Обратный оператор

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ и для некоторой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ векторов с $\left\| x_{n}\right\| = 1$ последовательность $A x_{n}$ стремится к нулю. Доказать, что $A$ не обратим.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что если обратный оператор $A^{-1} \in \mathcal{B}(Y, X)$ существует, то он единствен.

Рассмотрим в пространстве $X$ операторы $T_{r} x = \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots \right)$ и $T_{l} x = \left(x_{2}, x_{3}, \ldots , x_{n}, \ldots \right)$ сдвига вправо и влево соответственно. Доказать, что эти операторы необратимы, но у оператора правого сдвига есть левый обратный, а у оператора левого сдвига — правый обратный операторы. Найти их.

Привести пример оператора, для которого существует левый обратный, но он не единствен. Привести пример оператора, для которого существует правый обратный, но он не единствен.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что единственность

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ обладает правым обратным $A_{r}^{-1} \in \mathcal{B}(Y, X)$ и левым обратным $A_{l}^{-1} \in \mathcal{B}(Y, X)$. Доказать, что тогда $A_{r}^{-1} = A_{l}^{-1} = A^{-1}$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что если $A$ обратим, то он биективен; если существует правый обратный $A_{r}^{-1} \in \mathcal{B}(Y, X)$, то $A$ сюръективен; если же существует левый обратный $A_{l}^{-1} \in \mathcal{B}(Y, X)$, то $A$ инъективен.

Привести пример ограниченного инъективного оператора в банаховых пространствах, для которого нет ограниченного левого обратного оператора, но есть правый обратный.

Привести пример ограниченного сюръективного оператора в банаховых пространствах, для которого нет ограниченного правого обратного оператора, но есть левый обратный.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что $A$ имеет левый обратный тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. $A$ инъективен;

2. $\operatorname {Im} A$ — замкнутое дополняемое подпространство в $Y$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что $A$ имеет правый обратный тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. А сюръективен;

2. $\operatorname {Ker} A$ — дополняемое подпространство в $X$.

Привести пример, показывающий, что в теореме Банаха об обратном операторе условие полноты пространства $Y$ существенно.

Показать, что в теореме Банаха об обратном операторе условие полноты пространства $X$ существенно.

Предполагая верной теорему 9.1, доказать теорему 9.2, и наоборот.

Теорема 9.1 (Банаха об обратном операторе): пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства и $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ — биективный оператор. Тогда $A^{-1} \in \mathcal{B}(Y, X)$.

Теорема 9.2 (об открытом отображении): пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства и $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ — сюръективный оператор. Тогда $A$ — открытое отображение, т. е. образ всякого открытого множества открыт.

Пусть $X$ — банахово пространство, линейное подпространство $Y \subset X$ имеет конечную коразмерность и $Y = \operatorname {Im} A$, где $A: Z \rightarrow X$ — ограниченный оператор, $Z$ — банахово пространство. Доказать, что $Y$ замкнуто (ср. с теоремой 11.3).

Пусть $X, Y$ и $Z$ — банаховы пространства и $J: Y \rightarrow Z$ инъективный непрерывный линейный оператор. Пусть $A \in \mathcal{L}(X, Y)$, причём композиция $J A \in \mathcal{B}(X, Z)$. Доказать, что $A \in \mathcal{B}(X, Y)$.

Существует ли обратимый оператор $A \in \mathcal{B}\left(c, c_{0}\right)$?

Пусть $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right)$, причём $\operatorname {Im} A \subset C[0,1]$. Доказать, что $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1], C[0,1]\right)$. Доказать, что вообще, если $X, Y, Z$ — банаховы пространства, $Y$ непрерывно вложено в $Z$, а некоторый оператор $A$ ограниченно действует из $X$ в $Z$ и обладает свойством $\operatorname {Im} A \subset Y$, то $A \in \mathcal{B}(X, Y)$.

Доказать, что оператор дифференцирования $A: W_{2}^{1}[0,1] \rightarrow L_{2}[0,1],(A x)(t) = x^{\prime }(t)$ имеет замкнутый график.

Доказать, что функционал $f: x \mapsto x(0)$, действующий в $L_{2}[0,1]$ с $\mathcal{D}(f) = C[0,1]$, имеет незамкнутый график.

Привести пример банаховых пространств $X$ и $Y$ и оператора $A \in \mathcal{L}(X, Y)$ с незамкнутым графиком.

Пусть $X$ — линейное пространство, $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ — две нормы, и пусть $X_{i}: = \left(X,\left\| \cdot \right\|_{i}\right)$ — банаховы пространства, причём $\left\| \cdot \right\|_{1} \prec \prec \left\| \cdot \right\|_{2}$. Доказать, что нормы $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ эквивалентны.

Пусть $X$ — банахово пространство, $X_{0}$ — замкнутое подпространство и $X_{1}$ — его линейное дополнение. Доказать, что проектор на подпространство $X_{0}$ вдоль подпространства $X_{1}$ ограничен тогда и только тогда, когда $X_{1}$ тоже замкнуто.

Доказать, что подобные операторы обратимы или необратимы одновременно. Доказать, что нормы у унитарно эквивалентных операторов совпадают. Привести пример подобных операторов с различной нормой.

Пусть $A x = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \ldots \right)$ — оператор умножения на последовательность $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in l_{\infty }$, действующий в пространстве $X$. Доказать, что $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда $\inf \left\{ \left|\lambda_{n}\right|: n \in \mathbb {N}\right\} > 0$. Найти $A^{-1}$ и его норму.

Доказать, что оператор $A x = \left(0, x_{1}, 0, x_{2}, 0, x_{3}, \ldots \right)$ в пространстве $l_{2}$ не имеет правого обратного. Найти $A_{l}^{-1}$. Доказать, что оператор $B x = \left(x_{1}, x_{2}, x_{4}, x_{8}, \ldots \right)$ в пространстве $l_{2}$ не имеет левого обратного. Найти $B_{r}^{-1}$.

Пусть $X = C[0,1],(A x)(t) = a(t) x(t)$ — оператор умножения на непрерывную функцию. Доказать, что этот оператор обратим тогда и только тогда, когда функция $a$ не обращается в ноль на отрезке $[0,1]$. Найти обратный оператор.

Пусть $X = L_{p}[0,1], p \in [1, \infty ],(A x)(t) = a(t) x(t)$ — оператор умножения на функцию $a \in L_{\infty }[0,1]$. Доказать, что этот оператор обратим тогда и только тогда, когда $\underset {t \in [0,1]}{\operatorname {ess} \inf }\left|a(t)\right| > 0$ (определение ess inf см. в задаче 6.27). Найти обратный оператор.

Рассмотрим в пространстве

Пусть $A: C^{1}[0,1] \rightarrow C[0,1],(A x)(t) = x^{\prime }(t)$. Доказать, что он не обратим. Найти правый обратный оператор.

Доказать, что у оператора Харди $(A x)(t) = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} x(s) d s$ в пространстве $L_{p}[0,1], p \in (1, \infty )$, нет ни левого, ни правого обратного оператора.

Найти обратный оператор для оператора $A$ в пространстве $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty ]:$

Найти обратный оператор для оператора $A$ в пространстве $C[0,1]:(A x)(t) = x(t)+\int_{0}^{1} e^{t+s} x(s) d s$.

Пусть $X \subset Y$ — банаховы пространства и $\left\| \cdot \right\|_{Y} \prec \left\| \cdot \right\|_{X}$ на $X$ (тогда оператор $J: X \rightarrow Y, J x = x$, непрерывен, т. е. пространство $X$ вложено в $Y$, см. определение 2.2). При каких условиях на пространства $X$ и $Y$ оператор $J$ имеет

Пусть $\varphi (t)$ — непрерывная на $[0,1]$ функция, отображающая отрезок $[0,1]$ в себя. При каких условиях на функцию $\varphi$ оператор замены переменной $(A x)(t) = x(\varphi (t))$ в пространстве $C[0,1]$ имеет

Пусть $X, Y$ и $Z$ — банаховы пространства, а операторы $A \in \mathcal{B}(X, Y), B \in \mathcal{B}(Y, Z)$ имеют ограниченные обратные. Доказать, что $B A$ также обратим. Что можно сказать о произведении обратимого и необратимого операторов? Что можно сказать о произведении двух необратимых операторов?

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y), B \in \mathcal{B}(Y, X)$ и операторы $A B$ и $B A$ обратимы. Что можно утверждать об обратимости операторов $A$ и $B$?

Пусть $A = A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ ($A, A_{i} \in \mathcal{B}(X)$, где $X$ — банахово пространство). Доказать, что если все операторы $A_{i}$ обратимы, то и $A$ обратим. Доказать, что если операторы $A_{i}, i = 1,2, \ldots , n$, коммутируют, то из обратимости $A$ следует обратимость каждого из $A_{i}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $C \in \mathcal{B}(X)$ и $\left\| C\right\| < 1$. Доказать, что оператор $I+C$ обратим и

Получить явный вид для $(I+C)^{-1}$ в виде сходящегося ряда из операторов.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A$ — обратимый оператор, $B \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\left\| B\right\| < 1 /\left\| A^{-1}\right\|$. Доказать, что оператор $A+B$ обратим и

Получить явный вид для $(A+B)^{-1}$ в виде ряда.

Пусть $T_{r}:\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \mapsto \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ — оператор правого сдвига в пространстве $l_{2}$. Доказать, что если $A \in \mathcal{B}\left(l_{2}\right)$ — произвольный оператор с $\left\| A\right\| < 1$, то оператор $T_{r}+A$ не обратим [^fn1].

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Доказать, что множество операторов, для которых существует

Найти расстояние от оператора $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right)$ до множества необратимых операторов, если

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ и для некоторых комплексных $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ выполнено $I+\lambda_{1} A+\lambda_{2} A^{2}+\ldots \ldots +\lambda_{n} A^{n} = 0$. Доказать, что $A$ обратим.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X)$ и оператор $I+A B$ обратим. Доказать, что оператор $I+B A$ также обратим.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X)$ и $A B+A+I = B A+A+I = 0$. Доказать, что оператор $A$ обратим.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A \in \mathcal{IB}(X), B \in \mathcal{B}(X)$ и $A B = B A$. Доказать, что $A^{-1} B = B A^{-1}$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A \in \mathcal{I B}(X)$. Определим $k: = \left\| A\right\| \cdot \left\| A^{-1}\right\|$ — число обусловленности оператора $A$. Предположим, при решении уравнения $A x = y$ (здесь $y$ задан и надо найти $x$) найдено приближенное решение $\tilde{x}$, для которого $A \tilde{x} = \tilde{y}$. Доказать оценку для относительной погрешности

Из задачи 9.1 следует, что обратимость оператора $A$ влечёт оценку $\inf_{\left\| x\right\| = 1}\left\| A x\right\| > 0$. Обратное утверждение в общем случае неверно: необходимо дополнительно требовать сюръективность оператора $A$.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное пространство; оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\inf_{\left\| x\right\|_{X} = 1}\left\| A x\right\|_{Y} = c > 0$. Доказать, что образ $\operatorname {Im} A$ замкнут и $A$ обратим как оператор из $X$ в $\operatorname {Im} A$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$ — самосопряженный равномерно положительный оператор в $H$, т. е. $A \geqslant c I$, где $c > 0$. Доказать, что $A$ обратим.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H), \inf \left\| A x\right\| > 0$ и $\operatorname {Ker} A^{*} = \left\{ 0\right\}$. Доказать, что $A$ обратим.

Привести пример таких банаховых пространств $X, Y$ и такой последовательности обратимых операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in \mathcal{B}(X, Y)$, $A_{n} \rightrightarrows A$, что оператор $A$ не обратим.

Доказать, что если $A_{n} \in \mathcal{B}(X, Y), A_{n} \rightrightarrows A$, все $A_{n}$ обратимы и $\left\| A_{n}\right\|^{-1} \leqslant C$, то $A$ также обратим.

Привести пример банахового пространств $X$ и оператора $A \in \mathcal{I B}(X)$, для которого найдётся последовательность таких необратимых ограниченных операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$, что $A_{n} \xrightarrow {s} A$.

Пусть $A_{n} \xrightarrow {s} A$ в $\mathcal{B}(X)$, причем все $A_{n}$ обратимы, а обратные операторы равномерно ограничены: $\left\| A_{n}^{-1}\right\| < C$. Верно ли, что $A$ обратим:

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{I B}(X, Y)$. Доказать, что оператор $A^{\prime }$ также обратим и $\left(A^{\prime }\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{\prime }$. Доказать, что если $X$ и $Y$ — гильбертовы пространства, $A \in \mathcal{IB}(X, Y)$, то $A^{*}$ также обратим и $\left(A^{*}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{*}$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y), A^{\prime } \in \mathcal{I B}\left(Y^{*}, X^{*}\right)$. Доказать, что оператор $A$ также обратим и $A^{-1} = \pi_{X}^{-1}\left(\left(A^{\prime }\right)^{-1}\right)^{\prime } \pi_{Y}$, где $\pi_{X}: X \hookrightarrow X^{* *}, \pi_{Y}: Y \hookrightarrow Y^{* *}$ — канонические вложения.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — обратимый самосопряжённый оператор. Доказать, что обратный оператор $A^{-1}$ также самосопряжён. Доказать, что если самосопряжённый обратимый оператор $A \geqslant 0$, то и $A^{-1} \geqslant 0$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ и $B$ — самосопряжённые операторы и $I \leqslant A \leqslant B$. Доказать, что операторы $A$ и $B$ обратимы и $B^{-1} \leqslant A^{-1} \leqslant I$.