Условия совместности системы линейных уравнений (19.13-19.20)

Доказать, что если столбцы основной матрицы линсйно независимы, то система линейных уравнений имеет не более одного решения.

Доказать, что если строки основной матрицы линейно независимы, то система уравнений совместна при любом столбце свободных членов.

Доказать следующее утверждение: если система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, то строки ее основной матрицы линейно независимы.

Доказать, что имеет место одна и только одна из двух возможностей: либо система линейных уравнений $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система $A^{T} \mathbf{y} = 0$ имеет ненулевое решение (альтер — натива Фредгольла).

Сформулировать условия (и доказать их необходимость и достаточность), которым должна удовлетворять основная матрица для того, чтобы число решений системы линейных уравнений, в зависимости от столбца $b$ свободных членов, равнялось:

Система линейных уравнений задана своей расширенной матрицей. Проверить совместность этой системы, пользуясь теоремой Фредгольма и результатом задачи 18. 9 для соответствующей сопряженной системы уравнений:

Система уравнений задана своей расширенной матрицей, содержащей параметр. Применяя теорему Фредгольма, найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее:

Система уравнений задана своей расширенной матрицей $\left\| \mathbf{A}_{644} \mid \mathbf{c}_{282}\right\|$, зависящей от параметров $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}, \mu$. Опи — сать множество значений параметров, при которых система совместна, и решить ее. $\mathbf{A}_{644} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & \ldots & \lambda_n \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 & \ldots & \lambda_n^2 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ldots \\ \lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & \lambda_3^{n-1} & \ldots & \lambda_n^{n-1} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{282} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mu \\ \mu^2 \\ \vdots \\ \mu^{n-1} \end{smallmatrix}\right]$.