]^{2}$ функция;

(и)

$A_{n} \in \mathcal{B}(C[0,1]),\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} K_{n}(t, s) x(s) d s$ , где $K_{n}(t, s)$ — непрерывные на квадрате $[0,1]^{2}$ функции, равномерно сходящиеся к функции $K(t, s)$ ;

(к)

$A_{n} \in \mathcal{B}(C[0,1]),\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} K_{n}(t, s) x(s) d s$ , где $K_{n}(t, s)$ — равномерно ограниченные по $n$ , непрерывные на квадрате $[0,1]^{2}$ функции, поточечно сходящиеся к непрерывной функции $K(t, s)$ ;

(л)

$A_{n} \in \mathcal{B}(C[0,1]), A_{n} = A^{n}$ , где $(A x)(t) = \int_{0}^{t} x(s) d s$ ;

(м)

$A_{n} \in \mathcal{B}(C[0,1]), A_{n} = A^{n}$ , где $(A x)(t) = \int_{0}^{t} K(t, s) x(s) d s$ , а $K(t, s)$ 一 непрерывная на треугольнике $\left\{ (t, s): 0 \leqslant s \leqslant t \leqslant 1\right\}$ функция;

(н)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right), A_{n} = A^{n}$ , где $(A x)(t) = \int_{0}^{t} K(t, s) x(s) d s$ , а $K \in$ $\left([0,1]^{2}\right) ; \in L_{2}\left([0,1]^{2}\right)$ ;

(о)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right),\left(A_{n} x\right)(t) = \int_{0}^{1} K_{n}(t, s) x(s) d s$ , где $K_{n} \in L_{2}\left([0,1]^{2}\right)$ и $K_{n} \rightarrow K$ в $L_{2}\left([0,1]^{2}\right)$ ;

(п)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(C^{1}[0,1], C[0,1]\right),\left(A_{n} x\right)(t) = \sum_{k = 0}^{n} x(k / n) P_{k, n}(t)$ — интерполяционный многочлен Лагранжа для функции $x(t)$ , где $P_{k, n}(t) = \prod_{j = 0, j \neq k}^{n} \frac{\left(t-t_{j}\right)}{\left(t_{k}-t_{j}\right)}$ , а $t_{k} = k / n$ ;

(р)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(C_{\text{per }}^{1}[-\pi , \pi ], C[-\pi , \pi ]\right)$ , где $C_{\text{per }}^{1}[-\pi , \pi ]$ — подпространство пространства $C^{1}[-\pi , \pi ]$ , состоящее из функций, удовлетворяющих условиям $x(-\pi ) = x(\pi ), x^{\prime }(-\pi ) = x^{\prime }(\pi ),\left(A_{n} x\right)(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{n}\left(a_{k} \cos k t+b_{k} \sin k t\right)$ — частичная сумма ряда Фурье для функции $x(t)$ , где $a_{k} = \frac{1}{\sqrt{\pi }} \int_{-\pi }^{\pi } x(t) \cos k t d t, b_{k} = \frac{1}{\sqrt{\pi }} \int_{-\pi }^{\pi } x(t) \sin k t d t$ ;

(с)

$A_{n} \in \mathcal{B}(C[0,1]),\left(A_{n} x\right)(t) = x\left(t^{1+1 / n}\right)$ ;

(т)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right), p \in [1, \infty ],\left(A_{n} x\right)(t) = \begin{cases} x(t), & \text{ если } t < 1-1 / n, \\ 0, & \text{ если } t > 1-1 / n ;\end{cases}$

(у)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right), p \in [1, \infty ),\left(A_{n} x\right)(t) = \sum_{k = 1}^{n} n \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} x(s) d s \chi_{k, n}(t)$ , где $\chi_{k, n}(t)$ — характеристическая функция отрезка $\left[t_{k-1}, t_{k}\right]$ , а $t_{k} = k / n$ ;

(ф)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right), p \in [1, \infty ],\left(A_{n} x\right)(t) = a_{n}(t) x(t)$ , где функции $a_{n} \in L_{\infty }[0,1]$ и $a_{n} \rightarrow a$ в $L_{\infty }[0,1]$ ;

(х)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right), p \in [1, \infty ],\left(A_{n} x\right)(t) = a_{n}(t) x(t)$ , где функции $a_{n} \in C[0,1]$ равномерно по $n$ ограничены в этом пространстве и поточечно сходятся к функции $a(t)$ ;

(ц)

\begin{aligned} * A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{p}[-\pi , \pi ]\right) & , p \in [1, \infty ], \\ & \left(A_{n} x\right)(t) = \frac{a_{0}}{2}+\sum _{k = 1}^{n}\left(a_{k} \cos k t+b_{k} \sin k t\right) \end{aligned}

— частичная сумма ряда Фурье для функции $x(t)$ , где

a_{k} = \frac{1}{\sqrt{\pi }} \int _{-\pi }^{\pi } x(t) \cos k t d t, \quad b_{k} = \frac{1}{\sqrt{\pi }} \int _{-\pi }^{\pi } x(t) \sin k t d t

(ч)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right), p \in [1, \infty ]$ ,

\left(A_{n} x\right)(t) = \begin{cases} x(t+1 / n), & \text{ если } t+1 / n \leqslant 1, \\ x(t+1 / n-1), & \text{ если } t+1 / n > 1 ;\end{cases}

(ш)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right), p \in [1, \infty ], A_{n} = A^{n},(A x)(t) = x(\varphi (t))$ , где $\varphi (t) \in L_{\infty }[0,1]$ отображает отрезок $[0,1]$ в себя;

(щ)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{p}(\mathbb {R})\right), p \in [1, \infty ],\left(A_{n} x\right)(t) = x(t+1 / n) ;$

(ы)

$A_{n} \in \mathcal{B}\left(L_{p}(\mathbb {R})\right), p \in [1, \infty ],\left(A_{n} x\right)(t) = x(t+n)$ .

Задача 7.76

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X, Y)$ равномерно, сильно или слабо сходится к оператору $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ , а последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty } \subset X$ по норме или слабо сходится к вектору $x \in X$ . В каждом из шести возможных случаев исследовать, будет ли последовательность $\left\{ A_{n} x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ сходиться к вектору $A x$ , и указать тип сходимости.

?

Задача 7.77

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A: X \rightarrow Y$ — линейный оператор, который переводит любую сходящуюся по норме $X$ последовательность в слабо сходящуюся последовательность из $Y$ . Доказать, что $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ .

?

Задача 7.78

(П. П. Коровкин, 1959). Пусть $L_{n} \in \mathcal{B}(C[0,1]), n \in \mathbb {N}$ , — положительные операторы (т. е. для любой неотрицательной функции $x \in C[0,1]$ её образы $L_{n} x$ — тоже неотрицательные функции). Доказать, что если $L_{n}(1) \rightarrow 1, L_{n}(t) \rightarrow t$ и $L_{n}\left(t^{2}\right) \rightarrow t^{2}$ , то $L_{n} x \rightarrow x$ для любой функции $x \in C[0,1]$ (т. е. $L_{n} \xrightarrow {s} I$ ).

?

Различные виды сходимости в пространстве операторов