§ 30

Линейные преобразования унитарного пространства

[44/57%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
30.1 · Линейные преобразования унитарного пространства. Примеры преобразований. Сопряженное преобразование (30.1-30.12)[12/67%]
Задача 30.1

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис в подпространстве L⊂U\mathcal{L} \subset \mathcal{U}. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе ee пространства U\mathcal{U} составляют матрицу AA. Написать в базисе е:

?
(1)

матрицу PP ортогонального проектирования на подпространство L\mathcal{L},

(2)

матрицу QQ отражения в подпространстве L\mathcal{L}.

Задача 30.2

Пусть L⊂U\mathcal{L} \subset \mathcal{U} линейная оболочка векторов a1a_{1} и a2a_{2}. В ортонормированном базисе ee пространства U\mathcal{U} даны координатные столбцы этих векторов. Написать в базисе ee матрицу PP ортогонального проектирования на подпространство L\mathcal{L} и матрицу QQ отражения в подпространстве L\mathcal{L}:

?
(1)

[1i1+i],[i11−i]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \\ 1 + i\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ 1-i\end{smallmatrix}\right];

(2)

[ii1],[2i03]\left[\begin{smallmatrix} i \\ i \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2i \\ 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right];

(3)

[i11i],[2i03i]\left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ 1 \\ i\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2i \\ 0 \\ 3 \\ i\end{smallmatrix}\right].

Задача 30.3

Дан вектор aa, и подпространство L⊂U\mathcal{L} \subset \mathcal{U} задано уравнением (a,x)=0(a, x) = 0. Найти образ вектора xx при отражении в L\mathcal{L}, и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора aa в ортонормированном базисе.

?
Задача 30.4

В ортонормированном базисе дан координатньй столбец а вектора aa. Пусть φ\varphi — отражение в подпространстве L⊂U\mathcal{L} \subset \mathcal{U}, заданном уравнением (a,x)=0(a, x) = 0. Выразить матрицу преобразования φ\varphi через а, если:

?
(1)

a=[3−12i]\mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -1 \\ 2i \end{smallmatrix}\right]

(2)

a=c153\mathbf{a} = \mathbf{c}_{153}. c153=[−i−1−3i]\mathbf{c}_{153} = \left[\begin{smallmatrix} -i \\ -1 \\ -3 i \end{smallmatrix}\right].

(3)

a=c131\mathbf{a} = \mathbf{c}_{131}. c131=[1−i1+i]\mathbf{c}_{131} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right].

(4)

a=c215\mathbf{a} = \mathbf{c}_{215}. c215=[1111−i]\mathbf{c}_{215} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 - i \end{smallmatrix}\right].

Задача 30.5

Доказать, что в унитарном пространстве операция перехода к сопряженному преобразованию обладает следующими свойствами:

?
(1)

(φ+ψ)∗=φ∗+ψ∗(\varphi + \psi )^{ * } = \varphi^{ * } + \psi^{ * };

(2)

(φψ)∗=ψ∗φ∗(\varphi \psi )^{ * } = \psi^{ * } \varphi^{ * };

(3)

(αφ)∗=αˉφ∗(\alpha \varphi )^{ * } = \bar{\alpha } \varphi^{ * };

(4)

если φ\varphi имеет обратное, то φ∗\varphi^{ * } также имеет обратное, и (φ∗)−1=(φ−1)∗\left(\varphi^{ * }\right)^{ - 1} = \left(\varphi^{ - 1}\right)^{ * }.

Задача 30.6

В ортонормированном базисе дана матрица линейного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу сопряженного преобразования:

?
(1)

A88\mathbf{A}_{88}. A88=[1ii1]\mathbf{A}_{88} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A103\mathbf{A}_{103}. A103=[0i−i0]\mathbf{A}_{103} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A100\mathbf{A}_{100}. A100=[12ii−1]\mathbf{A}_{100} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 i \\ i & -1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 30.7

Пусть AA — матрица линейного преобразования в базисе с матрицей Грама Г. Найти матрицу сопряженного преобразования:

?
(1)

A=A92,Γ=A87A = \mathbf{A}_{92}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{87}. A92=[i11i],A87=[11+i1−i3]\mathbf{A}_{92} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A97,Γ=A86A = \mathbf{A}_{97}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{86}. A97=[i1−12i],A86=[5i−i1]\mathbf{A}_{97} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ -1 & 2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A375,Γ=A388A = \mathbf{A}_{375}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{388}. A375=[11+i1−i111−1−ii],A388=[210121011]\mathbf{A}_{375} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i & 1-i \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -i & i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{388} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 30.8
?
(1)

Пусть вектор xx является собственным для преобразования φ\varphi с собственным значением λ\lambda и собственным для φ∗\varphi^{ * } с собственным значением μ\mu. Доказать, что λ=μˉ\lambda = \bar{\mu }.

(2)

Доказать, что преобразование φ∗\varphi^{ * }, сопряженное преобразованию φ\varphi с собственными значениями λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}, имеет собственные значения λ1‾,…,λn‾\overline{\lambda_{1}}, \ldots , \overline{\lambda_{n}}.

Задача 30.9

Пусть подпространство L\mathcal{L} инвариантно относительно преобразования φ\varphi. Доказать, что L⊥\mathcal{L}^{\perp } инвариантно относительно сопряженного преобразования φ∗\varphi^{ * }.

?
Задача 30.10
?
(1)

Доказать, что множество значений линейного преобразования φ\varphi унитарного пространства совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного преобразования φ∗\varphi^{ * }.

(2)

Доказать, что теорема Фредгольма для комплексных систем линейных уравнений верна также и в следующей формулировке: система Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} совместна тогда и только тогда, когда каждое решение системы линейных уравнений AˉTy=0\bar{A}^{T} \mathbf{y} = \mathbf{0} удовлетворяет равенству yTbˉ=0\mathbf{y}^{T} \bar{b} = 0.

Задача 30.11
?
(1)

Доказать, что у каждого линейного преобразования унитарного пространства есть (n−1)(n - 1)-мерное инвариантное подпространство. Верно ли это утверждение для комплексных линейных пространств?

(2)

Доказать, что для каждого линейного преобразования унитарного пространства найдется такой ортонормированный базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная.

Задача 30.12

В ортонормированном базисе дана матрица AA линейного преобразования φ\varphi. Найти матрицу SS перехода к ортонормированному базису, в котором φ\varphi имеет треугольную матрицу A′A^{\prime }, и написать матрицу A′A^{\prime }:

?
(1)

A=[i1−i001021+i2−i]A =\left[\begin{smallmatrix} i & 1 - i & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 + i & 2 - i\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=[−1−1+i−1−i1+i11+i1−i1−i1]A =\left[\begin{smallmatrix} - 1 & - 1 + i & - 1 - i \\ 1 + i & 1 & 1 + i \\ 1 - i & 1 - i & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=[ii−ii1011+i−i]A =\left[\begin{smallmatrix} i & i & - i \\ i & 1 & 0 \\ 1 & 1 + i & - i\end{smallmatrix}\right]

Подпараграф
30.2 · Нормальные преобразования (30.13-30.24)[12/92%]
Задача 30.13

Найти условие на матрицу преобразования φ\varphi в ортонормированном базисе, необходимое и достаточное для того, чтобы φ\varphi было нормальным.

?
Задача 30.14

Для нормального преобразования φ\varphi пространства U\mathcal{U} доказать, что:

?
(1)

Ker⁡φ=Ker⁡φ∗\operatorname {Ker} \varphi = \operatorname {Ker} \varphi^{ * }

(2)

Im⁡φ=Im⁡φ∗\operatorname {Im} \varphi = \operatorname {Im} \varphi^{ * }; \quad

(3)

U=Ker⁡φ⊕Im⁡φ\mathcal{U} = \operatorname {Ker} \varphi \oplus \operatorname {Im} \varphi.

Задача 30.15

Доказать, что преобразование φ\varphi нормально тогда и только тогда, когда каждый собственный вектор для φ\varphi является собственным и для φ∗\varphi^{ * }.

?
Задача 30.16

Пусть L\mathcal{L} — собственное подпространство нормального преобразования φ\varphi. Доказать, что L⊥\mathcal{L}^{\perp } инвариантно относительно φ\varphi.

?
Задача 30.17

Пусть xx и yy — собственные векторы нормального преобразования φ\varphi, принадлежащие различным собственным значениям. Доказать, что xx и yy ортогональны.

?
Задача 30.18

Пусть φ\varphi — нормальное преобразование унитарного пространства U\mathcal{U}. Доказать, что

?
(1)

U\mathcal{U} — прямая сумма попарно ортогональных собственных подпространств пребразования φ\varphi.

(2)

В U\mathcal{U} существует ортонормированный базис из собственных векторов φ\varphi.

Задача 30.19

Пусть у преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов. Доказать, что оно является нормальным.

?
Задача 30.20

Доказать, что произведение нормальных преобразований является нормальным, если они перестановочны. Верно ли обратное утверждение?

?
Задача 30.21

Доказать, что преобразование φ\varphi унитарного пространства является нормальным тогда и только тогда, когда для любого инвариантного подпространства L\mathcal{L} подпространство L⊥\mathcal{L}^{\perp } также инвариантно.

?
Задача 30.22

Нормальное преобразование задано в ортонормированном базисе матрицей AA. Найти матрицу SS перехода к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу A′A^{\prime } преобразования в этом базисе:

?
(1)

A=[2ii2]A =\left[\begin{smallmatrix} 2 & i \\ i & 2\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=[00−30043−40]A =\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 3 & - 4 & 0\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=13[3−i2i02i32i02i3+i]A = \frac{1}{3}\left[\begin{smallmatrix} 3 - i & 2i & 0 \\ 2i & 3 & 2i \\ 0 & 2i & 3 + i\end{smallmatrix}\right].

Задача 30.23

Пусть преобразования φ\varphi и ψ\psi — нормальные, и φψ=o\varphi \psi = o. Следует ли отсюда, что ψφ=o\psi \varphi = o?

?
Задача 30.24

Доказать, что:

?
(1)

для любой комплексной матрицы сумма квадратов модулей всех элементов не меньше суммы квадратов модулей всех собственных значений (каждое из которых считается столько раз, какова его кратность)

(2)

для нормальной матрицы упомянутые в первом пункте суммы равны.

Подпараграф
30.3 · Самосопряженные и унитарные преобразования (30.25-30.44)[20/30%]
Задача 30.25

Пусть преобразования φ\varphi и ψ\psi самосопряженные. Доказать, что самосопряженными будут и преобразования φψ+ψφ\varphi \psi + \psi \varphi и iφψ−iψφi\varphi \psi - i\psi \varphi.

?
Задача 30.26

Доказать, что:

?
(1)

самосопряженные преобразования можно определить как нормальные преобразования, собственные значения которых вещественны

(2)

унитарные преобразования можно определить как нормальные преобразования, собственные значения которых по модулю равны 1.

Задача 30.27

Доказать, что:

?
(1)

каждое преобразование φ\varphi унитарного пространства можно представить в виде φ=φ1+iφ2\varphi = \varphi_{1} + i\varphi_{2}, где φ1\varphi_{1} и φ2\varphi_{2} — самосопряженные преобразования

(2)

φ1\varphi_{1} и φ2\varphi_{2} перестановочны тогда и только тогда, когда φ\varphi — нормальное преобразование.

Задача 30.28

Доказать, что произведение ненулевого самосопряженного преобразования на число α\alpha будет самосопряженным тогда и только тогда, когда α\alpha вещественно.

?
Задача 30.29

Пусть преобразование φ\varphi таково, что (φ(x),x)=0(\varphi (x), x) = 0 для любого вектора x∈Ux\in \mathcal{U}. Доказать, что φ=o\varphi = o, если:

?
(1)

φ\varphi самосопряженное

(2)

φ\varphi удовлетворяет условию φ=−φ∗\varphi = - \varphi^{ * }.

Задача 30.30

Доказать, что (φ(x),x)(\varphi (x), x) вещественно для любого вектора x∈Ux\in \mathcal{U} тогда и только тогда, когда φ\varphi — самосопряженное.

?
Задача 30.31

Пусть преобразования φ\varphi и ψ\psi самосопряженные. Доказать, что (φ(x),ψ(x))(\varphi (x), \psi (x)) вещественно для любого вектора x∈Ux\in \mathcal{U} тогда и только тогда, когда φ\varphi и ψ\psi перестановочны.

?
Задача 30.32

Пусть φ\varphi — неотрицательное самосопряженное преобразование и tr⁡φ=0\operatorname {tr} \varphi = 0. Доказать, что φ=o\varphi = o.

?
Задача 30.33

Доказать, что преобразование φ\varphi является нормальным тогда и только тогда, когда ∣φ(x)∣=∣φ∗(x)∣\left|\varphi (x)\right| = \left|\varphi^{ * }(x)\right| для любого вектора xx.

?
Задача 30.34

Найти условие на матрицу линейного преобразования φ\varphi в базисе с матрицей Грама Γ\Gamma, необходимое и достаточное для того, чтобы преобразование было:

?
(1)

самосопряженным

(2)

унитарным.

Задача 30.35

Доказать, что матрица AA является матрицей самосопряженного преобразования ранга 1 в ортонормированном базисе тогда и только тогда, когда найдется такой столбец а, что A=a‾aTA = \overline{\mathbf{a}} \mathbf{a}^{T}.

?
Задача 30.36

В ортонормированном базисе дана матрица AA самосопряженного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу перехода SS к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу A′A^{\prime } преобразования в новом базисе:

?
(1)

[73i−3i−1]\left[\begin{smallmatrix} 7 & 3i \\ - 3i & - 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

[43+i3−i1]\left[\begin{smallmatrix} 4 & \sqrt{3} + i \\ \sqrt{3} - i & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

[52(1+i)2(1−i)2]\left[\begin{smallmatrix} 5 & \sqrt{2}(1 + i) \\ \sqrt{2}(1 - i) & 2\end{smallmatrix}\right]

(4)

A377\mathbf{A}_{377}. A377=[11−i01+i3i0−i1]\mathbf{A}_{377} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1-i & 0 \\ 1+i & 3 & i \\ 0 & -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 30.37

Пусть φ\varphi — самосопряженное преобразование. Доказать, что:

?
(1)

преобразование ψ=(φ−iι)−1(φ+iι)\psi = (\varphi - i\iota )^{ - 1}(\varphi + i\iota ) определено и является унитарным

(2)

ψ−ι\psi - \iota имеет обратное, и φ=i(ψ+ι)(ψ−ι)−1\varphi = i(\psi + \iota )(\psi - \iota )^{ - 1}.

Задача 30.38
?
(1)

Доказать, что линейное преобразование φ\varphi — унитарное тогда и только тогда, когда φ∗=φ−1\varphi^{ * } = \varphi^{ - 1}.

(2)

Доказать, что для унитарного преобразования сопряженное — также унитарное.

Задача 30.39

Доказать, что унитарная норма матрицы AA (задача 27. 3) не меняется после умножения AA справа или слева на унитарную матрицу UU.

?
Задача 30.40

Пусть линейное преобразование φ\varphi унитарного пространства сохраняет длину каждого вектора: ∣φ(x)∣=∣x∣\left|\varphi (x)\right| = \left|x\right|. Доказать, что оно унитарное.

?
Задача 30.41

Доказать, что линейное преобразование φ\varphi унитарное, если оно:

?
(1)

переводит какой — либо ортонормированный базис в ортонормированный

(2)

сохраняет попарные скалярные произведения базисных векторов некоторого базиса.

Задача 30.42

φ\varphi — нормальное преобразование, некоторая натуральная степень которого есть тождественное преобразование. Доказатъ, что φ\varphi — унитарное.

?
Задача 30.43
?
(1)

Будет ли сумма унитарных преобразований унитарным преобразованием?

(2)

Будет ли унитарным преобразованием произведение унитарного преобразования на число α\alpha?

Задача 30.44

Для унитарного преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей AA, найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу преобразования в этом базисе:

?
(1)

A=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]A =\left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right]

(2)

A=15[3+3i7−73−3i]A = \frac{1}{5}\left[\begin{smallmatrix} 3 + 3i & \sqrt{7} \\ - \sqrt{7} & 3 - 3i\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=19[4+3i4i−6−2i−4i4−3i−2−6i6+2i−2−6i1]A = \frac{1}{9}\left[\begin{smallmatrix} 4 + 3i & 4i & - 6 - 2i \\ - 4i & 4 - 3i & - 2 - 6i \\ 6 + 2i & - 2 - 6i & 1\end{smallmatrix}\right].