Геометрические свойства кривых второго порядка и их канонические уравнения

$x^{2} + y^{2} + 4y = 0$

$x^{2} + y^{2} + 5x - 5y + 12 = 0$

$2x^{2} + 2y^{2} - 12x + y + 3 = 0$

$7x^{2} + 7y^{2} - 2x - 7y - 1 = 0$.

не имела общих точек с окружностью $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

имела с этой окружностью две общие точки

касалась этой окружности.

Составить уравнение касательной, проведенной к окружности $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ в точке $M(- 3, 1)$.

Составить уравнения касательных к окружности $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$, проходящих через точку $M(1, 4)$.

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 18, (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} = 2$

$(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 45, (x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 5$.

$x^{2} + (y + 2)^{2} \leqslant 4$

$\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{3}{2}\right)^{2} > 25$

$x^{2} + y^{2} + 3x < 0, y < 0$

$- 1 \leqslant x^{2} + y^{2} - 2x + 2y \leqslant 7$

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} \leqslant 1$

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} > 1$

$1\leqslant \frac{x^{2}}{9} + y^{2} \leqslant 9$

$4x^{2} - 4x + 9y^{2} + 6y + 1 < 0$

$\sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + 1)^{2} + y^{2}} < 6$

$\sqrt{\left(x^{2} + (y - 1)^{2}\right. } + \sqrt{x^{2} + (y + 1)^{2}} > 4$

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} \leqslant 1$

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} \geqslant 1$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} \leqslant 2$

$\left|\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{36}\right| < 1$

$\left|3x^{2} - 9y^{2}\right| > 1$

$\sqrt{(x - 2)^{2} + y^{2}} - \sqrt{(x + 2)^{2} + y^{2}} < 2$

$y^{2} \leqslant 4x$

$y^{2} > 6x$

$x \leqslant y^{2} \leqslant 3x$

$- 2x - x^{2} < y^{2} < - 2x$.

$x = 3\cos t, y = 3\sin t, 0 \leqslant t < 2\pi$

$x = 1 + 2\cos t, y = 2 + 2\sin t, 0 \leqslant t < 2\pi$

$x = \cos t, y = \sin t, 0 \leqslant t < \pi$?

$r = 1$

$r = \frac{1}{1 - 2\cos \varphi }$

$r = \frac{3}{2 - \cos \varphi }$

$r = \frac{1}{\sin^{2}(\varphi / 2)}$.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a > b > 0$

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, b > a > 0$

$9x^{2} + 25y^{2} = 225$

$4x^{2} + y^{2} = 1$

$A(1, 1 / 6)$

$A(1 / 13, 1 / 13)$

$A(1 / 6, - 1 / 24)$

расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10

хорда, соединяющая две вершины эллипса, имеет длину 5 и наклонена к его большой оси под углом $\arcsin (3 / 5)$

фокусами эллипса являются точки $(\pm 1, 0)$, а точка $(\sqrt{3}, \sqrt{3} / 2)$ принадлежит эллипсу

фокусами эллипса являются точки $(\pm 2, 0)$, а директрисами являются прямые $x = \pm 18$

расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины, лежащей на оси $Oy$, равно 8

треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой оси правильный, а диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7

отрезок оси $Ox$ между фокусом $F_{1}$ и дальней вершиной $A$ большой оси делится вторым фокусом $F_{2}$ пополам, а расстояние от $F_{2}$ до прямой, проходящей через $A$ и вершину малой оси, равно $1 / \sqrt{17}$

директрисами эллипса являются прямые $x = \pm 4$, а четырехугольник с вершинами в фокусах и концах малой оси квадрат

эксцентриситет эллипса равен $\sqrt{7} / 4$, а четырехугольник, вершинами которого являются вершины эллипса, описан около окружности радиуса 4, 8.

расстояние между фокусами равно среднему арифметическому длин осей

отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси делится вторым фокусом в отношении $2: 1$

расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 1, 5 раза больше расстояния до вершины малой оси

отрезок между фокусами виден из конца малой оси под прямым углом

большая ось видна из конца малой оси под углом $120^{\circ }$

отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси виден из конца малой оси под прямым углом

стороны квадрата, вписанного в эллипс, проходят через фокусы эллипса.

под прямым углом

под углом $60^{\circ }$

под наибольшим углом.

с общими фокусами $(\pm c, 0)$

с общими директрисами $x = \pm d$ и общим центром в начале координат.

точки $F_{1}(5, 1)$ и $F_{2}(- 1, 1)$ являются фокусами, а прямая $x = 31 / 3$ — одной из директрис

точка $F(- 6, 2)$ является одним из фокусов, точка $A(2, 2)$ — концом большой оси, эксцентриситет равен $2 / 3$

оси эллипса параллельны осям координат, точки $A(4, 0)$ и $B(0, 4)$ принадлежат эллипсу, а точка $B$ находится на расстоянии $3\sqrt{2}$ от одного из фокусов и на расстоянии 6 от соответствующей директрисы.

Доказать, что величина $\frac{1}{\left|OA\right|^{2}} + \frac{1}{\left|OB\right|^{2}}$ постоянна для всех возможных пар точек $A$ и $B$.

Найти наибольшее и наименьшее значения длины отрезка $AB$.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

$y^{2} - x^{2} = 1$

$xy = 1$

$xy = - 2$.

$A(1 / 8, - 1 / 8)$

$A(1, 1)$

$A(1, 7)$

$A(- 1 / 2, 0)$.

расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12

длина вещественной оси равна 1, а точка $(1, 3)$ принадлежит гиперболе

директрисами гиперболы являются прямые $x = \pm \sqrt{5 / 6}$, а точка $(- 9, 4)$ принадлежит гиперболе

длина мнимой полуоси равна 1, а вершина гиперболы делит отрезок между фокусами в отношении $4: 1$

эксцентриситет гиперболы равен $7 / 5$, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2

точка $(7, - 2\sqrt{3})$, принадлежащая гиперболе, удалена от левого фокуса на расстояние $4\sqrt{7}$

угол между асимптотами, содержащий фокус, равен $60^{\circ }$, a расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно $\frac{3}{2}(2 - \sqrt{3})$

точка $(- 5 / 4, 3 / 2)$ принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые $y = \pm 2x$

точка $(- 1, 3)$ принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые $y = \pm 2x$.

ее полуоси равны (равносторонняя гипербола)

угол между асимптотами, содержатций фокус, равен $120^{\circ }$

асимптотами гиперболы являются прямые $y = \pm 3x$.

расстояния от точки $M(5, - 4)$, принадлежащей гиперболе, до директрис относятся как $2: 1$

сумма расстояний от точки $N(- 5, - 4)$ до асимптот гиперболы равна 20 / 3.

под прямым углом

под углом $60^{\circ }$

под наибольшим углом.

с общими фокусами $(\pm c, 0)$

с общими директрисами $x = \pm d$ и общим центром в начале координат

с общими асимптотами $y = \pm kx$.

точки $F_{1}(3, - 2)$ и $F_{2}(5, - 2)$ являются фокусами, а прямая $x = 7 / 2$ — одной из директрис

точка $F(1, 3)$ является одним из фокусов, точка $A(- 4, 3)$ — вершиной, а эксцентриситет равен $3 / 2$

точка $F(0, 0)$ является одним из фокусов, а прямые $x\pm y + 2 = 0$ — асимптотами.

произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот

площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны лежат на асимптотах.

$y^{2} = 2px, \quad p > 0$

$y^{2} = - px, \quad p > 0$

$y^{2} = 6x$

$y^{2} = - 3x$

$y = x^{2}$

$y = - \sqrt{3} x^{2}$.

$(5, - 7)$

$(8, 9)$

$(5 / 2, - 5)$?

точка $(5, - 5)$ принадлежит параболе

расстояние от фокуса до директрисы равно 12

длина хорды, проходящей через фокус под углом $45^{\circ }$ к оси параболы, равна 18.

прямая, проходящая через точку $M$ и фокус параболы, образует с осью $Ox$ угол $60^{\circ }$

площадь треугольника с вершинами в искомой точке $M$, фокусе параболы и точке пересечения оси параболы с директрисой равна 5

расстояние от точки $M$ до вершины параболы равно расстоянию от $M$ до фокуса

расстояния от точки $M$ до вершины параболы и до фокуса параболы относятся как $8: 7$.

с положительным направлением оси $Ox$

с отрицательным направлением оси $Ox$

с положительным направлением оси $Oy$

с отрицательным направлением оси $Oy$.

имеющих общий фокус $(0, 0)$ и симметричных относительно оси $Ox$

имеющих общую директрису $x = 0$ и симметричных относительно оси $Ox$.

точка $F(7, 0)$ является фокусом, а прямая $x = 1$ — директрисой

точка $F(7, 0)$ является фокусом, а прямая $x = 8$ — директрисой

точка $F(0, 1)$ является фокусом, парабола симметрична относительно оси $Oy$ и касается оси $Ox$

ось параболы параллельна оси $Oy$, фокус лежит на оси $Ox$, парабола проходит через начало координат и высекает на оси $Ox$ отрезок длины 6.