32.2

Квадратичные функции в евклидовом пространстве. Пары форм (32.27-32.39)

[13/62%]
Показать
LaTeX
Задача 32.27

Квадратичная (билинейная) функция записана в ортонормированном базисе nn-мерного евклидова пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная функция имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид.

?
(1)

n=2n = 2, −4x12+10x1x2−4x22- 4x_{1}^{2} + 10x_{1} x_{2} - 4x_{2}^{2}

(2)

n=2n = 2, 43x12−2x1x2+34x22\frac{4}{3} x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + \frac{3}{4} x_{2}^{2}

(3)

n=2n = 2, 7x12+43x1x2+3x227x_{1}^{2} + 4\sqrt{3} x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}

(4)

n=2n = 2, −x1y1+3x1y2+3x2y1−9x2y2- x_{1} y_{1} + 3x_{1} y_{2} + 3x_{2} y_{1} - 9x_{2} y_{2}

(5)

n=2n = 2, −x1y1+12x1y2+12x2y1−x2y2n=3:- x_{1} y_{1} + \frac{1}{2} x_{1} y_{2} + \frac{1}{2} x_{2} y_{1} - x_{2} y_{2} n = 3:

(6)

n=3n = 3, −x12+x1x2−x22- x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(7)

n=3n = 3, 2x12−4x1x2+9x22+4x2x3+2x322x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(8)

n=3n = 3, x1y1−x1y2−x2y1+2x2y2−x2y3−x3y2+x3y3x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + 2x_{2} y_{2} - x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} + x_{3} y_{3}

(9)

n=3n = 3, 2x1y2+2x2y1−2x1y3−2x3y1+4x2y2+4x2y3+4x3y2−3x3y32x_{1} y_{2} + 2x_{2} y_{1} - 2x_{1} y_{3} - 2x_{3} y_{1} + 4x_{2} y_{2} + 4x_{2} y_{3} + 4x_{3} y_{2} - 3x_{3} y_{3}

(10)

n=3n = 3, (р) 2x12+4x1x2−2x1x3−x22+4x2x3+2x322x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(11)

n=3n = 3, 3x12−2x1x2−2x1x3+3x22−2x2x3+3x323x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} + 3x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} + 3x_{3}^{2}

(12)

n=3n = 3, 3x12+8x1x2−8x1x3−7x22−8x2x3+3x323x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} - 8x_{1} x_{3} - 7x_{2}^{2} - 8x_{2} x_{3} + 3x_{3}^{2}

(13)

n=3n = 3, x12−x1x2+x1x3+x22+x2x3+x32x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}

(14)

n=3n = 3, 4x12+4x1x2−12x1x3+x22−6x2x3+9x324x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 12x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 9x_{3}^{2}

(15)

n=3n = 3, x1y2+x2y1−2x1y3−2x3y1−x1y1−x2y2+2x2y3+2x3y2−4x3y3x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} - 2x_{1} y_{3} - 2x_{3} y_{1} - x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2} + 2x_{2} y_{3} + 2x_{3} y_{2} - 4x_{3} y_{3}

(16)

n=3n = 3, x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y2−x3y3n=4x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{1} y_{3} + x_{3} y_{1} + x_{2} y_{2} - x_{3} y_{3} n = 4:

(17)

n=4n = 4, x12+2x1x2+2x1x3+2x1x4+x22−2x2x3−2x2x4+x32−−2x3x4+x42x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} - 2x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} - - 2x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}

(18)

n=4n = 4, x12−2x1x2+6x1x3+8x1x4+4x22−2x2x4−6x3x4+x42x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + 6x_{1} x_{3} + 8x_{1} x_{4} + 4x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{4} - 6x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}

(19)

n=4n = 4, 2x12−4x1x2+4x1x3+6x22−6x2x3+2x2x4+6x32+2x3x4+4x422x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 6x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 2x_{2} x_{4} + 6x_{3}^{2} + 2x_{3} x_{4} + 4x_{4}^{2}

(20)

n=4n = 4, x12+2x1x2+2x1x3+2x1x4−x22−x32−x42x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2} - x_{4}^{2}

(21)

n=4n = 4, 12x1y2+12x2y1+12x3y4+12x4y3\frac{1}{2} x_{1} y_{2} + \frac{1}{2} x_{2} y_{1} + \frac{1}{2} x_{3} y_{4} + \frac{1}{2} x_{4} y_{3}

(22)

n=4n = 4, 3x12−8x1x2−3x22−x32+4x3x4−4x423x_{1}^{2} - 8x_{1} x_{2} - 3x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 4x_{3} x_{4} - 4x_{4}^{2}

(23)

n=4n = 4, ∑i=1nxi2+∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j}

(24)

n=4n = 4, ∑i,j=1n(−1)i+jxiyj\sum_{i, j = 1}^{n}(- 1)^{i + j} x_{i} y_{j}

(25)

n=4n = 4, ∑i=12n−1xix2n−i\sum_{i = 1}^{2n - 1} x_{i} x_{2n - i}

(26)

n=4n = 4, ∑i=12nxi2+∑i=12nxix2n−i+1\sum_{i = 1}^{2n} x_{i}^{2} + \sum_{i = 1}^{2n} x_{i} x_{2n - i + 1}

(27)

n=4n = 4, ∑i=1n−1xixi+1\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}.

Задача 32.28

Найти канонический вид, ранг и сигнатуру каждой из квадратичных и билинейных форм задачи 32. 27:

?
(1)

n=2n = 2, −4x12+10x1x2−4x22- 4x_{1}^{2} + 10x_{1} x_{2} - 4x_{2}^{2}

(2)

n=2n = 2, 43x12−2x1x2+34x22\frac{4}{3} x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + \frac{3}{4} x_{2}^{2}

(3)

n=2n = 2, 7x12+43x1x2+3x227x_{1}^{2} + 4\sqrt{3} x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}

(4)

n=2n = 2, −x1y1+3x1y2+3x2y1−9x2y2- x_{1} y_{1} + 3x_{1} y_{2} + 3x_{2} y_{1} - 9x_{2} y_{2}

(5)

n=2n = 2, −x1y1+12x1y2+12x2y1−x2y2n=3:- x_{1} y_{1} + \frac{1}{2} x_{1} y_{2} + \frac{1}{2} x_{2} y_{1} - x_{2} y_{2} n = 3:

(6)

n=3n = 3, −x12+x1x2−x22- x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(7)

n=3n = 3, 2x12−4x1x2+9x22+4x2x3+2x322x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 9x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(8)

n=3n = 3, x1y1−x1y2−x2y1+2x2y2−x2y3−x3y2+x3y3x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + 2x_{2} y_{2} - x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} + x_{3} y_{3}

(9)

n=3n = 3, 2x1y2+2x2y1−2x1y3−2x3y1+4x2y2+4x2y3+4x3y2−3x3y32x_{1} y_{2} + 2x_{2} y_{1} - 2x_{1} y_{3} - 2x_{3} y_{1} + 4x_{2} y_{2} + 4x_{2} y_{3} + 4x_{3} y_{2} - 3x_{3} y_{3}

(10)

n=3n = 3, (р) 2x12+4x1x2−2x1x3−x22+4x2x3+2x322x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(11)

n=3n = 3, 3x12−2x1x2−2x1x3+3x22−2x2x3+3x323x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} + 3x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} + 3x_{3}^{2}

(12)

n=3n = 3, 3x12+8x1x2−8x1x3−7x22−8x2x3+3x323x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} - 8x_{1} x_{3} - 7x_{2}^{2} - 8x_{2} x_{3} + 3x_{3}^{2}

(13)

n=3n = 3, x12−x1x2+x1x3+x22+x2x3+x32x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}

(14)

n=3n = 3, 4x12+4x1x2−12x1x3+x22−6x2x3+9x324x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 12x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 9x_{3}^{2}

(15)

n=3n = 3, x1y2+x2y1−2x1y3−2x3y1−x1y1−x2y2+2x2y3+2x3y2−4x3y3x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} - 2x_{1} y_{3} - 2x_{3} y_{1} - x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2} + 2x_{2} y_{3} + 2x_{3} y_{2} - 4x_{3} y_{3}

(16)

n=3n = 3, x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y2−x3y3n=4x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{1} y_{3} + x_{3} y_{1} + x_{2} y_{2} - x_{3} y_{3} n = 4:

(17)

n=4n = 4, x12+2x1x2+2x1x3+2x1x4+x22−2x2x3−2x2x4+x32−−2x3x4+x42x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} - 2x_{2} x_{4} + x_{3}^{2} - - 2x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}

(18)

n=4n = 4, x12−2x1x2+6x1x3+8x1x4+4x22−2x2x4−6x3x4+x42x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + 6x_{1} x_{3} + 8x_{1} x_{4} + 4x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{4} - 6x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}

(19)

n=4n = 4, 2x12−4x1x2+4x1x3+6x22−6x2x3+2x2x4+6x32+2x3x4+4x422x_{1}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 6x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 2x_{2} x_{4} + 6x_{3}^{2} + 2x_{3} x_{4} + 4x_{4}^{2}

(20)

n=4n = 4, x12+2x1x2+2x1x3+2x1x4−x22−x32−x42x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2} - x_{4}^{2}

(21)

n=4n = 4, 12x1y2+12x2y1+12x3y4+12x4y3\frac{1}{2} x_{1} y_{2} + \frac{1}{2} x_{2} y_{1} + \frac{1}{2} x_{3} y_{4} + \frac{1}{2} x_{4} y_{3}

(22)

n=4n = 4, 3x12−8x1x2−3x22−x32+4x3x4−4x423x_{1}^{2} - 8x_{1} x_{2} - 3x_{2}^{2} - x_{3}^{2} + 4x_{3} x_{4} - 4x_{4}^{2}

(23)

n=4n = 4, ∑i=1nxi2+∑1⩽i<j⩽nxixj\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j}

(24)

n=4n = 4, ∑i,j=1n(−1)i+jxiyj\sum_{i, j = 1}^{n}(- 1)^{i + j} x_{i} y_{j}

(25)

n=4n = 4, ∑i=12n−1xix2n−i\sum_{i = 1}^{2n - 1} x_{i} x_{2n - i}

(26)

n=4n = 4, ∑i=12nxi2+∑i=12nxix2n−i+1\sum_{i = 1}^{2n} x_{i}^{2} + \sum_{i = 1}^{2n} x_{i} x_{2n - i + 1}

(27)

n=4n = 4, ∑i=1n−1xixi+1\sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i} x_{i + 1}.

Задача 32.29

Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все характеристические числа ее матрицы положительны, и отрицательно определенной тогда и только тогда, когда отрицательны.

?
Задача 32.30

Пусть все характеристические числа вещественной симметрической матрицы AA принадлежат отрезку [a,b]\left[a, b\right]. Доказать, что квадратичная форма с матрицей A−λEA - \lambda E положительно определена при λ<a\lambda < a и отрицательно определена при λ>b\lambda > b.

?
Задача 32.31

Доказать, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты характеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля и знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член положителен.

?
Задача 32.32
?
(1)

Доказать, что линейное преобразование φ\varphi евклидова пространства, присоединенное к заданной в нем симметричной билинейной функции b(x,y)\mathrm{b}(x, y), является самосопряженным.

(2)

Пусть в некотором базисе ee билинейная функция b(x,y)\mathrm{b}(x, y) имеет симметричную матрицу BB, а матрица Грама базиса ee равна Γ\Gamma. Найти матрицу преобразования, присоединенного к функции b(x,y)\mathrm{b}(x, y).

Задача 32.33

В базисе ee евклидова пространства задана квадратичная форма. Найти в том же базисе матрицу присоединенного к ней преобразования, если матрица Грама базиса ee равна Γ\Gamma:

?
(1)

4x12+16x1x2+6x22,Γ=A564x_{1}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 6x_{2}^{2}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{56}. A56=[1113]\mathbf{A}_{56} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(2)

4x12−6x1x2−5x22,Γ=A554x_{1}^{2} - 6x_{1} x_{2} - 5x_{2}^{2}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{55}. A55=[2335]\mathbf{A}_{55} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(3)

2x1x2−x22,Γ=A92x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{9}. A9=[9−5−53]\mathbf{A}_{9} = \left[\begin{smallmatrix} 9 & -5 \\ -5 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

2x12+4x1x2−2x1x3−x22+4x2x3+2x32,Γ=A2072x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} - x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(5)

5x12+x22+4x32+2x1x2+4x1x3+4x2x3,Γ=A3085x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{3}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + 4x_{2} x_{3}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{308}. A308=[5−12−110204]\mathbf{A}_{308} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(6)

x12+x22+x32+x42+2x1x2+2x1x3+2x1x4−2x2x3−−2x2x4−2x3x4,Γ=A471x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{1} x_{3} + 2x_{1} x_{4} - 2x_{2} x_{3} - - 2x_{2} x_{4} - 2x_{3} x_{4}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{471}. A471=[2−100−12−1−10−1200−102]\mathbf{A}_{471} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 32.34

Пусть в некотором базисе ee nn-мерного евклидова пространства с матрицей Грама Γ\Gamma квадратичная функция k(x)\mathrm{k}(x) имеет матрицу BB. Доказать, что ортонормированный базис, в котором k(x)\mathrm{k}(x) диагональна, и ее диагональные коэффициенты в этом базисе находятся как решения обобщенной задачи на собственные значения и собственные векторы: Bξ=λΓξ(ξ∈∈Rn)B\xi = \lambda \Gamma \xi (\xi \in \left. \in \mathcal{R}_{n}\right).

?
Задача 32.35

Пусть M−r\mathcal{M} - r-мерное линейное подпространство nn мерного евклидова пространства. Функция k(x)\mathrm{k}(x) равна квадрату длины ортогональной проекции вектора xx на подпространство M\mathcal{M}. Доказать, что функция k(x)\mathrm{k}(x) является квадратичной. Найти диагональный вид, который имеет эта функция в некотором ортонормированном базисе.

?
Задача 32.36

Проверить, что по меньшей мере одна из двух данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти замену координат, приводяшую эти две формы одновременно к диагональному виду, и записать этот диагональный вид обеих форм.

?
(1)

f=x12+2x1x2+3x22\mathrm{f} = x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}, g=4x12+16x1x2+6x22\mathrm{g} = 4x_{1}^{2} + 16x_{1} x_{2} + 6x_{2}^{2}

(2)

f=2x12−3x1x2−52x22, g=2x12+6x1x2+5x22\mathrm{f} = 2x_{1}^{2} - 3x_{1} x_{2} - \frac{5}{2} x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 2x_{1}^{2} + 6x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}

(3)

f=11x12−6x1x2+x22, g=13x12−10x1x2+3x22\mathrm{f} = 11x_{1}^{2} - 6x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 13x_{1}^{2} - 10x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}

(4)

f=9x12−10x1x2+3x22, g=2x1x2−x22\mathrm{f} = 9x_{1}^{2} - 10x_{1} x_{2} + 3x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 2x_{1} x_{2} - x_{2}^{2}

(5)

f=x12−2x1x2+x22, g=17x12+8x1x2+x22\mathrm{f} = x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 17x_{1}^{2} + 8x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}

(6)

f=x12+2x1x2+5x22, g=2x1x2−72x12−x22\mathrm{f} = x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 2x_{1} x_{2} - \frac{7}{2} x_{1}^{2} - x_{2}^{2}

(7)

f=(1+46)x12+26x1x2, g=5x12+4x1x2+x22\mathrm{f} = (1 + 4\sqrt{6}) x_{1}^{2} + 2\sqrt{6} x_{1} x_{2}, \quad \mathrm{~ g} = 5x_{1}^{2} + 4x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}

(8)

f=(1+2ma2+a)x12+2a2+ax1x2, g=(1+m2)x12+2mx1x2+x22\mathrm{f} = \left(1 + 2m\sqrt{a^{2} + a}\right) x_{1}^{2} + 2\sqrt{a^{2} + a} x_{1} x_{2}, \quad \mathrm{~ g} = \left(1 + m^{2}\right) x_{1}^{2} + 2mx_{1} x_{2} + x_{2}^{2}, где mm и aa — вещественные параметры, a2+a⩾0a^{2} + a \geqslant 0

(9)

f=5x12+2x1x2+4x1x3+x22+4x2x3+4x32, g=5x12−−2x1x2+4x1x3+x22+2x32\mathrm{f} = 5x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 4x_{3}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 5x_{1}^{2} - - 2x_{1} x_{2} + 4x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2}

(10)

f=15x22−4x32−10x1x2−8x1x3+22x2x3, g=x12−−2x1x3+4x22+4x2x3+5x32\mathrm{f} = 15x_{2}^{2} - 4x_{3}^{2} - 10x_{1} x_{2} - 8x_{1} x_{3} + 22x_{2} x_{3}, \quad \mathrm{~ g} = x_{1}^{2} - - 2x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} + 5x_{3}^{2}

(11)

(р) f=6x12+6x1x3+x22−6x2x3+6x32, g=2x12+2x1x3+x22−2x2x3+2x32\mathrm{f} = 6x_{1}^{2} + 6x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 6x_{2} x_{3} + 6x_{3}^{2}, \mathrm{~ g} = 2x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2}

(12)

f=2x12−2x1x2−2x1x3+x22+2x32, g=9x12−12x1x2−24x1x3+4x22+16x2x3+16x32\mathrm{f} = 2x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} - 2x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 9x_{1}^{2} - 12x_{1} x_{2} - 24x_{1} x_{3} + 4x_{2}^{2} + 16x_{2} x_{3} + 16x_{3}^{2}

(13)

f=x12+7x22+16x32+19x42−4x1x2+10x1x3−−10x1x4−26x2x3+8x2x4−2x3x4, g=−x12+2x1x2−2x22+4x2x3−5x32+6x3x4−10x42\mathrm{f} = x_{1}^{2} + 7x_{2}^{2} + 16x_{3}^{2} + 19x_{4}^{2} - 4x_{1} x_{2} + 10x_{1} x_{3} - - 10x_{1} x_{4} - 26x_{2} x_{3} + 8x_{2} x_{4} - 2x_{3} x_{4}, \quad \mathrm{~ g} = - x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} - 2x_{2}^{2} + 4x_{2} x_{3} - 5x_{3}^{2} + 6x_{3} x_{4} - 10x_{4}^{2}

(14)

f=x12−4x2x3+4x32−4x3x4+4x42, g=x12−2x1x2+2x22−2x2x3+2x32−2x3x4+2x42\mathrm{f} = x_{1}^{2} - 4x_{2} x_{3} + 4x_{3}^{2} - 4x_{3} x_{4} + 4x_{4}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = x_{1}^{2} - 2x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2} - 2x_{2} x_{3} + 2x_{3}^{2} - 2x_{3} x_{4} + 2x_{4}^{2}.

Задача 32.37

Доказать, что если среди линейных комбинаций двух квадратичных функций имеется положительно определенная, то эти две функции одновременно приводятся к диагональной форме. Показать на примере, что это условие не является необходимым.

?
Задача 32.38

В некотором базисе ee nn-мерного линейного пространства квадратичные функции f\mathrm{f} и g\mathrm{g} имеют соответственно матрицы FF и GG. Пусть в базисе e′\mathbf{e}^{\prime }, заданном матрицей перехода SS от базиса ee, функция gg имеет каноническую форму ∑i=1nξi′2\sum_{i = 1}^{n}{\xi_{i}^{\prime }}^{2}, a функция f\mathrm{f} — диагональную форму ∑i=1nλiξi2\sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}{\xi_{i}}^{2}. Доказать, что:

?
(1)

det⁡(F−λG)=(det⁡S)2(λ1−λ)…(λn−λ)\operatorname {det}(F - \lambda G) = (\operatorname {det} S)^{2}\left(\lambda_{1} - \lambda \right) \ldots \left(\lambda_{n} - \lambda \right)

(2)

векторы базиса e′\mathbf{e}^{\prime } находятся из системы уравнений (F−−λG)ξ=(F - - \lambda G) \xi = о для каждого корня λ\lambda уравнения det⁡(F−λG)=0\operatorname {det}(F - \lambda G) = 0.

Задача 32.39

Не находя замены координат, приводящей положительно определенную квадратичную форму gg к каноническому виду, а квадратичную форму ff к диагональному виду, найти этот диагональный вид формы f\mathrm{f}.

?
(1)

f=x12+2x1x2+x22, g=10x12+6x1x2+x22\mathrm{f} = x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 10x_{1}^{2} + 6x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}

(2)

f=89x12−42x1x2+5x22, g=41x12−18x1x2+2x22\mathrm{f} = 89x_{1}^{2} - 42x_{1} x_{2} + 5x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = 41x_{1}^{2} - 18x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2}

(3)

f=7x1x2+31x22, g=x12+2x1x2+2x22\mathrm{f} = 7x_{1} x_{2} + 31x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = x_{1}^{2} + 2x_{1} x_{2} + 2x_{2}^{2}

(4)

f=8x12−5x1x2+12x22, g=x12−x1x2+12x22\mathrm{f} = 8x_{1}^{2} - 5x_{1} x_{2} + \frac{1}{2} x_{2}^{2}, \quad \mathrm{~ g} = x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + \frac{1}{2} x_{2}^{2}.