§ 25

Скалярное произведение. Матрица Грама

[58/72%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
25.1 · Определение евклидова пространства (25.1-25.19)[19/42%]
Задача 25.1

Пусть n\mathbf{n} — фиксированный ненулевой вектор в геометрическом пространстве. Сопоставим произвольной паре векторов x,y\mathbf{x}, \mathbf{y}:

?
(1)

смешанное произведение (n,x,y)(\mathbf{n}, \mathbf{x}, \mathbf{y})

(2)

скалярное произведение (x+n,y+n)(\mathbf{x} + \mathbf{n}, \mathbf{y} + \mathbf{n})

(3)

(n,x)(n,y)(\mathbf{n}, \mathbf{x})(\mathbf{n}, \mathbf{y});

(4)

∣n∣(x,y)\left|\mathbf{n}\right|(\mathbf{x}, \mathbf{y});

(5)

∣x∣∣y∣\left|\mathbf{x}\right|\left|\mathbf{y}\right|.

Можно ли принять такую функцию за скалярное произведение?

Задача 25.2

Может ли скалярное произведение в вещественном nn-мерном линейном пространстве задаваться следующей функцией от координат векторов:

?
(1)

x1y1+2x2y2x_{1} y_{1} + 2x_{2} y_{2},

(1) n=2n = 2;

(2) n=3n = 3

(2)

x1y1+x2,n=2x_{1} y_{1} + x_{2}, \quad n = 2

(3)

3x1y1+2x1y2+x2y1+x2y2,n=23x_{1} y_{1} + 2x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2}, \quad n = 2

(4)

2x1y1+x1y2+x2y1+2x2y2,n=22x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + 2x_{2} y_{2}, \quad n = 2

(5)

x1y1+2x1y2+2x2y1+x2y2+x3y3,n=3x_{1} y_{1} + 2x_{1} y_{2} + 2x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3}, \quad n = 3.

Задача 25.3

На плоскости нарисован эллипс с полуосями 2 и 1. Пусть дан вектор х. Рассмотрим вектор x0\mathbf{x}_{0}, сонаправленный cx\mathbf{c} \mathbf{x}, начало которого — центр эллипса, а конец лежит на эллипсе. Положим φ(x)=∣x∣/∣x0∣\varphi (\mathbf{x}) = \left|\mathbf{x}\right| / \left|\mathbf{x}_{0}\right|, и φ(o)=0\varphi (\mathbf{o}) = 0. Теперь произвольной паре векторов можно сопоставить число

F(x,y)=φ2(x+y)−φ2(x−y). F(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \varphi ^{2}(\mathbf{x} + \mathbf{y}) - \varphi ^{2}(\mathbf{x} - \mathbf{y}).

Доказать, что этим определено скалярное произведение. Найти его выражение через координаты векторов в канонической системе координат эллипса.

?
Задача 25.4
?
(1)

Доказать, что функция F(X,Y)=tr⁡XTYF(X, Y) = \operatorname {tr} X^{T} Y записывается через элементы матриц формулой (1) из введения и может быть принята за скалярное произведение в пространстве вещественных матриц размеров m×nm \times n.

(2)

Евклидовой нормой матрицы называется ее длина при этом скалярном произведении. Доказать, что евклидова норма равна квадратному корню из суммы квадратов всех элементов матрицы.

(3)

Найти длины векторов стандартного базиса и углы между ними относительно такого скалярного произведения.

Задача 25.5

Рассматривается пространство квадратных матриц порядка nn, и каждой паре матриц сопоставлено число:

?
(1)

F(X,Y)=tr⁡XYF(X, Y) = \operatorname {tr} XY

(2)

F(X,Y)=tr⁡Xtr⁡YF(X, Y) = \operatorname {tr} X\operatorname {tr} Y

(3)

F(X,Y)=det⁡XYF(X, Y) = \operatorname {det} XY.

Может ли такая функция быть принята за скалярное произведение?

Задача 25.6

Пусть PP фиксированная квадратная матрица порядка mm. При каких условиях на эту матрицу функция F(X,Y)=tr⁡XTPYF(X, Y) = \operatorname {tr} X^{T} PY является скалярным произведением в линейном пространстве матриц размеров m×nm \times n?

?
Задача 25.7

В линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке [−1,1]\left[ - 1, 1\right], функциям ff и gg сопоставляется число

(f,g)=∫−11f(t)g(t)dt. (f, g) = \int _{ - 1}^{1} f(t) g(t) dt.

Доказать, что этим определено скалярное произведение.

?
Задача 25.8

В линейном пространстве многочленов степени не выше nn двум многочленам pp и qq сопоставлено число F(p,q)F(p, q). Доказать, что этим определено скалярное произведение:

?
(1)

F(p,q)=∫−11p(t)q(t)dtF(p, q) = \int_{ - 1}^{1} p(t) q(t) dt

(2)

FF — сумма произведений производных порядка kk, вычисленных в точке t0t_{0},

F(p,q)=∑k=0np(k)(t0)q(k)(t0) F(p, q) = \sum _{k = 0}^{n} p^{(k)}\left(t_{0}\right) q^{(k)}\left(t_{0}\right)
(3)

FF — сумма произведений коэффициентов при равных степенях,

F(p,q)=∑k=0nαkβk F(p, q) = \sum _{k = 0}^{n} \alpha _{k} \beta _{k}
(4)

FF — сумма произведений значений pp и qq в m>nm > n различных точках,

F(p,q)=∑k=1mp(tk)q(tk) F(p, q) = \sum _{k = 1}^{m} p\left(t_{k}\right) q\left(t_{k}\right)

. (Убедиться, что требование m>nm > n необходимо.)

Задача 25.9

Доказать, что в евклидовом пространстве из задачи 25.8,1)25. 8, 1) многочлены Лежандра

P0(t)=1,Pk(t)=12kk!dkdtk(t2−1)k(k=1,…,n) P_{0}(t) = 1, \quad P_{k}(t) = \frac{1}{2^{k} k!} \frac{d^{k}}{dt^{k}}\left(t^{2} - 1\right)^{k} \quad (k = 1, \ldots , n)

образуют ортогональный базис. Найти длины (нормы) этих многочленов.

?
Задача 25.10

Пусть e\mathbf{e} — базис в линейном пространстве E\mathcal{E}. Доказать, что в E\mathcal{E} существует одно и только одно скалярное произведение, относительно которого базис e\mathbf{e} — ортонормированный.

?
Задача 25.11

Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (x,y)1(x, y)_{1} и (x,y)2(x, y)_{2}. Доказать, что для любых положительных чисел λ\lambda и μ\mu функция (x,y)=λ(x,y)1+μ(x,y)2(x, y) = \lambda (x, y)_{1} + \mu (x, y)_{2} — также скалярное произведение.

?
Задача 25.12

Дано линейное пространство L\mathcal{L} — прямая сумма подпространств L1\mathcal{L}_{1} и L2\mathcal{L}_{2}, в которых заданы скалярные произведения (x,y)1(x, y)_{1} и (x,y)2(x, y)_{2}. Пусть x=x1+x2x = x_{1} + x_{2} и y=y1+y2y = y_{1} + y_{2}, где x1,y1∈L1;x2,y2∈L2x_{1}, y_{1} \in \mathcal{L}_{1}; x_{2}, y_{2} \in \mathcal{L}_{2}. Доказать, что функция (x,y)=(x1,y1)1+(x2,y2)2(x, y) = \left(x_{1}, y_{1}\right)_{1} + \left(x_{2}, y_{2}\right)_{2} есть скалярное произведение на L\mathcal{L}.

?
Задача 25.13

Пусть ∣x∣\left|x\right| длина вектора xx в евклидовом пространстве. Доказать, что:

?
(1)

(x,y)=14(∣x+y∣2−∣x−y∣2)(x, y) = \frac{1}{4}\left(\left|x + y\right|^{2} - \left|x - y\right|^{2}\right)

(2)

(x,y)=12(∣x+y∣2−∣x∣2−∣y∣2)(x, y) = \frac{1}{2}\left(\left|x + y\right|^{2} - \left|x\right|^{2} - \left|y\right|^{2}\right).

Задача 25.14

Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (x,y)1(x, y)_{1} и (x,y)2(x, y)_{2}, и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (x,x)1=(x,x)2(x, x)_{1} = (x, x)_{2}. Доказать, что скалярные произведения совпадают.

?
Задача 25.15

В пространстве многочленов степени ⩽3\leqslant 3 со стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами t,t3t, t^{3} и t−t3t - t^{3}. Найти

?
(1)

углы треугольника

(2)

длины его сторон.

Задача 25.16

Доказать, что треугольник в евклидовом пространстве прямоугольный тогда и только тогда, когда длина одной из сторон равна длине другой стороны, умноженной на косинус угла между этими сторонами.

?
Задача 25.17

Доказать, что медиана треугольника в евклидовом пространстве короче одной из сторон, между которыми она лежит.

?
Задача 25.18

Доказать, что сумма углов произвольного треугольника в евклидовом пространстве равна π\pi.

?
Задача 25.19

Пусть L\mathcal{L} конечномерное линейное пространство. Доказать, что выбор определенного изоморфизма L\mathcal{L} на его сопряженное L∗\mathcal{L}^{ * } равносилен заданию скалярного произведения в L\mathcal{L}.

?
Подпараграф
25.2 · Скалярное произведение в координатах (25.20-25.44)[25/80%]
Задача 25.20

В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти скалярные произведения

?
(1)

[1111]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right] и [1258]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 8\end{smallmatrix}\right]

(2)

[1214]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 4\end{smallmatrix}\right] и [1−110]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(3)

[−121−4]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ -4 \end{smallmatrix}\right] и [4−1−21]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ - 1 \\ - 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

c171\mathbf{c}_{171} и c172\mathbf{c}_{172}. c171=[−1110],c172=[3643]\mathbf{c}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{172} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 6 \\ 4 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(5)

c174\mathbf{c}_{174} и c175\mathbf{c}_{175}. куба. c174=[−1111],c175=[1301]\mathbf{c}_{174} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{175} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.21

Найти угол между ребром и диагональю nn-мерного

?
Задача 25.22

Найти длины векторов и косинусы углов между ними в задаче 25. 20:

?
(1)

[1111]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right] и [1258]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 8\end{smallmatrix}\right]

(2)

[1214]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 4\end{smallmatrix}\right] и [1−110]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(3)

[−121−4]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ -4 \end{smallmatrix}\right] и [4−1−21]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ - 1 \\ - 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

c171\mathbf{c}_{171} и c172\mathbf{c}_{172}. c171=[−1110],c172=[3643]\mathbf{c}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{172} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 6 \\ 4 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(5)

c174\mathbf{c}_{174} и c175\mathbf{c}_{175}. куба. c174=[−1111],c175=[1301]\mathbf{c}_{174} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{175} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.23

Пусть в некотором базисе квадрат длины любого вектора xx равен сумме квадратов его координат. Доказать, что базис ортонормированный.

?
Задача 25.24

Нарисовать на плоскости какой — либо базис с матрицей Грама A19\mathbf{A}_{19}. Описать все множество таких базисов. A19=[1112]\mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 25.25

Найти скалярное произведение векторов, если заданы их координаты в некотором базисе и матрица Грама Γ\Gamma этого базиса:

?
(1)

[111],[131],Γ=[1−21−25−41−46]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 5 & - 4 \\ 1 & - 4 & 6\end{smallmatrix}\right]

(2)

[−1−11],[013],Γ=[1232583814]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ -1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 8 & 14\end{smallmatrix}\right]

(3)

c20,c23,Γ=A24\mathbf{c}_{20}, \mathbf{c}_{23}, \Gamma = \mathbf{A}_{24}. c20=[0−2],c23=[2−1],A24=[1−1−12]\mathbf{c}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c23,c36,Γ=A17\mathbf{c}_{23}, \mathbf{c}_{36}, \Gamma = \mathbf{A}_{17}. c23=[2−1],c36=[3−3],A17=[3559]\mathbf{c}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(5)

[1⋯1],c282,A630\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \cdots \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{282}, \mathbf{A}_{630}. c282=[1μμ2⋮μn−1],A630=[111…11121…11113…11………………111…1n]\mathbf{c}_{282} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mu \\ \mu^2 \\ \vdots \\ \mu^{n-1} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{630} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.26

Найти углы между векторами, заданными их координатами:

?
(1)

[1111],[0202]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 0 & 2\end{smallmatrix}\right]; базис ортонормированный

(2)

[2121],[0202]\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & \sqrt{2} & 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 0 & 2\end{smallmatrix}\right]; базис ортонормированный

(3)

[5021],[2121]\left[\begin{smallmatrix} 5 & 0 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right]; базис ортонормированный

(4)

[10],[01]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right]; базис с матрицей Грама [1114]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4\end{smallmatrix}\right]

(5)

c12,c33\mathbf{c}_{12}, \mathbf{c}_{33}; базис с матрицей Грама A58\mathbf{A}_{58}. c12=[11],c33=[21],A58=[1−2−25]\mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{58} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(6)

c18,c12\mathbf{c}_{18}, \mathbf{c}_{12}; базис с матрицей Грама A58\mathbf{A}_{58}. c18=[31],c12=[11],A58=[1−2−25]\mathbf{c}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{58} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.27

Найти длины векторов в задаче 25.25:

?
(1)

[111],[131],Γ=[1−21−25−41−46]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 5 & - 4 \\ 1 & - 4 & 6\end{smallmatrix}\right]

(2)

[−1−11],[013],Γ=[1232583814]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ -1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 8 & 14\end{smallmatrix}\right]

(3)

c20,c23,Γ=A24\mathbf{c}_{20}, \mathbf{c}_{23}, \Gamma = \mathbf{A}_{24}. c20=[0−2],c23=[2−1],A24=[1−1−12]\mathbf{c}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c23,c36,Γ=A17\mathbf{c}_{23}, \mathbf{c}_{36}, \Gamma = \mathbf{A}_{17}. c23=[2−1],c36=[3−3],A17=[3559]\mathbf{c}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(5)

[1⋯1],c282,A630\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \cdots \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{282}, \mathbf{A}_{630}. c282=[1μμ2⋮μn−1],A630=[111…11121…11113…11………………111…1n]\mathbf{c}_{282} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mu \\ \mu^2 \\ \vdots \\ \mu^{n-1} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{630} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.28

При каких значениях параметров ε,α\varepsilon , \alpha данные матрицы могут служить матрицами Грама в евклидовом пространстве:

?
(1)

A80\mathbf{A}_{80}. A80=[1−ε−ε1]\mathbf{A}_{80} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -\varepsilon \\ -\varepsilon & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A77\mathbf{A}_{77}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(3)

A76\mathbf{A}_{76}. A76=[cos⁡αsin⁡αsin⁡α−cos⁡α]\mathbf{A}_{76} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.29

Доказать, что в nn-мерном пространстве квадратная матрица Γ\Gamma порядка nn может служить матрицей Грама какоголибо базиса тогда и только тогда, когда найдется квадратная матрица SS с детерминантом, отличным от нуля, такая, что Γ=STS\Gamma = S^{T} S.

?
Задача 25.30

Доказать, что в nn-мерном пространстве квадратная матрица Γ\Gamma порядка nn может служить матрицей Грама какого — либо базиса тогда и только тогда, когда она положительно определена, то есть Γ=ΓT\Gamma = \Gamma^{T} и ξTΓξ>0\xi^{T} \Gamma \xi > 0 для любого столбца ε≠0\varepsilon \neq 0.

?
Задача 25.31

Пусть Γ\Gamma — матрица Грама некоторого базиса е. Доказать, что матрицами Грама некоторых базисов являются также матрицы:

?
(1)

Γ−1\Gamma^{ - 1}

(2)

Γ2\Gamma^{2}

(3)

Γk\Gamma^{k}, где kk целое.

Задача 25.32

Пусть Γ1\Gamma_{1} и Γ2\Gamma_{2} — матрицы Грама базисов e1\mathbf{e}_{1} и e2\mathbf{e}_{2}. Доказать, что при любых положительных коэффициентах матрица Γ=α1Γ1+α2Γ2\Gamma = \alpha_{1} \Gamma_{1} + \alpha_{2} \Gamma_{2} также есть матрица Грама некоторого базиса.

?
Задача 25.33

В матрице Грама некоторого базиса все элементы равны либо 0, либо 1, либо - 1. Доказать, что базис ортонормированный.

?
Задача 25.34

Доказать, что максимальный по модулю элемент матрицы Грама расположен на главной диагонали.

?
Задача 25.35

Может ли третья строка матрицы Грама некоторого базиса в четырехмерном пространстве быть строкой:

?
(1)

[1111]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

[−1−1−1−1]\left[\begin{smallmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \end{smallmatrix}\right]

(3)

[1010]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(4)

[0101]\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(5)

[12121412]\left[\begin{smallmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.36

Найти матрицу Грама стандартного базиса пространства квадратных матриц второго порядка 1{ }^{1}) со скалярным произведением, определенным в задаче 25. 6, если PP равно:

?
(1)

A17\mathbf{A}_{17}. A17=[3559]\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A24\mathbf{A}_{24}. A24=[1−1−12]\mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.37

В пространстве многочленов степени не выше двух со стандартным скалярным произведением найти матрицу Грама стандартного базиса.

?
Задача 25.38

В пространстве квадратных матриц порядка nn со скалярным произведением задачи 25. 4 найти матрицу Грама стандартного базиса.

?
Задача 25.39

Дана матрица Грама базиса е. Найти матрицу Грама его биортогонального базиса e∗\mathbf{e}^{ * }.

?
Задача 25.40

Пусть любые два различных вектора из системы x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n} образуют угол π/3\pi / 3. Доказать, что эти векторы линейно независимы.

?
Задача 25.41

Даны две системы векторов x1,…,xpx_{1}, \ldots , x_{p} и y1,…,ypy_{1}, \ldots , y_{p}, и из скалярньг произведений cij=(xi,yȷ)c_{ij} = \left(x_{i}, y_{\jmath }\right) составлена матрица CC.

?
(1)

Доказать, что det⁡C=0\operatorname {det} C = 0, если хоть одна из систем линейно зависима.

(2)

Верно ли обратное утверждение? 1) См. введение к §15\S 15

Задача 25.42

Две упорядоченные системы векторов e1,…,eke_{1}, \ldots , e_{k} и f1,…,fkf_{1}, \ldots , f_{k} в евклидовом пространстве называются биортогональными, если (ei,fj)=0\left(e_{i}, f_{j}\right) = 0 при i≠ji \neq j, а (ei,fi)=1\left(e_{i}, f_{i}\right) = 1 для всех ii. Доказать, что каждая из двух биортогональных систем линейно независима.

?
Задача 25.43

Для системы векторов x1,…,xpx_{1}, \ldots , x_{p} евклидова пространства составляется матрица CC с элементами cij=(xi,xj)c_{ij} = \left(x_{i}, x_{j}\right). Пусть Rg⁡C=k\operatorname {Rg} C = k и минор порядка kk в левом верхнем углу базисный. Указать какую — нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов.

?
Задача 25.44

Используя свойства матрицы, составленной из всевозможных скалярных произведений, доказать, что для любой матрицы AA выполнено Rg⁡ATA=Rg⁡A\operatorname {Rg} A^{T} A = \operatorname {Rg} A.

?
Подпараграф
25.3 · Ортогональные матрицы (25.45-25.58)[14/100%]
Задача 25.45

Какие из следующих матриц являются ортогональными:

?
(1)

A32\mathbf{A}_{32}. A32=[13310]\mathbf{A}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 10 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A22\mathbf{A}_{22}. A22=[0110]\mathbf{A}_{22} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A16\mathbf{A}_{16}. A16=[1−111]\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A15\mathbf{A}_{15}. A15=[−1001]\mathbf{A}_{15} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A20\mathbf{A}_{20}. A20=[0−110]\mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A64\mathbf{A}_{64}. A64=[3/101/101/10−3/10]\mathbf{A}_{64} = \left[\begin{smallmatrix} 3/\sqrt{10} & 1/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -3/\sqrt{10} \end{smallmatrix}\right].

(7)

A243\mathbf{A}_{243}. A243=[100001010]\mathbf{A}_{243} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A253\mathbf{A}_{253}. A253=[011−10−1−110]\mathbf{A}_{253} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(9)

A255\mathbf{A}_{255}. A255=[010−1030−30]\mathbf{A}_{255} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A329\mathbf{A}_{329}. A329=[1/21/61/31/2−1/6−1/302/6−1/3]\mathbf{A}_{329} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{3} \\ 0 & 2/\sqrt{6} & -1/\sqrt{3} \end{smallmatrix}\right].

(11)

A330\mathbf{A}_{330}. A330=[1/3−1/31/31/(3−3)1/(3+3)−1/31/(3+3)1/(3−3)1/3]\mathbf{A}_{330} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{3} \\ 1/(3 - \sqrt{3}) & 1/(3 + \sqrt{3}) & -1/\sqrt{3} \\ 1/(3 + \sqrt{3}) & 1/(3 - \sqrt{3}) & 1/\sqrt{3} \end{smallmatrix}\right].

(12)

A432\mathbf{A}_{432}. A432=[0−1001000000−10010]\mathbf{A}_{432} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(13)

A433\mathbf{A}_{433}. A433=[1−21001−21001−20001]\mathbf{A}_{433} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(14)

A445\mathbf{A}_{445}. A445=[1/101/21/22/102/101/2−1/2−1/101/10−1/2−1/22/102/10−1/21/2−1/10]\mathbf{A}_{445} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{10} & 1/2 & 1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & 1/2 & -1/2 & -1/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -1/2 & -1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & -1/2 & 1/2 & -1/\sqrt{10} \end{smallmatrix}\right].

(15)

A436\mathbf{A}_{436}. A436=[1111101100100011]\mathbf{A}_{436} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 25.46

Останется ли ортогональная матрица ортогональной если:

?
(1)

переставить ее строки

(2)

переставить ее столбцы

(3)

написать элементы строк, имеющих нечетные номера, в обратном порядке

(4)

транспонировать

(5)

повернуть вокруг побочной диагонали

(6)

умножить одну из строк на число

(7)

прибавить одну из строк к другой.

Задача 25.47

Пусть AA и BB — ортогональные матрицы одного порядка. Являются ли ортогональными матрицы:

?
(1)

A+BA + B

(2)

ABAB

(3)

ABTAB^{T}

(4)

αA\alpha A

(5)

Ak,kA^{k}, \quad k целое.

Задача 25.48

Найти все такие пары ортогональных матриц второго порядка, сумма которых — ортогональная матрица.

?
Задача 25.49

При каком условии для ортогональной матрицы AA найдется число α≠0\alpha \neq 0 такое, что матрица A+αEA + \alpha E также является ортогональной? Существуют ли такие матрицы, отличные от EE и −E- E, для n=2,3,4n = 2, 3, 4?

?
Задача 25.50

Может ли ортогональная матрица четвертого порядка содержать строку:

?
(1)

[1010]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(2)

[1212012]?\left[\begin{smallmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{smallmatrix}\right]?

Задача 25.51

Дана строка длины nn, сумма квадратов элементов которой равна 1. Существует ли ортогональная матрица порядка nn с такой строкой?

?
Задача 25.52

Найти все ортогональные матрицы, имеющие первую строку [12121212]\left[\begin{smallmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 25.53
?
(1)

Могут ли все элементы ортогональной матрицы быть положительными?

(2)

Доказать, что ортогональная матрица, все элементы которой неотрицательны, получается из единичной матрицы перестановкой столбцов.

Задача 25.54

Найти все ортогональные матрицы, являющиеся верхними треугольными.

?
Задача 25.55

При каком условии подматрица ортогональной матрицы также будет ортогональной?

?
Задача 25.56

Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка nn равны между собой по абсолютной величине. Чему равна абсолютная величина элемента?

?
Задача 25.57

Доказать, что ортогональные матрицы, описанные в задаче 25. 56, существуют, если n=2k,kn = 2^{k}, k — натуральное число.

?
Задача 25.58
?
(1)

Даны два ортонормированных базиса e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} и f1,…,fnf_{1}, \ldots , f_{n}. Доказать, что матрица из скалярных произведений (ei,fj)\left(e_{i}, f_{j}\right) — ортогональная.

(2)

Даны две ортонормированные системы по k<nk < n векторов в nn-мерном евклидовом пространстве. При каком условии ортогональна матрица из попарных скалярных произведений векторов этих систем?