Глава 13

Аффинные и точечные евклидовы пространства

[81/62%]
Показать
LaTeX
§
33 · Аффинные пространства[44/52%]
Задача 33.1

Проверить, что nn-мерное линейное пространство L\mathcal{L} является аффинным пространством с пространством векторов, совпадающим с L\mathcal{L}, если точками этого аффинного пространства считать векторы из L\mathcal{L} и всякой упорядоченной паре векторов a,ba, b ставить в соответствие вектор x=b−ax = b - a.

?
Задача 33.2

Доказать, что в аффинном пространстве A\mathcal{A}:

?
(1)

AA→=\overrightarrow {AA} = о для любой точки AA из A\mathcal{A}

(2)

P(A,o)=AP(A, o) = A для любой точки AA из A\mathcal{A}

(3)

AB→=−BA→\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} для любых точек AA и BB из A\mathcal{A}

(4)

равенство AB→=A1B1‾\overrightarrow {AB} = \overline{A_{1} B_{1}} имеет место тогда и только тогда, когда AA1→=BB1→\overrightarrow {AA_{1}} = \overrightarrow {BB_{1}}.

Задача 33.3
?
(1)

Доказать, что система точек A0,A1,…,AkA_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k} аффинного пространства независима тогда и только тогда, когда не существует плоскости размерности, меньшей kk, содержащей эту систему точек.

(2)

Доказать, что система точек A0,A1,…,AkA_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k} аффинного пространства независима тогда и только тогда, когда для произвольной точки OO из равенств

λ0OA0→+λ1OA1→+…+λkOAk→=o,λ0+λ1+…+λk=0 \begin{gathered} \lambda _{0} \overrightarrow {OA_{0}} + \lambda _{1} \overrightarrow {OA_{1}} + \ldots + \lambda _{k} \overrightarrow {OA_{k}} = o, \\ \lambda _{0} + \lambda _{1} + \ldots + \lambda _{k} = 0\end{gathered}

следует, что λ0=λ1=…=λk=0\lambda_{0} = \lambda_{1} = \ldots = \lambda_{k} = 0.

Задача 33.4

Независима ли система точек с координатами:

?
(1)

(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)

(2)

(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(2,2,2)(0, 1, 1), \quad (1, 0, 1), \quad (1, 1, 0), \quad (2, 2, 2)

(3)

(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(2/3,2/3,2/3)(0, 1, 1), (1, 0, 1), \quad (1, 1, 0), \quad (2 / 3, 2 / 3, 2 / 3)?

Задача 33.5

Показать, что понятие независимости системы точек A0,A1,…,AkA_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k} равноправно относительно всех точек этой системы. А именно, если система векторов A0A1→,A0A2→,…,A0Ak→\overrightarrow {A_{0} A_{1}}, \overrightarrow {A_{0} A_{2}}, \ldots , \overrightarrow {A_{0} A_{k}} линейно независима, то линейно независима и любая система AȷA0→,…,AȷAȷ−1→,AȷAȷ+1→,…,A0Ak→,j=1,2,…,k\overrightarrow {A_{\jmath } A_{0}}, \ldots , \overrightarrow {A_{\jmath } A_{\jmath- 1}}, \overrightarrow {A_{\jmath } A_{\jmath+ 1}}, \ldots , \overrightarrow {A_{0} A_{k}}, j = 1, 2, \ldots , k.

?
Задача 33.6

Пусть m\mathrm{m} и m′\mathrm{m}^{\prime } — плоскости с направляющими подпространствами M\mathcal{M} и M′\mathcal{M}^{\prime }. Доказать, что:

?
(1)

если M⊂M′\mathcal{M} \subset \mathcal{M}^{\prime }, то либо m\mathrm{m} и m′\mathrm{m}^{\prime } не имеют общих точек, либо m⊂m′\mathrm{m} \subset \mathrm{m}^{\prime }

(2)

если M=M′\mathcal{M} = \mathcal{M}^{\prime }, то m\mathrm{m} и m′\mathrm{m}^{\prime } либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Задача 33.7

Доказать, что если прямая имеет две различные общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости.

?
Задача 33.8

Доказать, что если kk-мерная плоскость m1\mathrm{m}_{1} содержит независимую систему точек A0,A1,…,AkA_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k}, общих с плоскостью m2\mathrm{m}_{2}, то m1⊂m2\mathrm{m}_{1} \subset \mathrm{m}_{2}.

?
Задача 33.9

Доказать, что существует ровно одна kk-мерная плоскость, содержащая независимую систему точек A0,A1,…,AkA_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k}.

?
Задача 33.10

Пусть A0,A1,…,AkA_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k} — независимая система точек в kk-мерной плоскости m\mathrm{m}, а O\mathrm{O} — фиксированная точка аффинного пространства. Доказать, что m\mathrm{m} состоит из тех и только тех точек AA, для которых

OA→=λ0OA0→+λ1OA1→+…+λkOAk→ \overrightarrow {OA} = \lambda _{0} \overrightarrow {OA_{0}} + \lambda _{1} \overrightarrow {OA_{1}} + \ldots + \lambda _{k} \overrightarrow {OA_{k}}

где λ0,λ1,…,λk\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k} — числа, удовлетворяющие равенству λ0+λ1+…+λk=1\lambda_{0} + \lambda_{1} + \ldots + \lambda_{k} = 1.

?
Задача 33.11

Пусть l1,12,13,l4l_{1}, 1_{2}, 1_{3}, l_{4} — прямые в аффинном пространстве, причем l1l_{1} параллельна l2l_{2}, а l3l_{3} параллельна l4l_{4}. Пусть, далее, l3l_{3} пересекает l1l_{1} и l2l_{2} в точках A1A_{1} и B1B_{1} соответственно, а l4l_{4} пересекает l1\mathrm{l}_{1} в точке A2A_{2}. Доказать что l4\mathrm{l}_{4} пересекает и l2\mathrm{l}_{2} в точке B2B_{2} такой, что A1A2→=B1B2→,A1B1→=A2B2→\overrightarrow {A_{1} A_{2}} = \overrightarrow {B_{1} B_{2}}, \overrightarrow {A_{1} B_{1}} = \overrightarrow {A_{2} B_{2}}.

?
Задача 33.12

Доказать, что любые две прямые nn-мерного аффинного пространства (n⩾3)(n \geqslant 3) целиком содержатся в некоторой трехмерной плоскости.

?
Задача 33.13

При каком необходимом и достаточном условии две прямые x=a0+a1tx = a_{0} + a_{1} t и x=b0+b1tx = b_{0} + b_{1} t содержатся в одной двумерной плоскости?

?
Задача 33.14

Составить уравнения:

?
(1)

прямой, проходящей через точки A(−1,0,3,−2)A(- 1, 0, 3, - 2) и B(2,1,4,5)B(2, 1, 4, 5)

(2)

двумерной плоскости, проходящей через точки A(−2,1,1,1),B(1,3,−5,2)A(- 2, 1, 1, 1), B(1, 3, - 5, 2) и C(0,1,1,4)C(0, 1, 1, 4)

(3)

трехмерной плоскости (гиперплоскости), проходящей через точки A(1,1,0,−1),B(2,−1,3,3),C(1,−1,1,5)A(1, 1, 0, - 1), B(2, - 1, 3, 3), C(1, - 1, 1, 5) и D(0,0,3,−1)D(0, 0, 3, - 1).

Задача 33.15

Пусть A(x1′,x2′,…,xn′)A\left(x_{1}^{\prime }, x_{2}^{\prime }, \ldots , x_{n}^{\prime }\right) и B(x1′′,x2′′,…,xn′′)B\left(x_{1}^{\prime \prime }, x_{2}^{\prime \prime }, \ldots , x_{n}^{\prime \prime }\right) — две различные точки, pp и qq — некоторые числа. Найти координаты точки CC, делящей отрезок ABAB в отношении p:qp: q.

?
Задача 33.16

Пусть точки A,B,CA, B, C в nn-мерном пространстве не лежат на одной прямой. Доказать, что медианы треугольника ABCABC проходят через одну точку и делятся в этой точке в отношении 2:12: 1, считая от вершины.

?
Задача 33.17

Точка MM принадлежит гиперплоскости, заданной уравнением a1x1+…+anxn+a0=0a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} + a_{0} = 0, а вектор MM1‾\overline{MM_{1}} имеет координатный столбец (a1,a2,…,an)T\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right)^{T}. Доказать, что координаты точки M1M_{1} удовлетворяют неравенству a1x1+…+anxn+a0>0a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} + a_{0} > 0.

?
Задача 33.18

Составить параметрические уравнения плоскости, заданной системой линейных уравнений:

?
(1)

A27x=c46\mathbf{A}_{27} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{46}. A27=[1−3−26],c46=[2−4]\mathbf{A}_{27} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{46} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -4 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A10x=c29\mathbf{A}_{10} \mathrm{x} = \mathbf{c}_{29}. A10=[2513],c29=[32]\mathbf{A}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{29} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A198x=c123\mathbf{A}_{198} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{123}. A198=[−286−41064−8−4],c123=[1212−8]\mathbf{A}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 8 & 6 \\ -4 & 10 & 6 \\ 4 & -8 & -4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{123} = \left[\begin{smallmatrix} 12 \\ 12 \\ -8 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A249x=c124\mathbf{A}_{249} \mathrm{x} = \mathbf{c}_{124}. A249=[−31−26−24−15510],c124=[−36−15]\mathbf{A}_{249} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 6 & -2 & 4 \\ -15 & 5 & 10 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{124} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 6 \\ -15 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A267x=c66\mathbf{A}_{267} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{66}. A267=[−13−1−35−1−331],c66=[111]\mathbf{A}_{267} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A517x=c125\mathbf{A}_{517} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{125}. A517=[31−242−36−58−123],c125=[5313]\mathbf{A}_{517} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & 6 & -5 \\ 8 & -1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{125} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 3 \\ 13 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A403x=c208\mathbf{A}_{403} \mathrm{x} = \mathbf{c}_{208}. A403=[23−1475−1−2−32513],c208=[−4−2−18]\mathbf{A}_{403} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & 7 & 5 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 5 & 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{208} = \left[\begin{smallmatrix} -4 \\ -2 \\ -1 \\ 8 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A586x=c123\mathbf{A}_{586} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{123}. A586=[−33126−9−33126−92−2−8−46],c123=[1212−8]\mathbf{A}_{586} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 3 & 12 & 6 & -9 \\ -3 & 3 & 12 & 6 & -9 \\ 2 & -2 & -8 & -4 & 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{123} = \left[\begin{smallmatrix} 12 \\ 12 \\ -8 \end{smallmatrix}\right].

Задача 33.19

Составить систему уравнений, определяющую данную плоскость:

?
(1)

x=c28+tc33\mathbf{x} = \mathbf{c}_{28} + t\mathbf{c}_{33}. c28=[−16],c33=[21]\mathbf{c}_{28} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

x=c83+t1c84+t2c66\mathbf{x} = \mathbf{c}_{83} + t_{1} \mathbf{c}_{84} + t_{2} \mathbf{c}_{66}. c83=[123],c84=[431],c66=[111]\mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{84} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

x=c147+tc146\mathbf{x} = \mathbf{c}_{147} + t\mathbf{c}_{146}. c147=[5−2−1],c146=[141]\mathbf{c}_{147} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{146} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

x=c168+tc207\mathbf{x} = \mathbf{c}_{168} + t\mathbf{c}_{207}. c168=[0100],c207=[1112]\mathbf{c}_{168} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(5)

x=c199+t1c166+t2c200\mathbf{x} = \mathbf{c}_{199} + t_{1} \mathbf{c}_{166} + t_{2} \mathbf{c}_{200}. c199=[3−572],c166=[1111],c200=[−18−65]\mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 8 \\ -6 \\ 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 33.20

Составить уравнение гиперплоскости в четырехмерном пространстве, проходящей через точку M(−1,2,3,5)M(- 1, 2, 3, 5) параллельно гиперплоскости 2x1+3x2−4x3+x4+5=02x_{1} + 3x_{2} - 4x_{3} + x_{4} + 5 = 0.

?
Задача 33.21

Составить уравнение прямой в четырехмерном пространстве, проходящей через точку M(−1,3,4,0)M(- 1, 3, 4, 0) параллельно прямой x1=2+3t,x2=−1+t,x3=7t,x4=2−tx_{1} = 2 + 3t, x_{2} = - 1 + t, x_{3} = 7t, x_{4} = 2 - t.

?
Задача 33.22

Составить уравнения трехмерной плоскости в пятимерном пространстве, проходящей:

?
(1)

через точку M(0,1,−1,3,4)M(0, 1, - 1, 3, 4) параллельно трехмерной плоскости x1+2x2+3x3=x4,x1+x2+x3+x4=2x5x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = x_{4}, x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2x_{5}

(2)

через точки M1(1,3,1,0,1)M_{1}(1, 3, 1, 0, 1) и M2(0,0,1,1,−1)M_{2}(0, 0, 1, 1, - 1) параллельно двумерной плоскости x1+x2−1=0,x1−x3+x4=0x_{1} + x_{2} - 1 = 0, x_{1} - x_{3} + x_{4} = 0, x1+x3−x5+1=0x_{1} + x_{3} - x_{5} + 1 = 0

(3)

через точки M1(−1,2,0,0,4),M2(1,1,1,1,1),M3(0,1M_{1}(- 1, 2, 0, 0, 4), M_{2}(1, 1, 1, 1, 1), M_{3}(0, 1, 3,−1,1)3, - 1, 1) параллельно прямой x1=1+2t,x2=3−t,x3=4,x4=1+t,x5=−tx_{1} = 1 + 2t, x_{2} = 3 - t, x_{3} = 4, x_{4} = 1 + t, x_{5} = - t.

Задача 33.23

Пусть 1 и m\mathrm{m} — две плоскости в аффинном пространстве с направляющими подпространствами L\mathcal{L} и M\mathcal{M} соответственно, проходящие: 1 — через точку A, mA, \mathrm{~ m} — через точку BB. Доказать, что:

?
(1)

пересечение 1cm непусто тогда и только тогда, когда вектор AB→\overrightarrow {AB} принадлежит подпространству L+M\mathcal{L} + \mathcal{M}

(2)

если плоскости 1 и m\mathrm{m} пересекаются, то пересечение 1∩m1\cap \mathrm{m} представляет собой плоскость с направляющим подпространством L∩M\mathcal{L} \cap \mathcal{M}.

Задача 33.24

Пусть две плоскости размерностей k1k_{1} и k2k_{2} в nn мерном аффинном пространстве имеют общую точку, и k1+k2>nk_{1} + k_{2} > n. Доказать, что размерность пересечения данных плоскостей не меньше, чем k1+k2−nk_{1} + k_{2} - n. Дать формулировки этого утверждения для всех возможных случаев при n=3n = 3 и n=4n = 4.

?
Задача 33.25

Пусть плоскость 1 с направляющим подпространством L\mathcal{L} проходит через точку AA, плоскость m\mathrm{m} с направляющим подпространством M\mathcal{M} проходит через точку BB, не совпадающую с AA. Доказать, что существует и единственна плоскость наименьшей размерности, содержащая как l, так и m; при этом направляющим подпространством искомой плоскости является сумма L+M+P\mathcal{L} + \mathcal{M} + \mathcal{P}, где P\mathcal{P} — подпространство, натянутое на вектор AB→\overrightarrow {AB}.

?
Задача 33.26

Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное утверждению в задаче 33. 25, для трех плоскостей.

?
Задача 33.27

Составить уравнения заданной плоскости в четырехмерном пространстве:

?
(1)

двумерной плоскости, содержащей точку A(−1,0,2,3)A(- 1, 0, 2, 3) и прямую x1=1−t,x2=3+2t,x3=1+t,x4=3tx_{1} = 1 - t, x_{2} = 3 + 2t, x_{3} = 1 + t, x_{4} = 3t

(2)

двумерной плоскости, содержащей параллельные прямые x1=−1+2t,x2=t,x3=0,x4=−5−tx_{1} = - 1 + 2t, x_{2} = t, x_{3} = 0, x_{4} = - 5 - t и x1=3+2tx_{1} = 3 + 2t, x2=−4+t,x3=1,x4=−tx_{2} = - 4 + t, x_{3} = 1, x_{4} = - t

(3)

трехмерной плоскости, содержащей точку A(−3,0,1,0)A(- 3, 0, 1, 0) и двумерную плоскость x1−x2+x3−1=0,x1+x2+x4=0x_{1} - x_{2} + x_{3} - 1 = 0, x_{1} + x_{2} + x_{4} = 0.

Задача 33.28

Составить уравнения плоскости наименьшей размерности, содержащей две данные плоскости пятимерного пространства:

?
(1)

прямые x1=1−t,x2=2+3t,x3=4t,x4=−t,x5=3x_{1} = 1 - t, x_{2} = 2 + 3t, x_{3} = 4t, x_{4} = - t, x_{5} = 3 и x1=2+t,x2=2t,x3=1+t,x4=−1+2t,x5=3−tx_{1} = 2 + t, x_{2} = 2t, x_{3} = 1 + t, x_{4} = - 1 + 2t, x_{5} = 3 - t

(2)

прямую x1=2+t,x2=−t,x3=−1+t,x4=1+2tx_{1} = 2 + t, x_{2} = - t, x_{3} = - 1 + t, x_{4} = 1 + 2t, x5=−3tx_{5} = - 3t и двумерную плоскость x1=t1+3t2,x2=−1+4t1−−t2,x3=−3+t1+t2,x4=4−t1+t2,x5=−2+t2x_{1} = t_{1} + 3t_{2}, x_{2} = - 1 + 4t_{1} - - t_{2}, x_{3} = - 3 + t_{1} + t_{2}, x_{4} = 4 - t_{1} + t_{2}, x_{5} = - 2 + t_{2}

(3)

двумерные плоскости x1−x3+x4−1=0,x1+2x4−−x5−2=0,x2+x3−2=0x_{1} - x_{3} + x_{4} - 1 = 0, x_{1} + 2x_{4} - - x_{5} - 2 = 0, x_{2} + x_{3} - 2 = 0 и x1=x2=x3=1x_{1} = x_{2} = x_{3} = 1.

Задача 33.29
?
(1)

Доказать, что если две плоскости в nn-мерном пространстве абсолютно скрещиваются, то сумма их размерностей не превосходит n−1n - 1.

(2)

Доказать, что если две плоскости в nn-мерном пространстве скрещиваются параллельно rr-мерной плоскости, то сумма их размерностей не превосходит n+r−1n + r - 1.

Задача 33.30

Исследовать взаимное расположение прямой и двумерной плоскости в четырехмерном пространстве, если двумерная плоскость задается уравнениями x1−2x3+1=0,x1+2x2−3x3+x4−2=0x_{1} - 2x_{3} + 1 = 0, x_{1} + 2x_{2} - 3x_{3} + x_{4} - 2 = 0, а прямая задана параметрически:

?
(1)

x1=3+2t,x2=5,x3=2+t,x4=tx_{1} = 3 + 2t, \quad x_{2} = 5, \quad x_{3} = 2 + t, \quad x_{4} = t

(2)

x1=−2+3t,x2=3−t,x3=−1+2t,x4=−4+4tx_{1} = - 2 + 3t, \quad x_{2} = 3 - t, \quad x_{3} = - 1 + 2t, \quad x_{4} = - 4 + 4t

(3)

x1=6+t,x2=5−t,x3=1+2t,x4=1+3tx_{1} = 6 + t, \quad x_{2} = 5 - t, \quad x_{3} = 1 + 2t, \quad x_{4} = 1 + 3t

(4)

x1=−1+2t,x2=1+t,x3=t,x4=1−tx_{1} = - 1 + 2t, \quad x_{2} = 1 + t, \quad x_{3} = t, \quad x_{4} = 1 - t.

Задача 33.31

Исследовать взаимное расположение двух двумерных плоскостей в пятимерном пространстве, если первая плоскость задается уравнениями x1=x2=1,x3+x4=x5x_{1} = x_{2} = 1, x_{3} + x_{4} = x_{5}, а вторая — параметрическими уравнениями:

?
(1)

x1=2+t1,x2=3,x3=3+2t2,x4=4,x5=5+t1+t2x_{1} = 2 + t_{1}, \quad x_{2} = 3, \quad x_{3} = 3 + 2t_{2}, \quad x_{4} = 4, \quad x_{5} = 5 + t_{1} + t_{2}

(2)

x1=−t1,x2=3+2t1,x3=2+t1,x4=1+t1−t2x_{1} = - t_{1}, \quad x_{2} = 3 + 2t_{1}, \quad x_{3} = 2 + t_{1}, \quad x_{4} = 1 + t_{1} - t_{2}, x5=2+t2x_{5} = 2 + t_{2}

(3)

x1=2+t1+t2,x2=3+t1+t2,x3=3+2t1+t2x_{1} = 2 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{2} = 3 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{3} = 3 + 2t_{1} + t_{2}, x4=4+t1,x5=5−2t2x_{4} = 4 + t_{1}, \quad x_{5} = 5 - 2t_{2}

(4)

x1=t1−t2,x2=1,x3=t1,x4=1−t2,x5=3−−t1+t2x_{1} = t_{1} - t_{2}, \quad x_{2} = 1, \quad x_{3} = t_{1}, \quad x_{4} = 1 - t_{2}, \quad x_{5} = 3 - - t_{1} + t_{2}

(5)

x1=1,x2=4,x3=1+t1+t2,x4=2+2t1−2t2x_{1} = 1, \quad x_{2} = 4, \quad x_{3} = 1 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{4} = 2 + 2t_{1} - 2t_{2}, x5=−5+3t1−t2x_{5} = - 5 + 3t_{1} - t_{2}

(6)

x1=1,x2=1,x3=2+2t1+t2,x4=−3+t1−3t2x_{1} = 1, \quad x_{2} = 1, \quad x_{3} = 2 + 2t_{1} + t_{2}, \quad x_{4} = - 3 + t_{1} - 3t_{2}, x5=−1+3t1−2t2x_{5} = - 1 + 3t_{1} - 2t_{2}.

Задача 33.32

Доказать, что две прямые в четырехмерном пространстве, заданные уравнениями x=c209+tc197\mathbf{x} = \mathbf{c}_{209} + t\mathbf{c}_{197} и x=c210+tc201\mathbf{x} = \mathbf{c}_{210} + t\mathbf{c}_{201}, имеют единственную общую точку. Найти координаты этой точки и составить уравнения двумерной плоскости, содержащей данные прямые. c209=[5199],c197=[1122],c210=[15−25],c201=[1−75−2]\mathbf{c}_{209} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 1 \\ 9 \\ 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{210} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -7 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 33.33

Точками аффинного пространства являются многочлены степени не выше 4, векторами являются те же многочлены: p1(t)p2(t)‾=p2(t)−p1(t)\overline{p_{1}(t) p_{2}(t)} = p_{2}(t) - p_{1}(t). Первая прямая содержит точки 2t4−2t2t^{4} - 2t и t4+t3−tt^{4} + t^{3} - t, вторая прямая содержит точки 5+10t2+2t35 + 10t^{2} + 2t^{3} и −1−2t2+2t3- 1 - 2t^{2} + 2t^{3}. Доказать, что эти прямые имеют единственную общую точку, и найти эту точку (многочлен).

?
Задача 33.34

Составить параметрические уравнения прямой в четырехмерном пространстве, содержащей точку с координатным столбцом c211\mathbf{c}_{211} и пересекающей прямые x=c212+tc202\mathbf{x} = \mathbf{c}_{212} + t\mathbf{c}_{202} и x=c213+tc210\mathbf{x} = \mathbf{c}_{213} + t\mathbf{c}_{210}; найти координаты точек пересечения. c211=[14−15],c212=[3148],c202=[1013],c213=[417−518],c210=[15−25]\mathbf{c}_{211} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{212} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \\ 8 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{213} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 17 \\ -5 \\ 18 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{210} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \\ 5 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 33.35

Система точек A1,…,Ak,B1,…,BjA_{1}, \ldots , A_{k}, B_{1}, \ldots , B_{j} независима. Доказать, что существуют непересекающцеся плоскости 1 и m\mathrm{m} размерностей k−1k - 1 и j−1j - 1 соответственно такие, что плоскость 1 содержит точки A1,…,AkA_{1}, \ldots , A_{k}, а плоскость m\mathrm{m} содержит точки B1,…,BjB_{1}, \ldots , B_{j}.

?
Задача 33.36

Пусть l\mathrm{l} и m\mathrm{m} — плоскости аффинного пространства такие, что пространство векторов аффинного пространства является прямой суммой направляющих подпространств L\mathcal{L} и M\mathcal{M} этих плоскостей. Доказать, что:

?
(1)

проекция любой точки аффинного пространства на плоскость l\mathrm{l} параллельно плоскости m\mathrm{m} определена однозначно

(2)

проекция любого вектора AB→\overrightarrow {AB} на плоскость l\mathrm{l} параллельно плоскости m\mathrm{m} является проекцией этого вектора на подпространство L\mathcal{L} параллельно подпространству M\mathcal{M}.

Задача 33.37

Найти координаты проекции точки M(5,0,−3,4)M(5, 0, - 3, 4) четырехмерного пространства:

?
(1)

на гиперплоскость x1+x2−x3+2x4=2x_{1} + x_{2} - x_{3} + 2x_{4} = 2 параллельно прямой x1=1−t,x2=3+4t,x3=3t,x4=1+tx_{1} = 1 - t, x_{2} = 3 + 4t, x_{3} = 3t, x_{4} = 1 + t

(2)

на двумерную плоскость x1−x2+x3+1=0,x1+x2=x4x_{1} - x_{2} + x_{3} + 1 = 0, x_{1} + x_{2} = x_{4} параллельно двумерной плоскости x1+x2+x3+x4=0,x1−−2x4−3=0x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, x_{1} - - 2x_{4} - 3 = 0.

Задача 33.38

Является ли выпуклым множество точек в nn-мерном аффинном пространстве (n=1,2,…)(n = 1, 2, \ldots ), координаты x1,…,xnx_{1}, \ldots , x_{n} которых в декартовой системе координат удовлетворяют условию:

?
(1)

a1x1+…+anxn+a0=0a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} + a_{0} = 0

(2)

a1x1+…+anxn+a0⩾0a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} + a_{0} \geqslant 0

(3)

λ1x12+…+λnxn2⩽1\lambda_{1} x_{1}^{2} + \ldots + \lambda_{n} x_{n}^{2} \leqslant 1, где λi⩾0,i=1,…,n\lambda_{i} \geqslant 0, \quad i = 1, \ldots , n

(4)

λ1x12+…+λnxn2⩾1\lambda_{1} x_{1}^{2} + \ldots + \lambda_{n} x_{n}^{2} \geqslant 1, где λi⩾0,i=1,…,n\lambda_{i} \geqslant 0, \quad i = 1, \ldots , n

(5)

x1⩾0,x2⩾0,…,xn⩾0x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, \ldots , x_{n} \geqslant 0; 1

(6)

x1x2…xn⩾0x_{1} x_{2} \ldots x_{n} \geqslant 0?

Задача 33.39

Доказать выпуклость kk-мерного параллелепипеда.

?
Задача 33.40

Доказать, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством.

?
Задача 33.41

Найти проекцию четырехмерного симплекса, ограниченного гиперплоскостями x1=0,x2=0,x3=0,x4=0x_{1} = 0, x_{2} = 0, x_{3} = 0, x_{4} = 0 и x1+x2+x3+x4=1x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1, на гиперплоскость x1+x2+x3+x4=0x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 параллельно прямой x1=x2=x3=x4x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4}.

?
Задача 33.42

Доказать, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, называемой центром параллелепипеда.

?
Задача 33.43

Для kk-мерного параллелепипеда найти число:

?
(1)

различных pp-мерных граней

(2)

различных диагоналей.

Задача 33.44

Определить форму и вершины сечений четырехмерного параллелепипеда −1⩽xi⩽1,i=1,2,3,4- 1 \leqslant x_{i} \leqslant 1, i = 1, 2, 3, 4, гиперплоскостью x1+x2+x3+x4=0x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0.

?
§
34 · Точечные евклидовы пространства[37/73%]
Задача 34.1

Проверить, что расстояние ρ(A,B˙)\rho (A, \dot{B}) между точками AA и BB в точечном евклидовом пространстве обладает следующими свойствами:

?
(1)

ρ(A,B)=ρ(B,A)\rho (A, B) = \rho (B, A) для любых точек AA и BB

(2)

ρ(A,B)⩽ρ(A,C)+ρ(B,C)\rho (A, B) \leqslant \rho (A, C) + \rho (B, C) для любых точек A,B,CA, B, C

(3)

для любой точки CC такой, что AC→=λAB→\overrightarrow {AC} = \lambda \overrightarrow {AB}, выполняется равенство ρ(A,C)=∣λ∣ρ(A,B)\rho (A, C) = \left|\lambda \right| \rho (A, B).

Задача 34.2

Найти длины сторон и внутренние углы треугольника ABCABC, заданного координатами вершин:

?
(1)

A(−1,0,−1,2),B(0,2,0,3),C(2,1,1,2)A(- 1, 0, - 1, 2), \quad B(0, 2, 0, 3), \quad C(2, 1, 1, 2)

(2)

A(1,2,2,−1),B(3,0,3,−1),C(2,1,1,0)A(1, 2, 2, - 1), B(3, 0, 3, - 1), \quad C(2, 1, 1, 0)

(3)

A(0,1,−1,2,−1),B(4,1,1,2,3),C(3,4,2,5,−1)A(0, 1, - 1, 2, - 1), \quad B(4, 1, 1, 2, 3), C(3, 4, 2, 5, - 1).

Задача 34.3

Доказать, что множеством точек, равноудаленных от двух заданных различных точек AA и BB, является гиперплоскость, проходящая через середину отрезка ABAB перпендикулярно этому отрезку.

?
Задача 34.4

Найти центр и радиус сферы, описанной около четырехмерного симплекса, заданного координатами вершин:

?
(1)

A0(4,−2,−1,−1),A1(1,1,2,2),A2(3,1,0,0)A_{0}(4, - 2, - 1, - 1), A_{1}(1, 1, 2, 2), A_{2}(3, 1, 0, 0), A3(0,2,3,−1),A4(1,−5,−4,2)A_{3}(0, 2, 3, - 1), \quad A_{4}(1, - 5, - 4, 2)

(2)

A0(3,3,1,−1),A1(1,3,3,1),A2(0,3,4,−1)A_{0}(3, 3, 1, - 1), A_{1}(1, 3, 3, 1), A_{2}(0, 3, 4, - 1), A3(2,1,2,3),A4(2,3,0,1)A_{3}(2, 1, 2, 3), \quad A_{4}(2, 3, 0, 1).

Задача 34.5

Гиперплоскость m\mathrm{m} в четырехмерном точечном евклидовом пространстве содержит тетраэдр, заданный координатами своих вершин: A1(4,4,−1,1),A2(−2,−8,−5,1)A_{1}(4, 4, - 1, 1), A_{2}(- 2, - 8, - 5, 1), A3(3,3,1,3),A4(1,−2,4,1)A_{3}(3, 3, 1, 3), A_{4}(1, - 2, 4, 1). Гиперплоскость т рассматривается как трехмерное точечное евклидово пространство. Найти в этом пространстве центр и радиус сферы, описанной около данного тетраэдра.

?
Задача 34.6

Доказать, что расстояние от точки AA до kk-мерной плоскости m\mathrm{m} равно:

?
(1)

расстоянию между точкой AA и ее ортогональной проекцией на m\mathrm{m}

(2)

длине ортогональной составляющей вектора AB→(B\overrightarrow {AB}(B — произвольная точка из m\mathrm{m}) относительно направляющего подпространства плоскости m\mathrm{m}.

Задача 34.7

Пусть 1 и m\mathrm{m} — плоскости с направляющими подпространствами L\mathcal{L} и M\mathcal{M} соответственно, проходящие: 1 — через точку AA и m\mathrm{m} — через точку BB. Доказать, что расстояние между плоскостями 1 и m\mathrm{m} равно длине ортогональной составляющей вектора AB→\overrightarrow {AB} относительно подпространства L+M\mathcal{L} + \mathcal{M}.

?
Задача 34.8

Гиперплоскость m\mathrm{m} задана уравнением a1x1+……+anxn+a0=0a_{1} x_{1} + \ldots \ldots + a_{n} x_{n} + a_{0} = 0. Доказать, что:

?
(1)

вектор с координатным столбцом (a1,…,an)T\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)^{T} ортогонален m

(2)

расстояние от точки A(y1,…,yn)A\left(y_{1}, \ldots , y_{n}\right) до т равно

∣a1y1+…+anyn+a0∣/a12+…+an2. \left|a_{1} y_{1} + \ldots + a_{n} y_{n} + a_{0}\right| / \sqrt{a_{1}^{2} + \ldots + a_{n}^{2}}.
Задача 34.9

Точка AA задана координатами, гиперплоскость m\mathrm{m} — уравнением. Найти расстояние от AA до m\mathrm{m}, если:

?
(1)

A(9,2,−3,1),m:3x1+x2−x3−5x4+3=0A(9, 2, - 3, 1), \quad \mathrm{m}: 3x_{1} + x_{2} - x_{3} - 5x_{4} + 3 = 0

(2)

A(1,−3,0,−2,4),m:2x1−5x2+x3+3x4+5x5−7=0A(1, - 3, 0, - 2, 4), \mathrm{m}: 2x_{1} - 5x_{2} + x_{3} + 3x_{4} + 5x_{5} - 7 = 0.

Задача 34.10

Составить уравнение гиперплоскости, параллельной гиперплоскости m\mathrm{m} и расположенной от m\mathrm{m} на заданном расстоянии dd, если:

?
(1)

m:5x1+2x2−4x3+2x4=3,d=2\mathrm{m}: 5x_{1} + 2x_{2} - 4x_{3} + 2x_{4} = 3, \quad d = 2

(2)

m:x1−4x2+2x3+2x4=4,d=5\mathrm{m}: x_{1} - 4x_{2} + 2x_{3} + 2x_{4} = 4, \quad d = 5

(3)

m:2x1−x2−x3+x4+3x5=−5,d=3\mathrm{m}: 2x_{1} - x_{2} - x_{3} + x_{4} + 3x_{5} = - 5, \quad d = 3.

Задача 34.11

Найти ортогональную проекцию точки AA на гиперплоскость m\mathrm{m}:

?
(1)

A(7,−1,6,1),m:3x1−x2+2x3+x4=5A(7, - 1, 6, 1), \quad \mathrm{m}: 3x_{1} - x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 5

(2)

A(1,2,8,−2)A(1, 2, 8, - 2), m: 2x1−2x3+x4=112x_{1} - 2x_{3} + x_{4} = 11

(3)

A(3,0,−1,2,6)A(3, 0, - 1, 2, 6), m: 5x1+3x2−2x3−x4+4x5=−165x_{1} + 3x_{2} - 2x_{3} - x_{4} + 4x_{5} = - 16.

Задача 34.12

Точки AA и BB заданы своими координатами. Найти ортогональную проекцию вектора AB‾\overline{AB} на гиперплоскость m\mathrm{m}, если:

?
(1)

A(−3,0,1,3),B(5,2,2,3),m:2x1+x2−x4=3A(- 3, 0, 1, 3), \quad B(5, 2, 2, 3), \quad \mathrm{m}: 2x_{1} + x_{2} - x_{4} = 3

(2)

A(3,3,−8,−3,4),B(3,2,−1,−2,2),m:x1+x2−−2x3+x4+x5=5A(3, 3, - 8, - 3, 4), \quad B(3, 2, - 1, - 2, 2), \mathrm{m}: \quad x_{1} + x_{2} - - 2x_{3} + x_{4} + x_{5} = 5.

Задача 34.13

Найти отношение длины ортогональной проекции произвольного ребра nn-мерного куба на его диагональ к длине диагонали.

?
Задача 34.14

Найти точку, ортогонально симметричную точке AA относительно гиперплоскости m\mathrm{m}:

?
(1)

A(5,5,3,3),m:2x1+3x2+x3+2x4+2=0A(5, 5, 3, 3), \quad \mathrm{m}: 2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} + 2x_{4} + 2 = 0

(2)

A(3,5,−3,5),m:x1−3x2+4x3−5x4−2=0A(3, 5, - 3, 5), \mathrm{m}: x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} - 5x_{4} - 2 = 0

(3)

A(3,6,3,8,1),m:x1−x2−2x4+2x5−3=0A(3, 6, 3, 8, 1), \mathrm{m}: x_{1} - x_{2} - 2x_{4} + 2x_{5} - 3 = 0.

Задача 34.15

Найти ортогональную проекцию точки AA на прямую:

?
(1)

A(1,−5,2,0)A(1, - 5, 2, 0); l: x1=4+t,x2=3+2t,x3=−3−tx_{1} = 4 + t, \quad x_{2} = 3 + 2t, \quad x_{3} = - 3 - t, x4=7+3tx_{4} = 7 + 3t

(2)

A(−2,1,4,2)A(- 2, 1, 4, 2); l: x1=−3+2t,x2=3−t,x3=−1+tx_{1} = - 3 + 2t, \quad x_{2} = 3 - t, \quad x_{3} = - 1 + t, x4=−3+tx_{4} = - 3 + t

(3)

A(2,4,3,−1,1)A(2, 4, 3, - 1, 1); l: x1=2−2t,x2=−1+3t,x3=−1+2t,x4=2+t,x5=−tx_{1} = 2 - 2t, \quad x_{2} = - 1 + 3t, \quad x_{3} = - 1 + 2t, \quad x_{4} = 2 + t, \quad x_{5} = - t.

Задача 34.16

Точка AA не принадлежит плоскости m\mathrm{m}. Доказать, что существует единственная прямая, проходящая через точку AA, пересекающая m\mathrm{m} и перпендикулярная к m\mathrm{m}.

?
Задача 34.17

Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки AA на прямую l\mathrm{l}:

?
(1)

A(1,−3,−2,4)A(1, - 3, - 2, 4); l: x1=4+3t,x2=2+t,x3=3+tx_{1} = 4 + 3t, \quad x_{2} = 2 + t, \quad x_{3} = 3 + t, x4=−1−tx_{4} = - 1 - t

(2)

A(1,−3,−1,3)A(1, - 3, - 1, 3); l: x1=2+t,x2=1−2t,x3=−1+2t,x4=tx_{1} = 2 + t, \quad x_{2} = 1 - 2t, \quad x_{3} = - 1 + 2t, \quad x_{4} = t

(3)

A(4,0,1,1,1)A(4, 0, 1, 1, 1); l: x1=t,x2=3−2t,x3=−2+tx_{1} = t, \quad x_{2} = 3 - 2t, \quad x_{3} = - 2 + t, x4=−3+2t,x5=tx_{4} = - 3 + 2t, \quad x_{5} = t.

Задача 34.18

Найти точку, ортогонально симметричную точке AA относительно прямой l\mathrm{l}:

?
(1)

A(4,1,−1,−1)A(4, 1, - 1, - 1), 1 — прямая задачи 34.15,1)34. 15, 1)

(2)

A(2,5,−3,−2)A(2, 5, - 3, - 2), 1 — прямая задачи 34.15,2)34. 15, 2).

Задача 34.19

Найти угол между вектором, заданным координатным столбцом а, и гиперплоскостью m\mathrm{m}, если:

?
(1)

a=[0101], m:3x1−x2+x3−5x4=2\mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathrm{~ m}: 3x_{1} - x_{2} + x_{3} - 5x_{4} = 2

(2)

a=[1−111], m:3x1−x2+2x3+2x4=5\mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ - 1\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathrm{~ m}: 3x_{1} - x_{2} + 2x_{3} + 2x_{4} = 5

(3)

a=[1−32−1−1], m:x1+x2−2x3+3x4−x5=1\mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ - 3\\ 2\\ - 1\\ - 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathrm{~ m}: x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 3x_{4} - x_{5} = 1.

Задача 34.20

Найти угол между прямыми l1l_{1} и l2l_{2}, если:

?
(1)

l1:x1=4+t,x2=−2t,x3=1−t,x4=2;12:x1=3l_{1}: x_{1} = 4 + t, x_{2} = - 2t, x_{3} = 1 - t, x_{4} = 2; 1_{2}: x_{1} = 3, x2=t,x3=5+t,x4=−1x_{2} = t, \quad x_{3} = 5 + t, \quad x_{4} = - 1

(2)

l1:x1=1+t,x2=2+t,x3=3+t,x4=2t,x5=1−t;l2:x1=t,x2=5,x3=−1+t,x4=3−2t,x5=2t\mathrm{l}_{1}: x_{1} = 1 + t, \quad x_{2} = 2 + t, \quad x_{3} = 3 + t, \quad x_{4} = 2t, \quad x_{5} = 1 - t; \quad \mathrm{l}_{2}: x_{1} = t, \quad x_{2} = 5, \quad x_{3} = - 1 + t, \quad x_{4} = 3 - 2t, \quad x_{5} = 2t.

Задача 34.21

Найти расстояние от точки AA до прямой l\mathrm{l}:

?
(1)

A(0,3,2,−5)A(0, 3, 2, - 5); l: x1=1+t,x2=−t,x3=2+2tx_{1} = 1 + t, \quad x_{2} = - t, x_{3} = 2 + 2t, x4=−2+2tx_{4} = - 2 + 2t

(2)

A(2,−2,1,5);1:x1=3+t,x2=−1+t,x3=2+tA(2, - 2, 1, 5); \quad 1: x_{1} = 3 + t, \quad x_{2} = - 1 + t, \quad x_{3} = 2 + t, x4=−tx_{4} = - t

(3)

A(3,3,1,0,0);1:x1=2+3t,x2=1+2t,x3=−tA(3, 3, 1, 0, 0); \quad 1: \quad x_{1} = 2 + 3t, \quad x_{2} = 1 + 2t, \quad x_{3} = - t, x4=1+t,x5=−1−tx_{4} = 1 + t, \quad x_{5} = - 1 - t

(4)

A(1,−1,−1,1)A(1, - 1, - 1, 1); l: x1+x2+2x3+1=0,3x2+2x3−−x4−1=0,x1−x2+x3+x4+2=0x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + 1 = 0, \quad 3x_{2} + 2x_{3} - - x_{4} - 1 = 0, x_{1} - x_{2} + x_{3} + x_{4} + 2 = 0.

Задача 34.22

Прямая l1l_{1} с направляющим вектором a1a_{1} проходит через точку A1A_{1}, прямая l2\mathrm{l}_{2} с направляющим вектором a2a_{2} проходит через точку A2A_{2}. Доказать, что:

?
(1)

если a1a_{1} и a2a_{2} не коллинеарны, то квадрат расстояния между l1l_{1} и l2l_{2} равен det⁡Γ(A1A2→,a1,a2)/det⁡Γ(a1,a2)\operatorname {det} \Gamma \left(\overrightarrow {A_{1} A_{2}}, a_{1}, a_{2}\right) / \operatorname {det} \Gamma \left(a_{1}, a_{2}\right)

(2)

если a1a_{1} и a2a_{2} коллинеарны, то квадрат расстояния между l1l_{1} и l2l_{2} равен det⁡Γ(A1A2→,a1)/∣a1∣2\operatorname {det} \Gamma \left(\overrightarrow {A_{1} A_{2}}, a_{1}\right) / \left|a_{1}\right|^{2}.

Задача 34.23

Найти расстояние между прямыми l1l_{1} и l2\mathrm{l}_{2}:

?
(1)

l1:x1=1+t,x2=−1,x3=−t,x4=−2+t\mathrm{l}_{1}: \quad x_{1} = 1 + t, \quad x_{2} = - 1, \quad x_{3} = - t, \quad x_{4} = - 2 + t; l2:x1=4+t,x2=2t,x3=1+t,x4=t\mathrm{l}_{2}: x_{1} = 4 + t, \quad x_{2} = 2t, \quad x_{3} = 1 + t, \quad x_{4} = t

(2)

l1:x1=2+t,x2=−1−2t,x3=2+2t,x4=1−t\mathrm{l}_{1}: \quad x_{1} = 2 + t, \quad x_{2} = - 1 - 2t, \quad x_{3} = 2 + 2t, \quad x_{4} = 1 - t; l2:x1=3−t,x2=1+2t,x3=−1−2t,x4=2+tl_{2}: x_{1} = 3 - t, \quad x_{2} = 1 + 2t, \quad x_{3} = - 1 - 2t, \quad x_{4} = 2 + t

(3)

l1:x1=3+t,x2=2,x3=t,x4=3+t,x5=−t\mathrm{l}_{1}: \quad x_{1} = 3 + t, \quad x_{2} = 2, \quad x_{3} = t, \quad x_{4} = 3 + t, \quad x_{5} = - t; l2:x1=1+2t,x2=2t,x3=1−t,x4=t,x5=2l_{2}: x_{1} = 1 + 2t, \quad x_{2} = 2t, \quad x_{3} = 1 - t, \quad x_{4} = t, \quad x_{5} = 2

(4)

l1:x1=1+t,x2=2t,x3=1−t,x4=−1+t,x5=tl_{1}: x_{1} = 1 + t, \quad x_{2} = 2t, \quad x_{3} = 1 - t, \quad x_{4} = - 1 + t, \quad x_{5} = t; l2:x1=3+t,x2=−2t,x3=−1−t,x4=1+t,x5=2+tl_{2}: x_{1} = 3 + t, \quad x_{2} = - 2t, \quad x_{3} = - 1 - t, \quad x_{4} = 1 + t, \quad x_{5} = 2 + t

(5)

l1:x1=1−2t,x2=0,x3=t,x4=1+t,x5=2\mathrm{l}_{1}: \quad x_{1} = 1 - 2t, \quad x_{2} = 0, \quad x_{3} = t, \quad x_{4} = 1 + t, \quad x_{5} = 2; l2:x1=−1+t,x2=−1+t,x3=0,x4=1,x5=−2−tl_{2}: x_{1} = - 1 + t, \quad x_{2} = - 1 + t, \quad x_{3} = 0, \quad x_{4} = 1, \quad x_{5} = - 2 - t.

Задача 34.24

Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки AA на плоскость m\mathrm{m}, если:

?
(1)

A(3,7,−2,1);m:x1=2+t1,x2=2+t2,x3=t1+t2,x4=−t2A(3, 7, - 2, 1); \mathrm{m}: x_{1} = 2 + t_{1}, \quad x_{2} = 2 + t_{2}, \quad x_{3} = t_{1} + t_{2}, \quad x_{4} = - t_{2}

(2)

A(−3,−1,4,7,−3);m:x1=t1+t3,x2=2+t2+t3A(- 3, - 1, 4, 7, - 3); \mathrm{m}: x_{1} = t_{1} + t_{3}, \quad x_{2} = 2 + t_{2} + t_{3}, x3=2+t1,x4=1+t2+t3,x5=1+t2x_{3} = 2 + t_{1}, \quad x_{4} = 1 + t_{2} + t_{3}, \quad x_{5} = 1 + t_{2}.

Задача 34.25

Найти ортогональную проекцию точки AA на плоскость m\mathrm{m}, если:

?
(1)

A(−3,2,2,−2);m:x1=2+t1+t2,x2=4+2t1A(- 3, 2, 2, - 2); \mathrm{m}: x_{1} = 2 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{2} = 4 + 2t_{1}, x3=t1,x4=−t2x_{3} = t_{1}, \quad x_{4} = - t_{2}

(2)

A(3,2,1,4,−1)A(3, 2, 1, 4, - 1); m:x1=1+t1,x2=−1+t2,x3=2+t1+t2,x4=−2−t1,x5=t2\mathrm{m}: x_{1} = 1 + t_{1}, \quad x_{2} = - 1 + t_{2}, \quad x_{3} = 2 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{4} = - 2 - t_{1}, \quad x_{5} = t_{2}

(3)

A(0,−1,5,1,−2)A(0, - 1, 5, 1, - 2); m: x1=1+t1,x2=t3,x3=1+t1+t2,x4=−2+t3,x5=−1+t2x_{1} = 1 + t_{1}, \quad x_{2} = t_{3}, \quad x_{3} = 1 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{4} = - 2 + t_{3}, \quad x_{5} = - 1 + t_{2}.

Задача 34.26

Найти точку, ортогонально симметричную точке AA относительно плоскости m\mathrm{m}, если:

?
(1)

A(5,3,−1,−1);m:x1=1+t1,x2=t2,x3=−2+t2,x4=−1+t1A(5, 3, - 1, - 1); \mathrm{m}: \quad x_{1} = 1 + t_{1}, \quad x_{2} = t_{2}, \quad x_{3} = - 2 + t_{2}, \quad x_{4} = - 1 + t_{1}

(2)

A(3,5,0,2,2);m:x1=t1,x2=2+t2,x3=−3+t1A(3, 5, 0, 2, 2); \mathrm{m}: x_{1} = t_{1}, \quad x_{2} = 2 + t_{2}, \quad x_{3} = - 3 + t_{1}, x4=3−t1−t2,x5=1x_{4} = 3 - t_{1} - t_{2}, \quad x_{5} = 1.

Задача 34.27

Пусть m\mathrm{m} — плоскость с направляющим подпространством M\mathcal{M}, проходящая через точку A0A_{0}, а f1,…,fkf_{1}, \ldots , f_{k} — базис в M\mathcal{M}. Доказать, что квадрат расстояния от точки A1A_{1} до плоскости m\mathrm{m} равен

det⁡Γ(A0A1→,f1,…,fk)/det⁡Γ(f1,…,fk) \operatorname {det} \Gamma \left(\overrightarrow {A_{0} A_{1}}, f_{1}, \ldots , f_{k}\right) / \operatorname {det} \Gamma \left(f_{1}, \ldots , f_{k}\right)
?
Задача 34.28

Найти расстояние от точки AA до плоскости m:

?
(1)

в задаче 34.24,1)34. 24, 1)

(2)

в задаче 34.24,2)34. 24, 2).

Задача 34.29

Найти расстояние от точки AA до плоскости m\mathrm{m}, заданной параметрически, если:

?
(1)

A(1,2,1,1);m:x1=−2t1+4t2,x2=−1+t1−t2A(1, 2, 1, 1); \mathrm{m}: \quad x_{1} = - 2t_{1} + 4t_{2}, \quad x_{2} = - 1 + t_{1} - t_{2}, x3=−t3,x4=t1−t2x_{3} = - t_{3}, \quad x_{4} = t_{1} - t_{2}

(2)

A(3,1,1,0)A(3, 1, 1, 0); m:x1=−2+t1,x2=−t1+2t2,x3=t1−t2,x4=1−t1−t2\mathrm{m}: x_{1} = - 2 + t_{1}, \quad x_{2} = - t_{1} + 2t_{2}, \quad x_{3} = t_{1} - t_{2}, \quad x_{4} = 1 - t_{1} - t_{2}

(3)

A(1,2,1,3,0)A(1, 2, 1, 3, 0); m:x1=1+t1,x2=−t1+t2,x3=1+t2,x4=−1−t2,x5=t1\mathrm{m}: \quad x_{1} = 1 + t_{1}, \quad x_{2} = - t_{1} + t_{2}, \quad x_{3} = 1 + t_{2}, \quad x_{4} = - 1 - t_{2}, \quad x_{5} = t_{1}.

Задача 34.30

Найти расстояние от точки AA до плоскости m\mathrm{m}, заданной системой линейных уравнений, если:

?
(1)

A(1,0,0,1)A(1, 0, 0, 1); m: x1+2x2+2x3−3x4=7,x1−2x3+2x4=−6x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} - 3x_{4} = 7, \quad x_{1} - 2x_{3} + 2x_{4} = - 6

(2)

A(1,2,0,0)A(1, 2, 0, 0); m: x1+x2−x3−x4=1,2x2−3x3+x4=2,2x1+x3−3x4=0x_{1} + x_{2} - x_{3} - x_{4} = 1, \quad 2x_{2} - 3x_{3} + x_{4} = 2, \quad 2x_{1} + x_{3} - 3x_{4} = 0.

Задача 34.31

Точки AA и BB заданы своими координатами. Найти угол между вектором AB‾\overline{AB} и плоскостью m\mathrm{m}, если:

?
(1)

A(1,2,2,3),B(4,0,0,2);m:x1=1+t1,x2=2+t2,x3=−t1+t2,x4=3A(1, 2, 2, 3), \quad B(4, 0, 0, 2); \mathrm{m}: x_{1} = 1 + t_{1}, \quad x_{2} = 2 + t_{2}, \quad x_{3} = - t_{1} + t_{2}, \quad x_{4} = 3

(2)

A(0,1,−1,0,1),B(3,1,0,1,2);m:x1=t1+t2,x2=5A(0, 1, - 1, 0, 1), B(3, 1, 0, 1, 2); \mathrm{m}: x_{1} = t_{1} + t_{2}, x_{2} = 5, x3=−t2,x4=−t1+t2,x5=2+t1x_{3} = - t_{2}, \quad x_{4} = - t_{1} + t_{2}, \quad x_{5} = 2 + t_{1}

(3)

A(−1,−1,1,0,1),B(2,1,1,1,0)A(- 1, - 1, 1, 0, 1), \quad B(2, 1, 1, 1, 0); m: x1=t1+t3x_{1} = t_{1} + t_{3}, x2=2+t2,x3=1−t2,x4=−t1+t3,x5=−2t3x_{2} = 2 + t_{2}, \quad x_{3} = 1 - t_{2}, \quad x_{4} = - t_{1} + t_{3}, \quad x_{5} = - 2t_{3}.

Задача 34.32

Плоскости 1 и m\mathrm{m} из nn-мерного точечного евклидова пространства с направляющими подпространствами L\mathcal{L} и M\mathcal{M} соответственно проходят: 1 — через точку A, mA, \mathrm{~ m} — через точку BB. Пусть g1,…,gkg_{1}, \ldots , g_{k} — базис в подпространстве L+M\mathcal{L} + \mathcal{M}. Доказать, что квадрат расстояния между плоскостями 1 и m\mathrm{m} равен

det⁡Γ(AB→,g1,…,gk)/det⁡Γ(g1,…,gk).  \operatorname {det} \Gamma \left(\overrightarrow {AB}, g_{1}, \ldots , g_{k}\right) / \operatorname {det} \Gamma \left(g_{1}, \ldots , g_{k}\right) \text{. }
?
Задача 34.33

Найти расстояние между плоскостями 1 и m\mathrm{m}:

?
(1)

l: x1=2−2t,x2=4+t,x3=1+t,x4=0x_{1} = 2 - 2t, \quad x_{2} = 4 + t, \quad x_{3} = 1 + t, \quad x_{4} = 0; m:x1=1−2t1,x2=1+2t1+3t2,x3=1+t1,x4=1+2t1+2t2\mathrm{m}: x_{1} = 1 - 2t_{1}, \quad x_{2} = 1 + 2t_{1} + 3t_{2}, \quad x_{3} = 1 + t_{1}, \quad x_{4} = 1 + 2t_{1} + 2t_{2}

(2)

l: x1=3+t1+2t2,x2=−t1,x3=1+t1−t2x_{1} = 3 + t_{1} + 2t_{2}, \quad x_{2} = - t_{1}, \quad x_{3} = 1 + t_{1} - t_{2}, x4=−t1−t2;m:x1=2t1+t2,x2=1−3t1+t2x_{4} = - t_{1} - t_{2}; \quad \mathrm{m}: \quad x_{1} = 2t_{1} + t_{2}, \quad x_{2} = 1 - 3t_{1} + t_{2}, x3=−8−t2,x4=1+t1−t2x_{3} = - 8 - t_{2}, x_{4} = 1 + t_{1} - t_{2}

(3)

l: x1=2+t,x2=2t,x3=1,x4=t,x5=0x_{1} = 2 + t, \quad x_{2} = 2t, \quad x_{3} = 1, \quad x_{4} = t, \quad x_{5} = 0; m:x1=0,x2=1+t1+t2,x3=3+2t2,x4=2t1,x5=1+t1−t2\mathrm{m}: \quad x_{1} = 0, \quad x_{2} = 1 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{3} = 3 + 2t_{2}, \quad x_{4} = 2t_{1}, \quad x_{5} = 1 + t_{1} - t_{2}

(4)

l: x1=1+t2,x2=t2,x3=t1,x4=t1,x5=2t1x_{1} = 1 + t_{2}, \quad x_{2} = t_{2}, \quad x_{3} = t_{1}, \quad x_{4} = t_{1}, \quad x_{5} = 2t_{1}; m:x1=t2+2t3,x2=2+t1+2t3,x3=x4=1+t1−t2+t3\mathrm{m}: x_{1} = t_{2} + 2t_{3}, \quad x_{2} = 2 + t_{1} + 2t_{3}, \quad x_{3} = x_{4} = 1 + t_{1} - t_{2} + t_{3}, x5=2+t1−t2+2t3x_{5} = 2 + t_{1} - t_{2} + 2t_{3}

(5)

l: 2x1−x3+3x4=0,2x1−2x2+3x3−3x4=82x_{1} - x_{3} + 3x_{4} = 0, \quad 2x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} - 3x_{4} = 8; m:x2=−3x3−2x4=2,x1−x3−x4=0\mathrm{m}: x_{2} = - 3x_{3} - 2x_{4} = 2, \quad x_{1} - x_{3} - x_{4} = 0

(6)

l: x1+x2−x3=1,2x1+x2−x4=4x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1, \quad 2x_{1} + x_{2} - x_{4} = 4; m: x1+x2+x3=−1,x1+x3+x4=1,2x1−x2−x4=0x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 1, \quad x_{1} + x_{3} + x_{4} = 1, \quad 2x_{1} - x_{2} - x_{4} = 0.

Задача 34.34

В n-мерном пространстве плоскости m1\mathrm{m}_{1} и m2\mathrm{m}_{2} размерностей k1k_{1} и k2k_{2} соответственно абсолютно скрещиваются. Доказать, что:

?
(1)

существует единственная плоскость размерности n−−k1−k2n - - k_{1} - k_{2}, ортогональная к m1\mathrm{m}_{1} и к m2\mathrm{m}_{2} и пересекающая каждую из этих плоскостей

(2)

существует единственная прямая, ортогональная к m1\mathrm{m}_{1} и к m2\mathrm{m}_{2} и пересекающая каждую из этих плоскостей.

Задача 34.35

Найти уравнения плоскости максимальной размерности, ортогональной к заданным плоскостям m1\mathrm{m}_{1} и m2\mathrm{m}_{2} и пересекающей каждую из этих плоскостей, а также уравнения общего перпендикуляра к m1\mathrm{m}_{1} и m2\mathrm{m}_{2}, если:

?
(1)

m1\mathrm{m}_{1} и m2\mathrm{m}_{2} — прямые в задаче 34.23,134. 23, 1)

(2)

m1\mathrm{m}_{1} и m2\mathrm{m}_{2} — прямые в задаче 34.23,334. 23, 3)

(3)

m1\mathrm{m}_{1} и m2\mathrm{m}_{2} — плоскости в задаче 34.33,334. 33, 3).

Задача 34.36

Найти угол между плоскостями m1:x1=2+t1+t2,x2=x3=t1,x4=−1+t1−t2\mathrm{m}_{1}: x_{1} = 2 + t_{1} + t_{2}, x_{2} = x_{3} = t_{1}, x_{4} = - 1 + t_{1} - t_{2} и m2:x1=t1+2t2,x2=3+t2,x3=2−t1−2t2,x4=−t2\mathrm{m}_{2}: x_{1} = t_{1} + 2t_{2}, x_{2} = 3 + t_{2}, x_{3} = 2 - t_{1} - 2t_{2}, x_{4} = - t_{2}.

?
Задача 34.37

В правильном пятимерном симплексе A0A1A2A3A4A5A_{0} A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} найти угол:

?
(1)

между гранями A0A1A2A_{0} A_{1} A_{2} и A0A3A4A_{0} A_{3} A_{4}

(2)

между гранями A0A1A2A_{0} A_{1} A_{2} и A0A3A4A5A_{0} A_{3} A_{4} A_{5}

(3)

между гранями A0A1A2A_{0} A_{1} A_{2} и A1A2A3A4A5A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}.