Банк задач по математике

Задача 33.1

Проверить, что $n$ -мерное линейное пространство $\mathcal{L}$ является аффинным пространством с пространством векторов, совпадающим с $\mathcal{L}$ , если точками этого аффинного пространства считать векторы из $\mathcal{L}$ и всякой упорядоченной паре векторов $a, b$ ставить в соответствие вектор $x = b - a$ .

?

Задача 33.2

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что в аффинном пространстве $\mathcal{A}$ :

?

(1)

$\overrightarrow {AA} =$ о для любой точки $A$ из $\mathcal{A}$

(2)

$P(A, o) = A$ для любой точки $A$ из $\mathcal{A}$

(3)

$\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA}$ для любых точек $A$ и $B$ из $\mathcal{A}$

(4)

равенство $\overrightarrow {AB} = \overline{A_{1} B_{1}}$ имеет место тогда и только тогда, когда $\overrightarrow {AA_{1}} = \overrightarrow {BB_{1}}$ .

Задача 33.3

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что система точек $A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k}$ аффинного пространства независима тогда и только тогда, когда не существует плоскости размерности, меньшей $k$ , содержащей эту систему точек.

(2)

Доказать, что система точек $A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k}$ аффинного пространства независима тогда и только тогда, когда для произвольной точки $O$ из равенств

\begin{gathered} \lambda _{0} \overrightarrow {OA_{0}} + \lambda _{1} \overrightarrow {OA_{1}} + \ldots + \lambda _{k} \overrightarrow {OA_{k}} = o, \\ \lambda _{0} + \lambda _{1} + \ldots + \lambda _{k} = 0\end{gathered}

следует, что $\lambda_{0} = \lambda_{1} = \ldots = \lambda_{k} = 0$ .

Задача 33.4

(1)(2)(3)

Независима ли система точек с координатами:

?

(1)

$(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)$

(2)

$(0, 1, 1), \quad (1, 0, 1), \quad (1, 1, 0), \quad (2, 2, 2)$

(3)

$(0, 1, 1), (1, 0, 1), \quad (1, 1, 0), \quad (2 / 3, 2 / 3, 2 / 3)$ ?

Задача 33.5

Показать, что понятие независимости системы точек $A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k}$ равноправно относительно всех точек этой системы. А именно, если система векторов $\overrightarrow {A_{0} A_{1}}, \overrightarrow {A_{0} A_{2}}, \ldots , \overrightarrow {A_{0} A_{k}}$ линейно независима, то линейно независима и любая система $\overrightarrow {A_{\jmath } A_{0}}, \ldots , \overrightarrow {A_{\jmath } A_{\jmath- 1}}, \overrightarrow {A_{\jmath } A_{\jmath+ 1}}, \ldots , \overrightarrow {A_{0} A_{k}}, j = 1, 2, \ldots , k$ .

?

Задача 33.6

(1)(2)

Пусть $\mathrm{m}$ и $\mathrm{m}^{\prime }$ — плоскости с направляющими подпространствами $\mathcal{M}$ и $\mathcal{M}^{\prime }$ . Доказать, что:

?

(1)

если $\mathcal{M} \subset \mathcal{M}^{\prime }$ , то либо $\mathrm{m}$ и $\mathrm{m}^{\prime }$ не имеют общих точек, либо $\mathrm{m} \subset \mathrm{m}^{\prime }$

(2)

если $\mathcal{M} = \mathcal{M}^{\prime }$ , то $\mathrm{m}$ и $\mathrm{m}^{\prime }$ либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Задача 33.7

Доказать, что если прямая имеет две различные общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости.

?

Задача 33.8

Доказать, что если $k$ -мерная плоскость $\mathrm{m}_{1}$ содержит независимую систему точек $A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k}$ , общих с плоскостью $\mathrm{m}_{2}$ , то $\mathrm{m}_{1} \subset \mathrm{m}_{2}$ .

?

Задача 33.9

Доказать, что существует ровно одна $k$ -мерная плоскость, содержащая независимую систему точек $A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k}$ .

?

Задача 33.10

Пусть $A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{k}$ — независимая система точек в $k$ -мерной плоскости $\mathrm{m}$ , а $\mathrm{O}$ — фиксированная точка аффинного пространства. Доказать, что $\mathrm{m}$ состоит из тех и только тех точек $A$ , для которых

\overrightarrow {OA} = \lambda _{0} \overrightarrow {OA_{0}} + \lambda _{1} \overrightarrow {OA_{1}} + \ldots + \lambda _{k} \overrightarrow {OA_{k}}

где $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}$ — числа, удовлетворяющие равенству $\lambda_{0} + \lambda_{1} + \ldots + \lambda_{k} = 1$ .

?

Задача 33.11

Пусть $l_{1}, 1_{2}, 1_{3}, l_{4}$ — прямые в аффинном пространстве, причем $l_{1}$ параллельна $l_{2}$ , а $l_{3}$ параллельна $l_{4}$ . Пусть, далее, $l_{3}$ пересекает $l_{1}$ и $l_{2}$ в точках $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно, а $l_{4}$ пересекает $\mathrm{l}_{1}$ в точке $A_{2}$ . Доказать что $\mathrm{l}_{4}$ пересекает и $\mathrm{l}_{2}$ в точке $B_{2}$ такой, что $\overrightarrow {A_{1} A_{2}} = \overrightarrow {B_{1} B_{2}}, \overrightarrow {A_{1} B_{1}} = \overrightarrow {A_{2} B_{2}}$ .

?

Задача 33.12

Доказать, что любые две прямые $n$ -мерного аффинного пространства $(n \geqslant 3)$ целиком содержатся в некоторой трехмерной плоскости.

?

Задача 33.13

При каком необходимом и достаточном условии две прямые $x = a_{0} + a_{1} t$ и $x = b_{0} + b_{1} t$ содержатся в одной двумерной плоскости?

?

Задача 33.14

(1)(2)(3)

Составить уравнения:

?

(1)

прямой, проходящей через точки $A(- 1, 0, 3, - 2)$ и $B(2, 1, 4, 5)$

(2)

двумерной плоскости, проходящей через точки $A(- 2, 1, 1, 1), B(1, 3, - 5, 2)$ и $C(0, 1, 1, 4)$

(3)

трехмерной плоскости (гиперплоскости), проходящей через точки $A(1, 1, 0, - 1), B(2, - 1, 3, 3), C(1, - 1, 1, 5)$ и $D(0, 0, 3, - 1)$ .

Задача 33.15

Пусть $A\left(x_{1}^{\prime }, x_{2}^{\prime }, \ldots , x_{n}^{\prime }\right)$ и $B\left(x_{1}^{\prime \prime }, x_{2}^{\prime \prime }, \ldots , x_{n}^{\prime \prime }\right)$ — две различные точки, $p$ и $q$ — некоторые числа. Найти координаты точки $C$ , делящей отрезок $AB$ в отношении $p: q$ .

?

Задача 33.16

Пусть точки $A, B, C$ в $n$ -мерном пространстве не лежат на одной прямой. Доказать, что медианы треугольника $ABC$ проходят через одну точку и делятся в этой точке в отношении $2: 1$ , считая от вершины.

?

Задача 33.17

Точка $M$ принадлежит гиперплоскости, заданной уравнением $a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} + a_{0} = 0$ , а вектор $\overline{MM_{1}}$ имеет координатный столбец $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}\right)^{T}$ . Доказать, что координаты точки $M_{1}$ удовлетворяют неравенству $a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} + a_{0} > 0$ .

?

Задача 33.18

Составить параметрические уравнения плоскости, заданной системой линейных уравнений:

?

(1)

$\mathbf{A}_{27} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{46}$ . $\mathbf{A}_{27} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{46} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{10} \mathrm{x} = \mathbf{c}_{29}$ . $\mathbf{A}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{29} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{198} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{123}$ . $\mathbf{A}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 8 & 6 \\ -4 & 10 & 6 \\ 4 & -8 & -4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{123} = \left[\begin{smallmatrix} 12 \\ 12 \\ -8 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{249} \mathrm{x} = \mathbf{c}_{124}$ . $\mathbf{A}_{249} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 6 & -2 & 4 \\ -15 & 5 & 10 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{124} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 6 \\ -15 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{267} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{66}$ . $\mathbf{A}_{267} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{A}_{517} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{125}$ . $\mathbf{A}_{517} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & 6 & -5 \\ 8 & -1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{125} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 3 \\ 13 \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{A}_{403} \mathrm{x} = \mathbf{c}_{208}$ . $\mathbf{A}_{403} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & 7 & 5 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 5 & 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{208} = \left[\begin{smallmatrix} -4 \\ -2 \\ -1 \\ 8 \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

$\mathbf{A}_{586} \mathbf{x} = \mathbf{c}_{123}$ . $\mathbf{A}_{586} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 3 & 12 & 6 & -9 \\ -3 & 3 & 12 & 6 & -9 \\ 2 & -2 & -8 & -4 & 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{123} = \left[\begin{smallmatrix} 12 \\ 12 \\ -8 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 33.19

Составить систему уравнений, определяющую данную плоскость:

?

(1)

$\mathbf{x} = \mathbf{c}_{28} + t\mathbf{c}_{33}$ . $\mathbf{c}_{28} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{x} = \mathbf{c}_{83} + t_{1} \mathbf{c}_{84} + t_{2} \mathbf{c}_{66}$ . $\mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{84} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{x} = \mathbf{c}_{147} + t\mathbf{c}_{146}$ . $\mathbf{c}_{147} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{146} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{x} = \mathbf{c}_{168} + t\mathbf{c}_{207}$ . $\mathbf{c}_{168} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{x} = \mathbf{c}_{199} + t_{1} \mathbf{c}_{166} + t_{2} \mathbf{c}_{200}$ . $\mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 8 \\ -6 \\ 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 33.20

Составить уравнение гиперплоскости в четырехмерном пространстве, проходящей через точку $M(- 1, 2, 3, 5)$ параллельно гиперплоскости $2x_{1} + 3x_{2} - 4x_{3} + x_{4} + 5 = 0$ .

?

Задача 33.21

Составить уравнение прямой в четырехмерном пространстве, проходящей через точку $M(- 1, 3, 4, 0)$ параллельно прямой $x_{1} = 2 + 3t, x_{2} = - 1 + t, x_{3} = 7t, x_{4} = 2 - t$ .

?

Задача 33.22

(1)(2)(3)

Составить уравнения трехмерной плоскости в пятимерном пространстве, проходящей:

?

(1)

через точку $M(0, 1, - 1, 3, 4)$ параллельно трехмерной плоскости $x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = x_{4}, x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2x_{5}$

(2)

через точки $M_{1}(1, 3, 1, 0, 1)$ и $M_{2}(0, 0, 1, 1, - 1)$ параллельно двумерной плоскости $x_{1} + x_{2} - 1 = 0, x_{1} - x_{3} + x_{4} = 0$ , $x_{1} + x_{3} - x_{5} + 1 = 0$

(3)

через точки $M_{1}(- 1, 2, 0, 0, 4), M_{2}(1, 1, 1, 1, 1), M_{3}(0, 1$ , $3, - 1, 1)$ параллельно прямой $x_{1} = 1 + 2t, x_{2} = 3 - t, x_{3} = 4, x_{4} = 1 + t, x_{5} = - t$ .

Задача 33.23

(1)(2)

Пусть 1 и $\mathrm{m}$ — две плоскости в аффинном пространстве с направляющими подпространствами $\mathcal{L}$ и $\mathcal{M}$ соответственно, проходящие: 1 — через точку $A, \mathrm{~ m}$ — через точку $B$ . Доказать, что:

?

(1)

пересечение 1cm непусто тогда и только тогда, когда вектор $\overrightarrow {AB}$ принадлежит подпространству $\mathcal{L} + \mathcal{M}$

(2)

если плоскости 1 и $\mathrm{m}$ пересекаются, то пересечение $1\cap \mathrm{m}$ представляет собой плоскость с направляющим подпространством $\mathcal{L} \cap \mathcal{M}$ .

Задача 33.24

Пусть две плоскости размерностей $k_{1}$ и $k_{2}$ в $n$ мерном аффинном пространстве имеют общую точку, и $k_{1} + k_{2} > n$ . Доказать, что размерность пересечения данных плоскостей не меньше, чем $k_{1} + k_{2} - n$ . Дать формулировки этого утверждения для всех возможных случаев при $n = 3$ и $n = 4$ .

?

Задача 33.25

Пусть плоскость 1 с направляющим подпространством $\mathcal{L}$ проходит через точку $A$ , плоскость $\mathrm{m}$ с направляющим подпространством $\mathcal{M}$ проходит через точку $B$ , не совпадающую с $A$ . Доказать, что существует и единственна плоскость наименьшей размерности, содержащая как l, так и m; при этом направляющим подпространством искомой плоскости является сумма $\mathcal{L} + \mathcal{M} + \mathcal{P}$ , где $\mathcal{P}$ — подпространство, натянутое на вектор $\overrightarrow {AB}$ .

?

Задача 33.26

Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное утверждению в задаче 33. 25, для трех плоскостей.

?

Задача 33.27

(1)(2)(3)

Составить уравнения заданной плоскости в четырехмерном пространстве:

?

(1)

двумерной плоскости, содержащей точку $A(- 1, 0, 2, 3)$ и прямую $x_{1} = 1 - t, x_{2} = 3 + 2t, x_{3} = 1 + t, x_{4} = 3t$

(2)

двумерной плоскости, содержащей параллельные прямые $x_{1} = - 1 + 2t, x_{2} = t, x_{3} = 0, x_{4} = - 5 - t$ и $x_{1} = 3 + 2t$ , $x_{2} = - 4 + t, x_{3} = 1, x_{4} = - t$

(3)

трехмерной плоскости, содержащей точку $A(- 3, 0, 1, 0)$ и двумерную плоскость $x_{1} - x_{2} + x_{3} - 1 = 0, x_{1} + x_{2} + x_{4} = 0$ .

Задача 33.28

(1)(2)(3)

Составить уравнения плоскости наименьшей размерности, содержащей две данные плоскости пятимерного пространства:

?

(1)

прямые $x_{1} = 1 - t, x_{2} = 2 + 3t, x_{3} = 4t, x_{4} = - t, x_{5} = 3$ и $x_{1} = 2 + t, x_{2} = 2t, x_{3} = 1 + t, x_{4} = - 1 + 2t, x_{5} = 3 - t$

(2)

прямую $x_{1} = 2 + t, x_{2} = - t, x_{3} = - 1 + t, x_{4} = 1 + 2t$ , $x_{5} = - 3t$ и двумерную плоскость $x_{1} = t_{1} + 3t_{2}, x_{2} = - 1 + 4t_{1} - - t_{2}, x_{3} = - 3 + t_{1} + t_{2}, x_{4} = 4 - t_{1} + t_{2}, x_{5} = - 2 + t_{2}$

(3)

двумерные плоскости $x_{1} - x_{3} + x_{4} - 1 = 0, x_{1} + 2x_{4} - - x_{5} - 2 = 0, x_{2} + x_{3} - 2 = 0$ и $x_{1} = x_{2} = x_{3} = 1$ .

Задача 33.29

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что если две плоскости в $n$ -мерном пространстве абсолютно скрещиваются, то сумма их размерностей не превосходит $n - 1$ .

(2)

Доказать, что если две плоскости в $n$ -мерном пространстве скрещиваются параллельно $r$ -мерной плоскости, то сумма их размерностей не превосходит $n + r - 1$ .

Задача 33.30

(1)(2)(3)(4)

Исследовать взаимное расположение прямой и двумерной плоскости в четырехмерном пространстве, если двумерная плоскость задается уравнениями $x_{1} - 2x_{3} + 1 = 0, x_{1} + 2x_{2} - 3x_{3} + x_{4} - 2 = 0$ , а прямая задана параметрически:

?

(1)

$x_{1} = 3 + 2t, \quad x_{2} = 5, \quad x_{3} = 2 + t, \quad x_{4} = t$

(2)

$x_{1} = - 2 + 3t, \quad x_{2} = 3 - t, \quad x_{3} = - 1 + 2t, \quad x_{4} = - 4 + 4t$

(3)

$x_{1} = 6 + t, \quad x_{2} = 5 - t, \quad x_{3} = 1 + 2t, \quad x_{4} = 1 + 3t$

(4)

$x_{1} = - 1 + 2t, \quad x_{2} = 1 + t, \quad x_{3} = t, \quad x_{4} = 1 - t$ .

Задача 33.31

Исследовать взаимное расположение двух двумерных плоскостей в пятимерном пространстве, если первая плоскость задается уравнениями $x_{1} = x_{2} = 1, x_{3} + x_{4} = x_{5}$ , а вторая — параметрическими уравнениями:

?

(1)

$x_{1} = 2 + t_{1}, \quad x_{2} = 3, \quad x_{3} = 3 + 2t_{2}, \quad x_{4} = 4, \quad x_{5} = 5 + t_{1} + t_{2}$

(2)

$x_{1} = - t_{1}, \quad x_{2} = 3 + 2t_{1}, \quad x_{3} = 2 + t_{1}, \quad x_{4} = 1 + t_{1} - t_{2}$ , $x_{5} = 2 + t_{2}$

(3)

$x_{1} = 2 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{2} = 3 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{3} = 3 + 2t_{1} + t_{2}$ , $x_{4} = 4 + t_{1}, \quad x_{5} = 5 - 2t_{2}$

(4)

$x_{1} = t_{1} - t_{2}, \quad x_{2} = 1, \quad x_{3} = t_{1}, \quad x_{4} = 1 - t_{2}, \quad x_{5} = 3 - - t_{1} + t_{2}$

(5)

$x_{1} = 1, \quad x_{2} = 4, \quad x_{3} = 1 + t_{1} + t_{2}, \quad x_{4} = 2 + 2t_{1} - 2t_{2}$ , $x_{5} = - 5 + 3t_{1} - t_{2}$

(6)

$x_{1} = 1, \quad x_{2} = 1, \quad x_{3} = 2 + 2t_{1} + t_{2}, \quad x_{4} = - 3 + t_{1} - 3t_{2}$ , $x_{5} = - 1 + 3t_{1} - 2t_{2}$ .

Задача 33.32

Доказать, что две прямые в четырехмерном пространстве, заданные уравнениями $\mathbf{x} = \mathbf{c}_{209} + t\mathbf{c}_{197}$ и $\mathbf{x} = \mathbf{c}_{210} + t\mathbf{c}_{201}$ , имеют единственную общую точку. Найти координаты этой точки и составить уравнения двумерной плоскости, содержащей данные прямые. $\mathbf{c}_{209} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 1 \\ 9 \\ 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{210} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -7 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

?

Задача 33.33

Точками аффинного пространства являются многочлены степени не выше 4, векторами являются те же многочлены: $\overline{p_{1}(t) p_{2}(t)} = p_{2}(t) - p_{1}(t)$ . Первая прямая содержит точки $2t^{4} - 2t$ и $t^{4} + t^{3} - t$ , вторая прямая содержит точки $5 + 10t^{2} + 2t^{3}$ и $- 1 - 2t^{2} + 2t^{3}$ . Доказать, что эти прямые имеют единственную общую точку, и найти эту точку (многочлен).

?

Задача 33.34

Составить параметрические уравнения прямой в четырехмерном пространстве, содержащей точку с координатным столбцом $\mathbf{c}_{211}$ и пересекающей прямые $\mathbf{x} = \mathbf{c}_{212} + t\mathbf{c}_{202}$ и $\mathbf{x} = \mathbf{c}_{213} + t\mathbf{c}_{210}$ ; найти координаты точек пересечения. $\mathbf{c}_{211} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{212} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \\ 8 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{213} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 17 \\ -5 \\ 18 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{210} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \\ 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

?

Задача 33.35

Система точек $A_{1}, \ldots , A_{k}, B_{1}, \ldots , B_{j}$ независима. Доказать, что существуют непересекающцеся плоскости 1 и $\mathrm{m}$ размерностей $k - 1$ и $j - 1$ соответственно такие, что плоскость 1 содержит точки $A_{1}, \ldots , A_{k}$ , а плоскость $\mathrm{m}$ содержит точки $B_{1}, \ldots , B_{j}$ .

?

Задача 33.36

(1)(2)

Пусть $\mathrm{l}$ и $\mathrm{m}$ — плоскости аффинного пространства такие, что пространство векторов аффинного пространства является прямой суммой направляющих подпространств $\mathcal{L}$ и $\mathcal{M}$ этих плоскостей. Доказать, что:

?

(1)

проекция любой точки аффинного пространства на плоскость $\mathrm{l}$ параллельно плоскости $\mathrm{m}$ определена однозначно

(2)

проекция любого вектора $\overrightarrow {AB}$ на плоскость $\mathrm{l}$ параллельно плоскости $\mathrm{m}$ является проекцией этого вектора на подпространство $\mathcal{L}$ параллельно подпространству $\mathcal{M}$ .

Задача 33.37

(1)(2)

Найти координаты проекции точки $M(5, 0, - 3, 4)$ четырехмерного пространства:

?

(1)

на гиперплоскость $x_{1} + x_{2} - x_{3} + 2x_{4} = 2$ параллельно прямой $x_{1} = 1 - t, x_{2} = 3 + 4t, x_{3} = 3t, x_{4} = 1 + t$

(2)

на двумерную плоскость $x_{1} - x_{2} + x_{3} + 1 = 0, x_{1} + x_{2} = x_{4}$ параллельно двумерной плоскости $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, x_{1} - - 2x_{4} - 3 = 0$ .

Задача 33.38

Является ли выпуклым множество точек в $n$ -мерном аффинном пространстве $(n = 1, 2, \ldots )$ , координаты $x_{1}, \ldots , x_{n}$ которых в декартовой системе координат удовлетворяют условию:

?

(1)

$a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} + a_{0} = 0$

(2)

$a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} + a_{0} \geqslant 0$

(3)

$\lambda_{1} x_{1}^{2} + \ldots + \lambda_{n} x_{n}^{2} \leqslant 1$ , где $\lambda_{i} \geqslant 0, \quad i = 1, \ldots , n$

(4)

$\lambda_{1} x_{1}^{2} + \ldots + \lambda_{n} x_{n}^{2} \geqslant 1$ , где $\lambda_{i} \geqslant 0, \quad i = 1, \ldots , n$

(5)

$x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, \ldots , x_{n} \geqslant 0$ ; 1

(6)

$x_{1} x_{2} \ldots x_{n} \geqslant 0$ ?

Задача 33.39

Доказать выпуклость $k$ -мерного параллелепипеда.

?

Задача 33.40

Доказать, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством.

?

Задача 33.41

Найти проекцию четырехмерного симплекса, ограниченного гиперплоскостями $x_{1} = 0, x_{2} = 0, x_{3} = 0, x_{4} = 0$ и $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1$ , на гиперплоскость $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0$ параллельно прямой $x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4}$ .

?

Задача 33.42

Доказать, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, называемой центром параллелепипеда.

?

Задача 33.43

(1)(2)

Для $k$ -мерного параллелепипеда найти число:

?

(1)

различных $p$ -мерных граней

(2)

различных диагоналей.

Задача 33.44

Определить форму и вершины сечений четырехмерного параллелепипеда $- 1 \leqslant x_{i} \leqslant 1, i = 1, 2, 3, 4$ , гиперплоскостью $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0$ .

?

Аффинные пространства