Определение евклидова пространства (25.1-25.19)

Пусть $\mathbf{n}$ — фиксированный ненулевой вектор в геометрическом пространстве. Сопоставим произвольной паре векторов $\mathbf{x}, \mathbf{y}$:

Может ли скалярное произведение в вещественном $n$-мерном линейном пространстве задаваться следующей функцией от координат векторов:

На плоскости нарисован эллипс с полуосями 2 и 1. Пусть дан вектор х. Рассмотрим вектор $\mathbf{x}_{0}$, сонаправленный $\mathbf{c} \mathbf{x}$, начало которого — центр эллипса, а конец лежит на эллипсе. Положим $\varphi (\mathbf{x}) = \left|\mathbf{x}\right| / \left|\mathbf{x}_{0}\right|$, и $\varphi (\mathbf{o}) = 0$. Теперь произвольной паре векторов можно сопоставить число

Доказать, что этим определено скалярное произведение. Найти его выражение через координаты векторов в канонической системе координат эллипса.

Рассматривается пространство квадратных матриц порядка $n$, и каждой паре матриц сопоставлено число:

Пусть $P$ фиксированная квадратная матрица порядка $m$. При каких условиях на эту матрицу функция $F(X, Y) = \operatorname {tr} X^{T} PY$ является скалярным произведением в линейном пространстве матриц размеров $m \times n$?

В линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке $\left[ - 1, 1\right]$, функциям $f$ и $g$ сопоставляется число

Доказать, что этим определено скалярное произведение.

В линейном пространстве многочленов степени не выше $n$ двум многочленам $p$ и $q$ сопоставлено число $F(p, q)$. Доказать, что этим определено скалярное произведение:

Доказать, что в евклидовом пространстве из задачи $25. 8, 1)$ многочлены Лежандра

образуют ортогональный базис. Найти длины (нормы) этих многочленов.

Пусть $\mathbf{e}$ — базис в линейном пространстве $\mathcal{E}$. Доказать, что в $\mathcal{E}$ существует одно и только одно скалярное произведение, относительно которого базис $\mathbf{e}$ — ортонормированный.

Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения $(x, y)_{1}$ и $(x, y)_{2}$. Доказать, что для любых положительных чисел $\lambda$ и $\mu$ функция $(x, y) = \lambda (x, y)_{1} + \mu (x, y)_{2}$ — также скалярное произведение.

Дано линейное пространство $\mathcal{L}$ — прямая сумма подпространств $\mathcal{L}_{1}$ и $\mathcal{L}_{2}$, в которых заданы скалярные произведения $(x, y)_{1}$ и $(x, y)_{2}$. Пусть $x = x_{1} + x_{2}$ и $y = y_{1} + y_{2}$, где $x_{1}, y_{1} \in \mathcal{L}_{1}; x_{2}, y_{2} \in \mathcal{L}_{2}$. Доказать, что функция $(x, y) = \left(x_{1}, y_{1}\right)_{1} + \left(x_{2}, y_{2}\right)_{2}$ есть скалярное произведение на $\mathcal{L}$.

Пусть $\left|x\right|$ длина вектора $x$ в евклидовом пространстве. Доказать, что:

Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения $(x, y)_{1}$ и $(x, y)_{2}$, и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: $(x, x)_{1} = (x, x)_{2}$. Доказать, что скалярные произведения совпадают.

В пространстве многочленов степени $\leqslant 3$ со стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами $t, t^{3}$ и $t - t^{3}$. Найти

Доказать, что треугольник в евклидовом пространстве прямоугольный тогда и только тогда, когда длина одной из сторон равна длине другой стороны, умноженной на косинус угла между этими сторонами.

Доказать, что медиана треугольника в евклидовом пространстве короче одной из сторон, между которыми она лежит.

Доказать, что сумма углов произвольного треугольника в евклидовом пространстве равна $\pi$.

Пусть $\mathcal{L}$ конечномерное линейное пространство. Доказать, что выбор определенного изоморфизма $\mathcal{L}$ на его сопряженное $\mathcal{L}^{ * }$ равносилен заданию скалярного произведения в $\mathcal{L}$.