Самосопряженные и унитарные преобразования (30.25-30.44)

Пусть преобразования $\varphi$ и $\psi$ самосопряженные. Доказать, что самосопряженными будут и преобразования $\varphi \psi + \psi \varphi$ и $i\varphi \psi - i\psi \varphi$.

Доказать, что:

Доказать, что:

Доказать, что произведение ненулевого самосопряженного преобразования на число $\alpha$ будет самосопряженным тогда и только тогда, когда $\alpha$ вещественно.

Пусть преобразование $\varphi$ таково, что $(\varphi (x), x) = 0$ для любого вектора $x\in \mathcal{U}$. Доказать, что $\varphi = o$, если:

Доказать, что $(\varphi (x), x)$ вещественно для любого вектора $x\in \mathcal{U}$ тогда и только тогда, когда $\varphi$ — самосопряженное.

Пусть преобразования $\varphi$ и $\psi$ самосопряженные. Доказать, что $(\varphi (x), \psi (x))$ вещественно для любого вектора $x\in \mathcal{U}$ тогда и только тогда, когда $\varphi$ и $\psi$ перестановочны.

Пусть $\varphi$ — неотрицательное самосопряженное преобразование и $\operatorname {tr} \varphi = 0$. Доказать, что $\varphi = o$.

Доказать, что преобразование $\varphi$ является нормальным тогда и только тогда, когда $\left|\varphi (x)\right| = \left|\varphi^{ * }(x)\right|$ для любого вектора $x$.

Найти условие на матрицу линейного преобразования $\varphi$ в базисе с матрицей Грама $\Gamma$, необходимое и достаточное для того, чтобы преобразование было:

Доказать, что матрица $A$ является матрицей самосопряженного преобразования ранга 1 в ортонормированном базисе тогда и только тогда, когда найдется такой столбец а, что $A = \overline{\mathbf{a}} \mathbf{a}^{T}$.

В ортонормированном базисе дана матрица $A$ самосопряженного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу перехода $S$ к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу $A^{\prime }$ преобразования в новом базисе:

Пусть $\varphi$ — самосопряженное преобразование. Доказать, что:

Доказать, что унитарная норма матрицы $A$ (задача 27. 3) не меняется после умножения $A$ справа или слева на унитарную матрицу $U$.

Пусть линейное преобразование $\varphi$ унитарного пространства сохраняет длину каждого вектора: $\left|\varphi (x)\right| = \left|x\right|$. Доказать, что оно унитарное.

Доказать, что линейное преобразование $\varphi$ унитарное, если оно:

$\varphi$ — нормальное преобразование, некоторая натуральная степень которого есть тождественное преобразование. Доказатъ, что $\varphi$ — унитарное.

Для унитарного преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей $A$, найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу преобразования в этом базисе: