Свойства обратимых операторов

Пусть $X, Y$ и $Z$ — банаховы пространства, а операторы $A \in \mathcal{B}(X, Y), B \in \mathcal{B}(Y, Z)$ имеют ограниченные обратные. Доказать, что $B A$ также обратим. Что можно сказать о произведении обратимого и необратимого операторов? Что можно сказать о произведении двух необратимых операторов?

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y), B \in \mathcal{B}(Y, X)$ и операторы $A B$ и $B A$ обратимы. Что можно утверждать об обратимости операторов $A$ и $B$?

Пусть $A = A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ ($A, A_{i} \in \mathcal{B}(X)$, где $X$ — банахово пространство). Доказать, что если все операторы $A_{i}$ обратимы, то и $A$ обратим. Доказать, что если операторы $A_{i}, i = 1,2, \ldots , n$, коммутируют, то из обратимости $A$ следует обратимость каждого из $A_{i}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $C \in \mathcal{B}(X)$ и $\left\| C\right\| < 1$. Доказать, что оператор $I+C$ обратим и

Получить явный вид для $(I+C)^{-1}$ в виде сходящегося ряда из операторов.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A$ — обратимый оператор, $B \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\left\| B\right\| < 1 /\left\| A^{-1}\right\|$. Доказать, что оператор $A+B$ обратим и

Получить явный вид для $(A+B)^{-1}$ в виде ряда.

Пусть $T_{r}:\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \mapsto \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ — оператор правого сдвига в пространстве $l_{2}$. Доказать, что если $A \in \mathcal{B}\left(l_{2}\right)$ — произвольный оператор с $\left\| A\right\| < 1$, то оператор $T_{r}+A$ не обратим [^fn1].

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Доказать, что множество операторов, для которых существует

Найти расстояние от оператора $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right)$ до множества необратимых операторов, если

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ и для некоторых комплексных $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ выполнено $I+\lambda_{1} A+\lambda_{2} A^{2}+\ldots \ldots +\lambda_{n} A^{n} = 0$. Доказать, что $A$ обратим.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X)$ и оператор $I+A B$ обратим. Доказать, что оператор $I+B A$ также обратим.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X)$ и $A B+A+I = B A+A+I = 0$. Доказать, что оператор $A$ обратим.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A \in \mathcal{IB}(X), B \in \mathcal{B}(X)$ и $A B = B A$. Доказать, что $A^{-1} B = B A^{-1}$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A \in \mathcal{I B}(X)$. Определим $k: = \left\| A\right\| \cdot \left\| A^{-1}\right\|$ — число обусловленности оператора $A$. Предположим, при решении уравнения $A x = y$ (здесь $y$ задан и надо найти $x$) найдено приближенное решение $\tilde{x}$, для которого $A \tilde{x} = \tilde{y}$. Доказать оценку для относительной погрешности

Из задачи 9.1 следует, что обратимость оператора $A$ влечёт оценку $\inf_{\left\| x\right\| = 1}\left\| A x\right\| > 0$. Обратное утверждение в общем случае неверно: необходимо дополнительно требовать сюръективность оператора $A$.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное пространство; оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\inf_{\left\| x\right\|_{X} = 1}\left\| A x\right\|_{Y} = c > 0$. Доказать, что образ $\operatorname {Im} A$ замкнут и $A$ обратим как оператор из $X$ в $\operatorname {Im} A$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$ — самосопряженный равномерно положительный оператор в $H$, т. е. $A \geqslant c I$, где $c > 0$. Доказать, что $A$ обратим.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H), \inf \left\| A x\right\| > 0$ и $\operatorname {Ker} A^{*} = \left\{ 0\right\}$. Доказать, что $A$ обратим.

Привести пример таких банаховых пространств $X, Y$ и такой последовательности обратимых операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in \mathcal{B}(X, Y)$, $A_{n} \rightrightarrows A$, что оператор $A$ не обратим.

Доказать, что если $A_{n} \in \mathcal{B}(X, Y), A_{n} \rightrightarrows A$, все $A_{n}$ обратимы и $\left\| A_{n}\right\|^{-1} \leqslant C$, то $A$ также обратим.

Привести пример банахового пространств $X$ и оператора $A \in \mathcal{I B}(X)$, для которого найдётся последовательность таких необратимых ограниченных операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$, что $A_{n} \xrightarrow {s} A$.

Пусть $A_{n} \xrightarrow {s} A$ в $\mathcal{B}(X)$, причем все $A_{n}$ обратимы, а обратные операторы равномерно ограничены: $\left\| A_{n}^{-1}\right\| < C$. Верно ли, что $A$ обратим:

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{I B}(X, Y)$. Доказать, что оператор $A^{\prime }$ также обратим и $\left(A^{\prime }\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{\prime }$. Доказать, что если $X$ и $Y$ — гильбертовы пространства, $A \in \mathcal{IB}(X, Y)$, то $A^{*}$ также обратим и $\left(A^{*}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{*}$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y), A^{\prime } \in \mathcal{I B}\left(Y^{*}, X^{*}\right)$. Доказать, что оператор $A$ также обратим и $A^{-1} = \pi_{X}^{-1}\left(\left(A^{\prime }\right)^{-1}\right)^{\prime } \pi_{Y}$, где $\pi_{X}: X \hookrightarrow X^{* *}, \pi_{Y}: Y \hookrightarrow Y^{* *}$ — канонические вложения.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — обратимый самосопряжённый оператор. Доказать, что обратный оператор $A^{-1}$ также самосопряжён. Доказать, что если самосопряжённый обратимый оператор $A \geqslant 0$, то и $A^{-1} \geqslant 0$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ и $B$ — самосопряжённые операторы и $I \leqslant A \leqslant B$. Доказать, что операторы $A$ и $B$ обратимы и $B^{-1} \leqslant A^{-1} \leqslant I$.