§ 32

Билинейные и квадратичные функции

[47/66%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
32.1 · Билинейные и квадратичные функции в вещественном линейном пространстве (32.1-32.26)[26/65%]
Задача 32.1

Составить матрицу данной билинейной формы и записать соответствующую ей квадратичную форму в nn-мерном линейном пространстве:

?
(1)

x1y1(n=1)x_{1} y_{1} \quad (n = 1),

(2)

x1y1(n=2)x_{1} y_{1} \quad (n = 2)

(3)

2x1y1−x1y2−x2y1−5x2y2(n=2)2x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} - 5x_{2} y_{2} \quad (n = 2)

(4)

x1y2−3x1y3+7x2y3+x2y1−3x3y1+7x3y2+x3y3(n=3)x_{1} y_{2} - 3x_{1} y_{3} + 7x_{2} y_{3} + x_{2} y_{1} - 3x_{3} y_{1} + 7x_{3} y_{2} + x_{3} y_{3} \quad (n = 3)

(5)

∑i=1nxiyi\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

(6)

∑i=1nxiyn−i+1\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{n - i + 1}

(7)

∑∣i−j∣⩽1xiyj\sum_{\left|i - j\right| \leqslant 1} x_{i} y_{j}

Задача 32.2

Восстановить симметричную билинейную форму в nn мерном линейном пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу:

?
(1)

−3x12(n=1)- 3x_{1}^{2} \quad (n = 1)

(2)

−18x1x2+9x22(n=2)- 18x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2} \quad (n = 2)

(3)

x12+4x1x2+4x1x3+5x22+12x2x3+7x32(n=3)x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 5x_{2}^{2} + 12x_{2} x_{3} + 7x_{3}^{2} \quad (n = 3)

(4)

2x12−6x1x2−3x22(n=3)2x_{1}^{2} - 6x_{1} x_{2} - 3x_{2}^{2} \quad (n = 3)

(5)

∑i=1n−1xixi+1\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}

Задача 32.3

Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу:

?
(1)

A47\mathbf{A}_{47}. A47=[5−2−28]\mathbf{A}_{47} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A37\mathbf{A}_{37}. A37=[−455−4]\mathbf{A}_{37} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 5 \\ 5 & -4 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A307\mathbf{A}_{307}. A307=[4242−30404]\mathbf{A}_{307} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & -3 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A280\mathbf{A}_{280}. A280=[021282120]\mathbf{A}_{280} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 8 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A484\mathbf{A}_{484}. A484=[111111−1−11−11−11−1−11]\mathbf{A}_{484} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A471\mathbf{A}_{471}. A471=[2−100−12−1−10−1200−102]\mathbf{A}_{471} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A593\mathbf{A}_{593}. A593=[20−1000020−100−102−1000−1−12−10000−12−10000−12]\mathbf{A}_{593} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A634\mathbf{A}_{634}. A634=[0100…001010…000101…00………………0000…010000…10]\mathbf{A}_{634} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 32.4
?
(1)

Восстановить симметричную билинейную функцию по порожденной ей квадратичной функции.

(2)

Доказать, что любую билинейную функцию b(x,y)\mathrm{b}(x, y) можно единственным образом представить как сумму b(x,y)=b+(x,y)+b−(x,y)\mathrm{b}(x, y) = \mathrm{b}_{ + }(x, y) + \mathrm{b}_{ - }(x, y), где b+(x,y)=b+(y,x),ab−(x,y)=−b−(y,x)\mathrm{b}_{ + }(x, y) = \mathrm{b}_{ + }(y, x), \mathrm{a} \mathrm{b}_{ - }(x, y) = - \mathrm{b}_{ - }(y, x). Доказать, что при этом b(x,x)=b+(x,x)\mathrm{b}(x, x) = \mathrm{b}_{ + }(x, x).

Задача 32.5

Как изменится матрица билинейной (квадратичной) функции, если изменить базис e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} следующим образом:

?
(1)

поменять местами ii — й и jj — й векторы базиса

(2)

умножить ii — й базисный вектор на число λ≠0\lambda \neq 0

(3)

вектор eie_{i} заменить на ei+λej(i≠j)e_{i} + \lambda e_{j}(i \neq j)

(4)

векторы базиса расположить в обратном порядке?

Задача 32.6

Квадратичная функция и линейное преобразование имеют в некотором базисе одинаковые матрицы. Какой должна быть матрица перехода от этого базиса к другому базису для того, чтобы в другом базисе матрицы квадратичной функции и линейного преобразования также совпадали?

?
Задача 32.7

Квадратичная функция дана в базисе e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n}. Записать эту квадратичную функцию в базисе e1′,…,en′e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }:

?
(1)

25x12−14x1x2+2x22,e1′=e1+e2,e2′=−e1+e225x_{1}^{2} - 14x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = e_{1} + e_{2}, \quad e_{2}^{\prime } = - e_{1} + e_{2}

(2)

3x12+10x1x2+9x22,e1′=2e1−e2,e2′=e1−e23x_{1}^{2} + 10x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = 2e_{1} - e_{2}, \quad e_{2}^{\prime } = e_{1} - e_{2}

(3)

4x12−12x1x2+9x22,e1′=14e1−16e2,e2′=14e1+16e24x_{1}^{2} - 12x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = \frac{1}{4} e_{1} - \frac{1}{6} e_{2}, \quad e_{2}^{\prime } = \frac{1}{4} e_{1} + \frac{1}{6} e_{2}

(4)

x12+4x1x2+4x1x3−x32,e1′=e1+e2+e3,e2′=2e1−−e2+e3,e3′=−e1+2e2−3e3x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} - x_{3}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = e_{1} + e_{2} + e_{3}, \quad e_{2}^{\prime } = 2e_{1} - - e_{2} + e_{3}, \quad e_{3}^{\prime } = - e_{1} + 2e_{2} - 3e_{3}

(5)

x12+2x1x2−x1x3−x22+2x2x3+x32,e1′=2e1−e3,e2′=−e1+2e2−e3,e3′=−e2+e3x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} - x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} + 2x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}, \quad e_{1}^{\prime } = 2e_{1} - e_{3}, \quad e_{2}^{\prime } = - e_{1} + 2e_{2} - e_{3}, \quad e_{3}^{\prime } = - e_{2} + e_{3}

(6)

5x12+5x22+3x32+2x1x2+22x1x3+22x2x3,e1′=e1+e2−22e3,e2′=e1−e2,e3′=2e1+2e2+e35x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2\sqrt{2} x_{1} x_{3} + 2\sqrt{2} x_{2} x_{3}, e_{1}^{\prime } = e_{1} + e_{2} - 2\sqrt{2} e_{3}, \quad e_{2}^{\prime } = e_{1} - e_{2}, \quad e_{3}^{\prime } = \sqrt{2} e_{1} + \sqrt{2} e_{2} + e_{3}

(7)

∑i=1n−1xixi+1,ei′=ei+ei+1+…+en,i=1,2,…,n\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}, \quad e_{i}^{\prime } = e_{i} + e_{i + 1} + \ldots + e_{n}, \quad i = 1, 2, \ldots , n.

Задача 32.8

Привести данную квадратичную форму к каноническому виду с помощью метода Лагранжа или элементарных преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы:

?
(1)

4x12+4x1x2+5x224x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}

(2)

x12−x1x2−x22x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(3)

−x1x2- x_{1} x_{2}

(4)

25x12+30x1x2+9x2225x_{1}^{2} + 30x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2}

(5)

2x1x2−x12−2x222x_{1} x_{2} - x_{1}^{2} - 2x_{2}^{2}

(6)

24x1x2−16x12−9x2224x_{1} x_{2} - 16x_{1}^{2} - 9x_{2}^{2}

(7)

x12+4x1x3+x22+2x2x3+4x32x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 2x_{2} x_{3} + 4x_{3}^{2}

(8)

x12+2x1x2+2x1x3−3x22−6x2x3−4x32x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} - 3x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} - 4x_{3}^{2}

(9)

2x12+8x1x2+4x1x3+9x22+19x322x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 9x_{2}^{2} + 19x_{3}^{2}

(10)

9x12−12x1x2−6x1x3+4x22+4x2x3+x329x_{1}^{2} - 12x_{1} x_{2} - 6x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}

(11)

8x12+8x22+x32+16x1x2+4x1x3+4x2x38x_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3}

(12)

(р) x1x2+x2x3+x1x3x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3}

(13)

x12+2x22+2x32+3x42+2x1x2+2x2x3+2x3x4x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} + 3x_{4}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{2} x_{3} + 2x_{3} x_{4}

(14)

x12−2x1x3+x22−2x2x4+x32−2x3x5+x42−2x4x6+x52+x62x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} - 2x_{3} x_{5} + x_{4}^{2} - 2x_{4} x_{6} + x_{5}^{2} + x_{6}^{2}

(15)

x1x2+2x2x3−3x3x4x_{1} x_{2} + 2x_{2} x_{3} - 3x_{3} x_{4}

(16)

x1x2+x2x3−x12−x22−x32x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2}.

Задача 32.9

Выяснить, какие квадратичные формы из задачи 32.8 являются положительно определенными, отрицательно определенными, полуопределенными:

?
(1)

4x12+4x1x2+5x224x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}

(2)

x12−x1x2−x22x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(3)

−x1x2- x_{1} x_{2}

(4)

25x12+30x1x2+9x2225x_{1}^{2} + 30x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2}

(5)

2x1x2−x12−2x222x_{1} x_{2} - x_{1}^{2} - 2x_{2}^{2}

(6)

24x1x2−16x12−9x2224x_{1} x_{2} - 16x_{1}^{2} - 9x_{2}^{2}

(7)

x12+4x1x3+x22+2x2x3+4x32x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 2x_{2} x_{3} + 4x_{3}^{2}

(8)

x12+2x1x2+2x1x3−3x22−6x2x3−4x32x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} - 3x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} - 4x_{3}^{2}

(9)

2x12+8x1x2+4x1x3+9x22+19x322x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 9x_{2}^{2} + 19x_{3}^{2}

(10)

9x12−12x1x2−6x1x3+4x22+4x2x3+x329x_{1}^{2} - 12x_{1} x_{2} - 6x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}

(11)

8x12+8x22+x32+16x1x2+4x1x3+4x2x38x_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3}

(12)

(р) x1x2+x2x3+x1x3x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3}

(13)

x12+2x22+2x32+3x42+2x1x2+2x2x3+2x3x4x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2} + 3x_{4}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{2} x_{3} + 2x_{3} x_{4}

(14)

x12−2x1x3+x22−2x2x4+x32−2x3x5+x42−2x4x6+x52+x62x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} - 2x_{3} x_{5} + x_{4}^{2} - 2x_{4} x_{6} + x_{5}^{2} + x_{6}^{2}

(15)

x1x2+2x2x3−3x3x4x_{1} x_{2} + 2x_{2} x_{3} - 3x_{3} x_{4}

(16)

x1x2+x2x3−x12−x22−x32x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2}.

Задача 32.10

Привести к каноническому виду данную билинейную форму:

?
(1)

x1y1+x1y2+x2y1+3x2y2x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + 3x_{2} y_{2}

(2)

x1y1−x1y2−x2y1+x2y2x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2}

(3)

13x1y1−5x1y2−5x2y1+2x2y213x_{1} y_{1} - 5x_{1} y_{2} - 5x_{2} y_{1} + 2x_{2} y_{2}

(4)

−x1y2−x2y1+x2y2- x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2}

(5)

x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{1} y_{3} + x_{3} y_{1} + x_{2} y_{3} + x_{3} y_{2}

(6)

x1y1+2x2y2+3x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+2x2y3+2x3y2x_{1} y_{1} + 2x_{2} y_{2} + 3x_{3} y_{3} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{1} y_{3} + x_{3} y_{1} + 2x_{2} y_{3} + 2x_{3} y_{2}

(7)

x1y1+x1y2+x2y1+x2y3x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{2} y_{3}.

Задача 32.11

Доказать, что несимметричную билинейную функцию нельзя привести к диагональному виду.

?
Задача 32.12

Привести квадратичную форму, зависящую от действительного параметра λ\lambda, к каноническому виду при всевозможных значениях λ\lambda:

?
(1)

3x12−2x1x2+λx223x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + \lambda x_{2}^{2}

(2)

8x12+λx1x2+2x228x_{1}^{2} + \lambda x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2}

(3)

2x12+8x1x2+4x1x3+6x22+λx322x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 6x_{2}^{2} + \lambda x_{3}^{2}

(4)

x12+x22+4x32+λx42+4x1x3+2x1x4+2x2x3+2x2x4+5x3x4x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{3}^{2} + \lambda x_{4}^{2} + 4x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} + 2x_{2} x_{3} + 2x_{2} x_{4} + 5x_{3} x_{4}

(5)

3x22+6x1x2+2x1x3+4x2x3+λx2x4+x32+x3x4+x423x_{2}^{2} + 6x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3} + \lambda x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} + x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}.

Задача 32.13

Привести к каноническому виду данную квадратичную форму в nn-мерном пространстве:

?
(1)

x12+2∑i=2nxi2−2∑i=1n−1xixi+1x_{1}^{2} + 2\sum_{i = 2}^{n} x_{i}^{2} - 2\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}

(2)

x12+2∑i=1n−1(−1)ixixi+1x_{1}^{2} + 2\sum_{i = 1}^{n - 1}(- 1)^{i} x_{i} x_{i + 1}

(3)

∑i=1nxi2+∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j}

(4)

∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j}

(5)

−∑i=1nixi2+2∑1⩽i<j⩽nixixj- \sum_{i = 1}^{n} ix_{i}^{2} + 2\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ix_{i} x_{j}

(6)

∑i=1n((i−1)2+1)xi2+2∑1⩽i<j⩽nixixj\sum_{i = 1}^{n}\left((i - 1)^{2} + 1\right) x_{i}^{2} + 2\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ix_{i} x_{j}.

Задача 32.14

Доказать, что для положительной определенности квадратичной функции k(x)\mathrm{k}(x) необходимо и достаточно любое из условий:

?
(1)

k(ei)>0(i=1,…,n)\mathrm{k}\left(e_{i}\right) > 0(i = 1, \ldots , n) для любого базиса e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n}

(2)

k(x)\mathrm{k}(x) приводится к диагональному виду с положительными коэффициентами

(3)

k(x)\mathrm{k}(x) приводится к каноническому виду ξ12+…+ξn2\xi_{1}^{2} + \ldots + \xi_{n}^{2}.

Задача 32.15

Показать, что для положительной определенности квадратичной функции необходима, но недостаточна положительность всех диагональных элементов ее матрицы в некотором базисе.

?
Задача 32.16

Доказать, что квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы чередуются следующим образом:

Δ1<0,Δ2>0,Δ3<0,…,sign⁡Δn=(−1)n. \Delta _{1} < 0, \Delta _{2} > 0, \Delta _{3} < 0, \ldots , \operatorname {sign} \Delta _{n} = (- 1)^{n}.
?
Задача 32.17

Пусть ранг квадратичной функции k(x)\mathrm{k}(x) в nn-мерном линейном пространстве L\mathcal{L} равен rr. Доказать утверждения:

?
(1)

в L\mathcal{L} существует базис, в котором главные миноры Δk\Delta_{k} матрицы функции k(x)\mathrm{k}(x) отличны от нуля при k=1,…,rk = 1, \ldots , r и равны нулю при k=r+1,…,nk = r + 1, \ldots , n.

(2)

пусть в некотором базисе главные миноры Δk(k=1,…,r)\Delta_{k}(k = 1, \ldots , r) матрицы функции k(x)\mathrm{k}(x) отличны от нуля. Тогда k(x)\mathrm{k}(x) приводится к диагональной форме ∑k=1rΔkΔk−1ξk2(Δ0=1)\sum_{k = 1}^{r} \frac{\Delta_{k}}{\Delta_{k - 1}} \xi_{k}^{2}\left(\Delta_{0} = 1\right) и к канонической форме ∑k=1rεkξk2\sum_{k = 1}^{r} \varepsilon_{k} \xi_{k}^{2}, где εk=sign⁡ΔkΔk−1(k=1,…,r)\varepsilon_{k} = \operatorname {sign} \frac{\Delta_{k}}{\Delta_{k - 1}}(k = 1, \ldots , r).

Задача 32.18

При каких значениях параметра λ\lambda данная квадратичная форма положительно, отрицательно определена или полуопределена:

?
(1)

λx12−4x1x2+(λ+3)x22\lambda x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + (\lambda + 3) x_{2}^{2}

(2)

−9x12+6λx1x2−x22- 9x_{1}^{2} + 6\lambda x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(3)

λx12+8x22+x32+16x1x2+4x1x3+4x2x3\lambda x_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3}

(4)

x12+2λx1x2+2x1x3+4x22−λx32+2x2x3x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} - \lambda x_{3}^{2} + 2x_{2} x_{3}

(5)

(4−λ)x12+(4−λ)x22−(2+λ)x32+4x1x2−8x1x3+8x2x3(4 - \lambda ) x_{1}^{2} + (4 - \lambda ) x_{2}^{2} - (2 + \lambda ) x_{3}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 8x_{1} x_{3} + 8x_{2} x_{3}?

Задача 32.19

Пусть k(x)\mathrm{k}(x) — квадратичная функция в линейном пространстве L\mathcal{L}. Является ли линейным подпространством в L\mathcal{L} множество всех векторов xx из L\mathcal{L}, для которых k(x)⩾0(k(x)⩽0)\mathrm{k}(x) \geqslant 0(\mathrm{k}(x) \leqslant 0)? Рассмотреть примеры k(x)=x12+x22−x32(n=3)\mathrm{k}(x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2}(n = 3) и h(x)=x12+x22(n=3)\mathrm{h}(x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}(n = 3).

?
Задача 32.20
?
(1)

В матрице положительно определенной квадратичной формы увеличили один диагональный элемент. Доказать, что детерминант матрицы увеличился.

(2)

Доказать, что в матрице положительно определенной квадратичной формы максимальный по модулю элемент положителен.

Задача 32.21
?
(1)

Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка nn функция k(X)=tr⁡(XTX)\mathrm{k}(X) = \operatorname {tr}\left(X^{T} X\right) является положительно определенной квадратичной функцией.

(2)

Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка nn функция k(X)=tr⁡(X2)\mathrm{k}(X) = \operatorname {tr}\left(X^{2}\right) является квадратичной функщией. Найти ее ранг и сигнатуру.

Задача 32.22

Доказать, что функция

I(f,g)=∫−11f(t)g(t)dt I(f, g) = \int _{ - 1}^{1} f(t) g(t) dt

является симметричной билинейной функцией в пространстве многочленов степени не выше nn. Привести ее к каноническому виду при n=3n = 3.

?
Задача 32.23

Доказать, что ранг билинейной функции равен 1 тогда и только тогда, когда эта функция — произведение двух ненулевых линейных функций.

?
Задача 32.24

Доказать, что для представимости квадратичной функции в виде произведения двух линейных вещественных функций необходимо и достаточно, чтобы либо ранг этой квадратичной функции не превосходил 1, либо ранг был равен 2, а сигнатура равна нулю.

?
Задача 32.25

При каком необходимом и достаточном условии квадратичные функции k(x)\mathrm{k}(x) и −k(x)- \mathrm{k}(x) могут быть приведены к одному и тому же каноническому виду?

?
Задача 32.26
?
(1)

Пусть b(x,y)\mathrm{b}(x, y) — билинейная функция в линейном пространстве L\mathcal{L}. Назовем функцию b(x,y)\mathrm{b}(x, y) инвариантной относительно линейного преобразования φ\varphi пространства L\mathcal{L}, если b(φ(x),φ(y))=b(x,y)\mathrm{b}(\varphi (x), \varphi (y)) = \mathrm{b}(x, y) для всех x,y∈Lx, y\in \mathcal{L}. Доказать, что b\mathrm{b} тогда и только тогда инвариантна относительно φ\varphi, когда их матрицы (BB и AA соответственно) в некотором базисе удовлетворяют равенству ATBA=BA^{T} BA = B.

(2)

Найти все линейные преобразования двумерного пространства, относительно которых инвариантна билинейная форма:

(1) x1y1+x2y2x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}

(2) x1y1−x2y2x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}

Подпараграф
32.2 · Квадратичные функции в евклидовом пространстве. Пары форм (32.27-32.39)[13/62%]
Задача 32.27

Квадратичная (билинейная) функция записана в ортонормированном базисе nn-мерного евклидова пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная функция имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид.

?
(1)

n=2n = 2, −4x12+10x1x2−4x22- 4x_{1}^{2} + 10x_{1} x_{2} - 4x_{2}^{2}

(2)

n=2n = 2, 43x12−2x1x2+34x22\frac{4}{3} x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + \frac{3}{4} x_{2}^{2}

(3)

n=2n = 2, 7x12+43x1x2+3x227x_{1}^{2} + 4\sqrt{3} x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}

(4)

n=2n = 2, −x1y1+3x1y2+3x2y1−9x2y2- x_{1} y_{1} + 3x_{1} y_{2} + 3x_{2} y_{1} - 9x_{2} y_{2}

(5)

n=2n = 2, −x1y1+12x1y2+12x2y1−x2y2n=3:- x_{1} y_{1} + \frac{1}{2} x_{1} y_{2} + \frac{1}{2} x_{2} y_{1} - x_{2} y_{2} n = 3:

(6)

n=3n = 3, −x12+x1x2−x22- x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(7)

n=3n = 3, 2x12−4x1x2+9x22+4x2x3+2x322x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(8)

n=3n = 3, x1y1−x1y2−x2y1+2x2y2−x2y3−x3y2+x3y3x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + 2x_{2} y_{2} - x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} + x_{3} y_{3}

(9)

n=3n = 3, 2x1y2+2x2y1−2x1y3−2x3y1+4x2y2+4x2y3+4x3y2−3x3y32x_{1} y_{2} + 2x_{2} y_{1} - 2x_{1} y_{3} - 2x_{3} y_{1} + 4x_{2} y_{2} + 4x_{2} y_{3} + 4x_{3} y_{2} - 3x_{3} y_{3}

(10)

n=3n = 3, (р) 2x12+4x1x2−2x1x3−x22+4x2x3+2x322x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(11)

n=3n = 3, 3x12−2x1x2−2x1x3+3x22−2x2x3+3x323x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} + 3x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} + 3x_{3}^{2}

(12)

n=3n = 3, 3x12+8x1x2−8x1x3−7x22−8x2x3+3x323x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} - 8x_{1} x_{3} - 7x_{2}^{2} - 8x_{2} x_{3} + 3x_{3}^{2}

(13)

n=3n = 3, x12−x1x2+x1x3+x22+x2x3+x32x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}

(14)

n=3n = 3, 4x12+4x1x2−12x1x3+x22−6x2x3+9x324x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 12x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 9x_{3}^{2}

(15)

n=3n = 3, x1y2+x2y1−2x1y3−2x3y1−x1y1−x2y2+2x2y3+2x3y2−4x3y3x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} - 2x_{1} y_{3} - 2x_{3} y_{1} - x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2} + 2x_{2} y_{3} + 2x_{3} y_{2} - 4x_{3} y_{3}

(16)

n=3n = 3, x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y2−x3y3n=4x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{1} y_{3} + x_{3} y_{1} + x_{2} y_{2} - x_{3} y_{3} n = 4:

(17)

n=4n = 4, x12+2x1x2+2x1x3+2x1x4+x22−2x2x3−2x2x4+x32−−2x3x4+x42x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} - 2x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} - - 2x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}

(18)

n=4n = 4, x12−2x1x2+6x1x3+8x1x4+4x22−2x2x4−6x3x4+x42x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + 6x_{1} x_{3} + 8x_{1} x_{4} + 4x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{4} - 6x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}

(19)

n=4n = 4, 2x12−4x1x2+4x1x3+6x22−6x2x3+2x2x4+6x32+2x3x4+4x422x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 6x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 2x_{2} x_{4} + 6x_{3}^{2} + 2x_{3} x_{4} + 4x_{4}^{2}

(20)

n=4n = 4, x12+2x1x2+2x1x3+2x1x4−x22−x32−x42x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2} - x_{4}^{2}

(21)

n=4n = 4, 12x1y2+12x2y1+12x3y4+12x4y3\frac{1}{2} x_{1} y_{2} + \frac{1}{2} x_{2} y_{1} + \frac{1}{2} x_{3} y_{4} + \frac{1}{2} x_{4} y_{3}

(22)

n=4n = 4, 3x12−8x1x2−3x22−x32+4x3x4−4x423x_{1}^{2} - 8x_{1} x_{2} - 3x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 4x_{3} x_{4} - 4x_{4}^{2}

(23)

n=4n = 4, ∑i=1nxi2+∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j}

(24)

n=4n = 4, ∑i,j=1n(−1)i+jxiyj\sum_{i, j = 1}^{n}(- 1)^{i + j} x_{i} y_{j}

(25)

n=4n = 4, ∑i=12n−1xix2n−i\sum_{i = 1}^{2n - 1} x_{i} x_{2n - i}

(26)

n=4n = 4, ∑i=12nxi2+∑i=12nxix2n−i+1\sum_{i = 1}^{2n} x_{i}^{2} + \sum_{i = 1}^{2n} x_{i} x_{2n - i + 1}

(27)

n=4n = 4, ∑i=1n−1xixi+1\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}.

Задача 32.28

Найти канонический вид, ранг и сигнатуру каждой из квадратичных и билинейных форм задачи 32. 27:

?
(1)

n=2n = 2, −4x12+10x1x2−4x22- 4x_{1}^{2} + 10x_{1} x_{2} - 4x_{2}^{2}

(2)

n=2n = 2, 43x12−2x1x2+34x22\frac{4}{3} x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + \frac{3}{4} x_{2}^{2}

(3)

n=2n = 2, 7x12+43x1x2+3x227x_{1}^{2} + 4\sqrt{3} x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}

(4)

n=2n = 2, −x1y1+3x1y2+3x2y1−9x2y2- x_{1} y_{1} + 3x_{1} y_{2} + 3x_{2} y_{1} - 9x_{2} y_{2}

(5)

n=2n = 2, −x1y1+12x1y2+12x2y1−x2y2n=3:- x_{1} y_{1} + \frac{1}{2} x_{1} y_{2} + \frac{1}{2} x_{2} y_{1} - x_{2} y_{2} n = 3:

(6)

n=3n = 3, −x12+x1x2−x22- x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(7)

n=3n = 3, 2x12−4x1x2+9x22+4x2x3+2x322x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(8)

n=3n = 3, x1y1−x1y2−x2y1+2x2y2−x2y3−x3y2+x3y3x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + 2x_{2} y_{2} - x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} + x_{3} y_{3}

(9)

n=3n = 3, 2x1y2+2x2y1−2x1y3−2x3y1+4x2y2+4x2y3+4x3y2−3x3y32x_{1} y_{2} + 2x_{2} y_{1} - 2x_{1} y_{3} - 2x_{3} y_{1} + 4x_{2} y_{2} + 4x_{2} y_{3} + 4x_{3} y_{2} - 3x_{3} y_{3}

(10)

n=3n = 3, (р) 2x12+4x1x2−2x1x3−x22+4x2x3+2x322x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(11)

n=3n = 3, 3x12−2x1x2−2x1x3+3x22−2x2x3+3x323x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} + 3x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} + 3x_{3}^{2}

(12)

n=3n = 3, 3x12+8x1x2−8x1x3−7x22−8x2x3+3x323x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} - 8x_{1} x_{3} - 7x_{2}^{2} - 8x_{2} x_{3} + 3x_{3}^{2}

(13)

n=3n = 3, x12−x1x2+x1x3+x22+x2x3+x32x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}

(14)

n=3n = 3, 4x12+4x1x2−12x1x3+x22−6x2x3+9x324x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 12x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 9x_{3}^{2}

(15)

n=3n = 3, x1y2+x2y1−2x1y3−2x3y1−x1y1−x2y2+2x2y3+2x3y2−4x3y3x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} - 2x_{1} y_{3} - 2x_{3} y_{1} - x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2} + 2x_{2} y_{3} + 2x_{3} y_{2} - 4x_{3} y_{3}

(16)

n=3n = 3, x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y2−x3y3n=4x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{1} y_{3} + x_{3} y_{1} + x_{2} y_{2} - x_{3} y_{3} n = 4:

(17)

n=4n = 4, x12+2x1x2+2x1x3+2x1x4+x22−2x2x3−2x2x4+x32−−2x3x4+x42x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} - 2x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} - - 2x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}

(18)

n=4n = 4, x12−2x1x2+6x1x3+8x1x4+4x22−2x2x4−6x3x4+x42x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + 6x_{1} x_{3} + 8x_{1} x_{4} + 4x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{4} - 6x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}

(19)

n=4n = 4, 2x12−4x1x2+4x1x3+6x22−6x2x3+2x2x4+6x32+2x3x4+4x422x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 6x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 2x_{2} x_{4} + 6x_{3}^{2} + 2x_{3} x_{4} + 4x_{4}^{2}

(20)

n=4n = 4, x12+2x1x2+2x1x3+2x1x4−x22−x32−x42x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2} - x_{4}^{2}

(21)

n=4n = 4, 12x1y2+12x2y1+12x3y4+12x4y3\frac{1}{2} x_{1} y_{2} + \frac{1}{2} x_{2} y_{1} + \frac{1}{2} x_{3} y_{4} + \frac{1}{2} x_{4} y_{3}

(22)

n=4n = 4, 3x12−8x1x2−3x22−x32+4x3x4−4x423x_{1}^{2} - 8x_{1} x_{2} - 3x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 4x_{3} x_{4} - 4x_{4}^{2}

(23)

n=4n = 4, ∑i=1nxi2+∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j}

(24)

n=4n = 4, ∑i,j=1n(−1)i+jxiyj\sum_{i, j = 1}^{n}(- 1)^{i + j} x_{i} y_{j}

(25)

n=4n = 4, ∑i=12n−1xix2n−i\sum_{i = 1}^{2n - 1} x_{i} x_{2n - i}

(26)

n=4n = 4, ∑i=12nxi2+∑i=12nxix2n−i+1\sum_{i = 1}^{2n} x_{i}^{2} + \sum_{i = 1}^{2n} x_{i} x_{2n - i + 1}

(27)

n=4n = 4, ∑i=1n−1xixi+1\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}.

Задача 32.29

Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все характеристические числа ее матрицы положительны, и отрицательно определенной тогда и только тогда, когда отрицательны.

?
Задача 32.30

Пусть все характеристические числа вещественной симметрической матрицы AA принадлежат отрезку [a,b]\left[a, b\right]. Доказать, что квадратичная форма с матрицей A−λEA - \lambda E положительно определена при λ<a\lambda < a и отрицательно определена при λ>b\lambda > b.

?
Задача 32.31

Доказать, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты характеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля и знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член положителен.

?
Задача 32.32
?
(1)

Доказать, что линейное преобразование φ\varphi евклидова пространства, присоединенное к заданной в нем симметричной билинейной функции b(x,y)\mathrm{b}(x, y), является самосопряженным.

(2)

Пусть в некотором базисе ee билинейная функция b(x,y)\mathrm{b}(x, y) имеет симметричную матрицу BB, а матрица Грама базиса ee равна Γ\Gamma. Найти матрицу преобразования, присоединенного к функции b(x,y)\mathrm{b}(x, y).

Задача 32.33

В базисе ee евклидова пространства задана квадратичная форма. Найти в том же базисе матрицу присоединенного к ней преобразования, если матрица Грама базиса ee равна Γ\Gamma:

?
(1)

4x12+16x1x2+6x22,Γ=A564x_{1}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 6x_{2}^{2}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{56}. A56=[1113]\mathbf{A}_{56} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(2)

4x12−6x1x2−5x22,Γ=A554x_{1}^{2} - 6x_{1} x_{2} - 5x_{2}^{2}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{55}. A55=[2335]\mathbf{A}_{55} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(3)

2x1x2−x22,Γ=A92x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{9}. A9=[9−5−53]\mathbf{A}_{9} = \left[\begin{smallmatrix} 9 & -5 \\ -5 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

2x12+4x1x2−2x1x3−x22+4x2x3+2x32,Γ=A2072x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(5)

5x12+x22+4x32+2x1x2+4x1x3+4x2x3,Γ=A3085x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{3}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{308}. A308=[5−12−110204]\mathbf{A}_{308} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(6)

x12+x22+x32+x42+2x1x2+2x1x3+2x1x4−2x2x3−−2x2x4−2x3x4,Γ=A471x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} - 2x_{2} x_{3} - - 2x_{2} x_{4} - 2x_{3} x_{4}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{471}. A471=[2−100−12−1−10−1200−102]\mathbf{A}_{471} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 32.34

Пусть в некотором базисе ee nn-мерного евклидова пространства с матрицей Грама Γ\Gamma квадратичная функция k(x)\mathrm{k}(x) имеет матрицу BB. Доказать, что ортонормированный базис, в котором k(x)\mathrm{k}(x) диагональна, и ее диагональные коэффициенты в этом базисе находятся как решения обобщенной задачи на собственные значения и собственные векторы: Bξ=λΓξ(ξ∈∈Rn)B\xi = \lambda \Gamma \xi (\xi \in \left. \in \mathcal{R}_{n}\right).

?
Задача 32.35

Пусть M−r\mathcal{M} - r-мерное линейное подпространство nn мерного евклидова пространства. Функция k(x)\mathrm{k}(x) равна квадрату длины ортогональной проекции вектора xx на подпространство M\mathcal{M}. Доказать, что функция k(x)\mathrm{k}(x) является квадратичной. Найти диагональный вид, который имеет эта функция в некотором ортонормированном базисе.

?
Задача 32.36

Проверить, что по меньшей мере одна из двух данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти замену координат, приводяшую эти две формы одновременно к диагональному виду, и записать этот диагональный вид обеих форм.

?
(1)

f=x12+2x1x2+3x22\mathrm{f} = x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}, g=4x12+16x1x2+6x22\mathrm{g} = 4x_{1}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 6x_{2}^{2}

(2)

f=2x12−3x1x2−52x22, g=2x12+6x1x2+5x22\mathrm{f} = 2x_{1}^{2} - 3x_{1} x_{2} - \frac{5}{2} x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 2x_{1}^{2} + 6x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}

(3)

f=11x12−6x1x2+x22, g=13x12−10x1x2+3x22\mathrm{f} = 11x_{1}^{2} - 6x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 13x_{1}^{2} - 10x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}

(4)

f=9x12−10x1x2+3x22, g=2x1x2−x22\mathrm{f} = 9x_{1}^{2} - 10x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 2x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(5)

f=x12−2x1x2+x22, g=17x12+8x1x2+x22\mathrm{f} = x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 17x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}

(6)

f=x12+2x1x2+5x22, g=2x1x2−72x12−x22\mathrm{f} = x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 2x_{1} x_{2} - \frac{7}{2} x_{1}^{2} - x_{2}^{2}

(7)

f=(1+46)x12+26x1x2, g=5x12+4x1x2+x22\mathrm{f} = (1 + 4\sqrt{6}) x_{1}^{2} + 2\sqrt{6} x_{1} x_{2}, \quad \mathrm{~ g} = 5x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}

(8)

f=(1+2ma2+a)x12+2a2+ax1x2, g=(1+m2)x12+2mx1x2+x22\mathrm{f} = \left(1 + 2m\sqrt{a^{2} + a}\right) x_{1}^{2} + 2\sqrt{a^{2} + a} x_{1} x_{2}, \quad \mathrm{~ g} = \left(1 + m^{2}\right) x_{1}^{2} + 2mx_{1} x_{2} + x_{2}^{2}, где mm и aa — вещественные параметры, a2+a⩾0a^{2} + a \geqslant 0

(9)

f=5x12+2x1x2+4x1x3+x22+4x2x3+4x32, g=5x12−−2x1x2+4x1x3+x22+2x32\mathrm{f} = 5x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 4x_{3}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 5x_{1}^{2} - - 2x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2}

(10)

f=15x22−4x32−10x1x2−8x1x3+22x2x3, g=x12−−2x1x3+4x22+4x2x3+5x32\mathrm{f} = 15x_{2}^{2} - 4x_{3}^{2} - 10x_{1} x_{2} - 8x_{1} x_{3} + 22x_{2} x_{3}, \quad \mathrm{~ g} = x_{1}^{2} - - 2x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 5x_{3}^{2}

(11)

(р) f=6x12+6x1x3+x22−6x2x3+6x32, g=2x12+2x1x3+x22−2x2x3+2x32\mathrm{f} = 6x_{1}^{2} + 6x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 6x_{3}^{2}, \mathrm{~ g} = 2x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(12)

f=2x12−2x1x2−2x1x3+x22+2x32, g=9x12−12x1x2−24x1x3+4x22+16x2x3+16x32\mathrm{f} = 2x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 9x_{1}^{2} - 12x_{1} x_{2} - 24x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} + 16x_{2} x_{3} + 16x_{3}^{2}

(13)

f=x12+7x22+16x32+19x42−4x1x2+10x1x3−−10x1x4−26x2x3+8x2x4−2x3x4, g=−x12+2x1x2−2x22+4x2x3−5x32+6x3x4−10x42\mathrm{f} = x_{1}^{2} + 7x_{2}^{2} + 16x_{3}^{2} + 19x_{4}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 10x_{1} x_{3} - - 10x_{1} x_{4} - 26x_{2} x_{3} + 8x_{2} x_{4} - 2x_{3} x_{4}, \quad \mathrm{~ g} = - x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} - 2x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} - 5x_{3}^{2} + 6x_{3} x_{4} - 10x_{4}^{2}

(14)

f=x12−4x2x3+4x32−4x3x4+4x42, g=x12−2x1x2+2x22−2x2x3+2x32−2x3x4+2x42\mathrm{f} = x_{1}^{2} - 4x_{2} x_{3} + 4x_{3}^{2} - 4x_{3} x_{4} + 4x_{4}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2} - 2x_{3} x_{4} + 2x_{4}^{2}.

Задача 32.37

Доказать, что если среди линейных комбинаций двух квадратичных функций имеется положительно определенная, то эти две функции одновременно приводятся к диагональной форме. Показать на примере, что это условие не является необходимым.

?
Задача 32.38

В некотором базисе ee nn-мерного линейного пространства квадратичные функции f\mathrm{f} и g\mathrm{g} имеют соответственно матрицы FF и GG. Пусть в базисе e′\mathbf{e}^{\prime }, заданном матрицей перехода SS от базиса ee, функция gg имеет каноническую форму ∑i=1nξi′2\sum_{i = 1}^{n}{\xi_{i}^{\prime }}^{2}, a функция f\mathrm{f} — диагональную форму ∑i=1nλiξi2\sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}{\xi_{i}}^{2}. Доказать, что:

?
(1)

det⁡(F−λG)=(det⁡S)2(λ1−λ)…(λn−λ)\operatorname {det}(F - \lambda G) = (\operatorname {det} S)^{2}\left(\lambda_{1} - \lambda \right) \ldots \left(\lambda_{n} - \lambda \right)

(2)

векторы базиса e′\mathbf{e}^{\prime } находятся из системы уравнений (F−−λG)ξ=(F - - \lambda G) \xi = о для каждого корня λ\lambda уравнения det⁡(F−λG)=0\operatorname {det}(F - \lambda G) = 0.

Задача 32.39

Не находя замены координат, приводящей положительно определенную квадратичную форму gg к каноническому виду, а квадратичную форму ff к диагональному виду, найти этот диагональный вид формы f\mathrm{f}.

?
(1)

f=x12+2x1x2+x22, g=10x12+6x1x2+x22\mathrm{f} = x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 10x_{1}^{2} + 6x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}

(2)

f=89x12−42x1x2+5x22, g=41x12−18x1x2+2x22\mathrm{f} = 89x_{1}^{2} - 42x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 41x_{1}^{2} - 18x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2}

(3)

f=7x1x2+31x22, g=x12+2x1x2+2x22\mathrm{f} = 7x_{1} x_{2} + 31x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2}

(4)

f=8x12−5x1x2+12x22, g=x12−x1x2+12x22\mathrm{f} = 8x_{1}^{2} - 5x_{1} x_{2} + \frac{1}{2} x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + \frac{1}{2} x_{2}^{2}.

Подпараграф
32.3 · Билинейные и квадратичные функции в комплексном пространстве (32.40-32.47)[8/75%]
Задача 32.40

Показать, что:

?
(1)

если b(x,y)\mathrm{b}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) — билинейная функция в nn-мерном комплексном арифметическом пространстве, то функция h(x,y)=b(x,y‾)\mathrm{h}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathrm{b}(\mathbf{x}, \overline{\mathbf{y}}) является эрмитовой билинейной

(2)

если b (x, y) — эрмитова билинейная функция в пространстве Cn\mathcal{C}_{n}, то b(x,y)=h(x,y‾)\mathrm{b}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathrm{h}(\mathbf{x}, \overline{\mathbf{y}}) — билинейная функция.

Задача 32.41

Привести следующие квадратичные формы к каноническому виду:

?
(1)

4x12−12ix1x2−9x224x_{1}^{2} - 12ix_{1} x_{2} - 9x_{2}^{2}

(2)

9x12+24(i+1)x1x2+16x229x_{1}^{2} + 24(i + 1) x_{1} x_{2} + 16x_{2}^{2}

(3)

x1x2x_{1} x_{2}

(4)

ε2x12−εx1x2+x22,ε=e2πi/3\varepsilon^{2} x_{1}^{2} - \varepsilon x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}, \varepsilon = e^{2\pi i / 3}

(5)

(1+i)x12+(2+2i)x1x3+ix22+3x32(1 + i) x_{1}^{2} + (2 + 2i) x_{1} x_{3} + ix_{2}^{2} + 3x_{3}^{2}

(6)

x12+(2−2i)x1x2+2x1x3+2ix22+(2+2i)x2x3+(1+i)x32x_{1}^{2} + (2 - 2i) x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2ix_{2}^{2} + (2 + 2i) x_{2} x_{3} + (1 + i) x_{3}^{2}

(7)

−x12−4ix1x2−(2−2i)x1x3+4x22−(4+4i)x2x3+2ix32- x_{1}^{2} - 4ix_{1} x_{2} - (2 - 2i) x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} - (4 + 4i) x_{2} x_{3} + 2ix_{3}^{2}.

Задача 32.42

Составить матрицы данных эрмитовых билинейных форм в nn-мерном пространстве:

?
(1)

−ix1yˉ1(n=1)- ix_{1} \bar{y}_{1} \quad (n = 1)

(2)

−ix1yˉ1(n=2)- ix_{1} \bar{y}_{1} \quad (n = 2)

(3)

3x1yˉ1+4ix1yˉ2−5x2yˉ1+ix2yˉ2(n=2)3x_{1} \bar{y}_{1} + 4ix_{1} \bar{y}_{2} - 5x_{2} \bar{y}_{1} + ix_{2} \bar{y}_{2} \quad (n = 2)

(4)

−3ix1yˉ1+2x1yˉ2+2x2yˉ1+(1−i)x2yˉ2(n=2)- 3ix_{1} \bar{y}_{1} + 2x_{1} \bar{y}_{2} + 2x_{2} \bar{y}_{1} + (1 - i) x_{2} \bar{y}_{2} \quad (n = 2)

(5)

(1+i)x1yˉ2+(1+i)x2yˉ1−5x2yˉ2(n=2)(1 + i) x_{1} \bar{y}_{2} + (1 + i) x_{2} \bar{y}_{1} - 5x_{2} \bar{y}_{2} \quad (n = 2)

(6)

(1+i)x1yˉ2+(1−i)x2yˉ1−5x2yˉ2(n=2)(1 + i) x_{1} \bar{y}_{2} + (1 - i) x_{2} \bar{y}_{1} - 5x_{2} \bar{y}_{2} \quad (n = 2)

(7)

x1yˉ1−3x2yˉ2+(2+i)x3yˉ3−ix1yˉ2+(4+i)x3yˉ1(n=3)x_{1} \bar{y}_{1} - 3x_{2} \bar{y}_{2} + (2 + i) x_{3} \bar{y}_{3} - ix_{1} \bar{y}_{2} + (4 + i) x_{3} \bar{y}_{1} \quad (n = 3)

(8)

2x1yˉ1−6x2yˉ2+(1+32)x3yˉ3+3x1yˉ2+3x2yˉ1+(2−5i)x1yˉ3+(2+5i)x3yˉ1+4ix2yˉ3−4ix3yˉ2(n=3)2x_{1} \bar{y}_{1} - 6x_{2} \bar{y}_{2} + (1 + 3\sqrt{2}) x_{3} \bar{y}_{3} + 3x_{1} \bar{y}_{2} + 3x_{2} \bar{y}_{1} + (2 - 5i) x_{1} \bar{y}_{3} + (2 + 5i) x_{3} \bar{y}_{1} + 4ix_{2} \bar{y}_{3} - 4ix_{3} \bar{y}_{2} \quad (n = 3)

(9)

∑i=1nxiyˉ2\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \bar{y}_{2}

Задача 32.43

Какие из эрмитовых билинейных форм в задаче 32. 42 симметричны? Записать соответствующие им эрмитовы квадратичные формы.

?
Задача 32.44

Записать эрмитову квадратичную форму, имеющую данную матрицу:

?
(1)

A47\mathbf{A}_{47}. A47=[5−2−28]\mathbf{A}_{47} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A79\mathbf{A}_{79} (при ε=e2\pii/3\varepsilon = e^{2\pii / 3}). A79=[0εε−10]\mathbf{A}_{79} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & \varepsilon \\ \varepsilon^{-1} & 0 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A280\mathbf{A}_{280}. A280=[021282120]\mathbf{A}_{280} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 8 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A491\mathbf{A}_{491}. A491=[3102i13−2i002i11−2i011]\mathbf{A}_{491} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & 0 & 2 i \\ 1 & 3 & -2 i & 0 \\ 0 & 2 i & 1 & 1 \\ -2 i & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 32.45

Эрмитова квадратичная форма записана в ортонормированном базисе nn-мерного унитарного пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная эрмитова квадратичная форма имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид:

?
(1)

2∣x1∣2+ix1xˉ2−ix2xˉ1+2∣x2∣2(n=2)2\left|x_{1}\right|^{2} + ix_{1} \bar{x}_{2} - ix_{2} \bar{x}_{1} + 2\left|x_{2}\right|^{2} \quad (n = 2)

(2)

∣x1∣2+(3−4i)x1xˉ2+(3+4i)x2xˉ1+∣x2∣2(n=2)\left|x_{1}\right|^{2} + (3 - 4i) x_{1} \bar{x}_{2} + (3 + 4i) x_{2} \bar{x}_{1} + \left|x_{2}\right|^{2} \quad (n = 2)

(3)

∣x1∣2+εx1xˉ2+εˉx2xˉ1+∣x2∣2(ε=e2\pii/3)(n=2)\left|x_{1}\right|^{2} + \varepsilon x_{1} \bar{x}_{2} + \bar{\varepsilon } x_{2} \bar{x}_{1} + \left|x_{2}\right|^{2} \quad \left(\varepsilon = e^{2\pii / 3}\right) \quad (n = 2)

(4)

3∣x1∣2+3∣x2∣2−5∣x3∣2−ix1xˉ2+ix2xˉ1(n=3)3\left|x_{1}\right|^{2} + 3\left|x_{2}\right|^{2} - 5\left|x_{3}\right|^{2} - ix_{1} \bar{x}_{2} + ix_{2} \bar{x}_{1} \quad (n = 3)

(5)

∣x1∣2+∣x2∣2+∣x3∣2+x1xˉ2+x2xˉ1+ix1xˉ3−ix3xˉ1+ix2xˉ3−−ix3xˉ2(n=3)\left|x_{1}\right|^{2} + \left|x_{2}\right|^{2} + \left|x_{3}\right|^{2} + x_{1} \bar{x}_{2} + x_{2} \bar{x}_{1} + ix_{1} \bar{x}_{3} - ix_{3} \bar{x}_{1} + ix_{2} \bar{x}_{3} - - ix_{3} \bar{x}_{2} \quad (n = 3)

(6)

12∣x1∣2−(1+i)x1xˉ2−(1−i)x2xˉ1+2x1xˉ3+2x3xˉ1+(3+3i)x1xˉ4+(3−3i)x4xˉ1+12∣x2∣2+(1−i)x2xˉ3+(1+i)x3xˉ2−−2x2xˉ4−2x4xˉ2+8∣x3∣2−(1+i)x3xˉ4−(1−i)x4xˉ3+8∣x4∣2(n=4)12\left|x_{1}\right|^{2} - (1 + i) x_{1} \bar{x}_{2} - (1 - i) x_{2} \bar{x}_{1} + 2x_{1} \bar{x}_{3} + 2x_{3} \bar{x}_{1} + (3 + 3i) x_{1} \bar{x}_{4} + (3 - 3i) x_{4} \bar{x}_{1} + 12\left|x_{2}\right|^{2} + (1 - i) x_{2} \bar{x}_{3} + (1 + i) x_{3} \bar{x}_{2} - - 2x_{2} \bar{x}_{4} - 2x_{4} \bar{x}_{2} + 8\left|x_{3}\right|^{2} - (1 + i) x_{3} \bar{x}_{4} - (1 - i) x_{4} \bar{x}_{3} + 8\left|x_{4}\right|^{2} (n = 4).

Задача 32.46

Восстановить симметричную эрмитову билинейную функцию h(x,y)\mathrm{h}(x, y) по эрмитовой квадратичной функции k(x)=h(x,x)\mathrm{k}(x) = \mathrm{h}(x, x).

?
Задача 32.47

Доказать, что в линейном пространстве комплексных матриц порядка nn функция k(X)=tr⁡(X⋅XˉT)\mathrm{k}(X) = \operatorname {tr}\left(X\cdot \bar{X}^{T}\right) является положительно определенной эрмитовой квадратичной функцией.

?