§ 19

Системы линейных уравнений общего вида

[49/82%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
19.1 · Системы линейных неоднородных уравнений (19.1-19.12)[12/92%]
Задача 19.1

Решить систему линейных уравнений:

?
(1)

2x−3y=42x - 3y = 4

(2)

x1+x2+2x3+3x4=1x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + 3x_{4} = 1

(3)

2x+y+z=43x+z=42x + y + z = 4 3x + z = 4

(4)

(2+1)x+(2−1)y−2z=1+2(\sqrt{2} + 1) x + (\sqrt{2} - 1) y - \sqrt{2} z = 1 + \sqrt{2}, x+(3−22)y+(2−2)z=1x + (3 - 2\sqrt{2}) y + (\sqrt{2} - 2) z = 1

(5)

x+2y+3z=−4x + 2y + 3z = - 4, 2x+3y+4z=12x + 3y + 4z = 1, 3x+4y+5z=63x + 4y + 5z = 6

(6)

x1+2x2+x3=2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2, 2x1+3x2+x4=12x_{1} + 3x_{2} + x_{4} = 1

(7)

5x1+4x2+x3+3x4=−55x_{1} + 4x_{2} + x_{3} + 3x_{4} = - 5, 2x1+x2+x3+4x4=22x_{1} + x_{2} + x_{3} + 4x_{4} = 2, 3x1+2x2+x3+x4=−33x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 3, x1+3x2−2x3+2x4=−4x_{1} + 3x_{2} - 2x_{3} + 2x_{4} = - 4

(8)

3x1+x2+x3+2x4=−23x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2x_{4} = - 2, 5x1+2x3+5x4=−26x1+x2+5x3+7x4=−42x1+x2+2x3+2x4=−25x_{1} + 2x_{3} + 5x_{4} = - 2 6x_{1} + x_{2} + 5x_{3} + 7x_{4} = - 4 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + 2x_{4} = - 2

(9)

x1+x3+x4+x5=6x_{1} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 6, x2+x3+x4+x5=8x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 8

(10)

6x1+3x2+14x3−2x4+x5=26x_{1} + 3x_{2} + 14x_{3} - 2x_{4} + x_{5} = 2, 20x1+5x2+10x3+4x4+11x5=2020x_{1} + 5x_{2} + 10x_{3} + 4x_{4} + 11x_{5} = 20, 13x1+4x2+12x3+x4+6x5=1113x_{1} + 4x_{2} + 12x_{3} + x_{4} + 6x_{5} = 11, 4x1+7x2+46x3−12x4−7x5=−124x_{1} + 7x_{2} + 46x_{3} - 12x_{4} - 7x_{5} = - 12, x1−2x2−16x3+5x4+4x5=7x_{1} - 2x_{2} - 16x_{3} + 5x_{4} + 4x_{5} = 7.

Задача 19.2

Доказать, что:

?
(1)

разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений есть решение соответствующей однородной системы

(2)

сумма любого решения неоднородной системы линейных уравнений и любого решения соответствующей однородной системы есть также решение данной неоднородной системы.

Задача 19.3

На сколько единиц ранг основной матрицы системы может отличаться от ранга расширенной?

?
Задача 19.4

Пусть система mm линейных уравнений с nn неизвестными несовместна, а ее основная матрица имеет ранг nn. K какому простейшему виду можно привести эту систему уравнений, применяя к строкам расширенной матрицы алгоритм Гаусса?

?
Задача 19.5

Сформулировать необходимое и достаточное условие того, что система mm линейных уравнений с nn неизвестными имеет единственное решение.

?
Задача 19.6

Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице. Решить систему или установить ее несовместность.

?
(1)

∥A232∣c64∥\left\| \mathbf{A}_{232} \mid \mathbf{c}_{64}\right\|. A232=[123234111],c64=[−112]\mathbf{A}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{64} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∥A232∣c65∥\left\| \mathbf{A}_{232} \mid \mathbf{c}_{65}\right\|. A232=[123234111],c65=[−415]\mathbf{A}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{65} = \left[\begin{smallmatrix} -4 \\ 1 \\ 5 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∥A238∣c66∥\left\| \mathbf{A}_{238} \mid \mathbf{c}_{66}\right\|. A238=[−310−10−74−4−2−33],c66=[111]\mathbf{A}_{238} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 10 & -10 \\ -7 & 4 & -4 \\ -2 & -3 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

∥A239∣c67∥\left\| \mathbf{A}_{239} \mid \mathbf{c}_{67}\right\|. A239=[012−10−2−220],c67=[012]\mathbf{A}_{239} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{67} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(5)

∥A241∣c68∥\left\| \mathbf{A}_{241} \mid \mathbf{c}_{68}\right\|. A241=[6−115−554−99],c68=[−101]\mathbf{A}_{241} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & -1 & 1 \\ 5 & -5 & 5 \\ 4 & -9 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{68} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

∥A233∣c70∥\left\| \mathbf{A}_{233} \mid \mathbf{c}_{70}\right\|. A233=[1−123−362−24],c70=[396]\mathbf{A}_{233} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{70} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 9 \\ 6 \end{smallmatrix}\right].

(7)

∥A206∣c55∥\left\| \mathbf{A}_{206} \mid \mathbf{c}_{55}\right\|. A206=[−111−521176−26−21],c55=[−4109]\mathbf{A}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -5 & 21 & 17 \\ 6 & -26 & -21 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{55} = \left[\begin{smallmatrix} -4 \\ 10 \\ 9 \end{smallmatrix}\right].

(8)

∥A206∣c51∥\left\| \mathbf{A}_{206} \mid \mathbf{c}_{51}\right\|. A206=[−111−521176−26−21],c51=[11−1]\mathbf{A}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -5 & 21 & 17 \\ 6 & -26 & -21 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{51} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right].

(9)

∥A206T∣c70∥\left\| \mathbf{A}_{206}^{T} \mid \mathbf{c}_{70}\right\|. A206=[−111−521176−26−21],c70=[396]\mathbf{A}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -5 & 21 & 17 \\ 6 & -26 & -21 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{70} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 9 \\ 6 \end{smallmatrix}\right].

(10)

∥A400∣c162∥\left\| \mathbf{A}_{400} \mid \mathbf{c}_{162}\right\|. A400=[22−111−52−12−122],c162=[9036]\mathbf{A}_{400} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -5 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{162} = \left[\begin{smallmatrix} 9 \\ 0 \\ 3 \\ 6 \end{smallmatrix}\right].

(11)

∥A408∣c243∥\left\| \mathbf{A}_{408} \mid \mathbf{c}_{243}\right\|. A408=[242−1−2−115381−2274],c243=[2−1233]\mathbf{A}_{408} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 5 & 3 \\ 8 & 1 & -2 \\ 2 & 7 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{243} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(12)

∥A585T∣c240∥\left\| \mathbf{A}_{585}^{T} \mid \mathbf{c}_{240}\right\|. A585=[1−124−239−142136−911],c240=[2−597−4]\mathbf{A}_{585} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 & -2 \\ 3 & 9 & -14 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & -9 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{240} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -5 \\ 9 \\ 7 \\ -4 \end{smallmatrix}\right].

(13)

∥A581T∣c239∥\left\| \mathbf{A}_{581}^{T} \mid \mathbf{c}_{239}\right\|. A581=[135791−23−45211122522],c239=[−12−34−5]\mathbf{A}_{581} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{239} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \\ 4 \\ -5 \end{smallmatrix}\right].

(14)

∥A145T∣c14∥\left\| \mathbf{A}_{145}^{T} \mid \mathbf{c}_{14}\right\|. A145=[12342345],c14=[7−1]\mathbf{A}_{145} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{14} = \left[\begin{smallmatrix} 7 \\ -1 \end{smallmatrix}\right].

(15)

∥A506∣c13∥\left\| \mathbf{A}_{506} \mid \mathbf{c}_{13}\right\|. A506=[3−4712−352],c13=[12]\mathbf{A}_{506} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -4 & 7 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(16)

∥A149T∣c15∥\left\| \mathbf{A}_{149}^{T} \mid \mathbf{c}_{15}\right\|. A149=[−20100−403],c15=[−23]\mathbf{A}_{149} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & -4 \\ 0 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{15} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(17)

∥A501∣c16∥\left\| \mathbf{A}_{501} \mid \mathbf{c}_{16}\right\|. A501=[187−151−5−611],c16=[17−9]\mathbf{A}_{501} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 8 & 7 & -15 \\ 1 & -5 & -6 & 11 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 17 \\ -9 \end{smallmatrix}\right].

(18)

∥A502∣c17∥\left\| \mathbf{A}_{502} \mid \mathbf{c}_{17}\right\|. A502=[117−31−1−11],c17=[20]\mathbf{A}_{502} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 7 & -3 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(19)

∥A510∣c73∥\left\| \mathbf{A}_{510} \mid \mathbf{c}_{73}\right\|. A510=[1−5−61151−43187−15],c73=[−9717]\mathbf{A}_{510} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -5 & -6 & 11 \\ 5 & 1 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 7 & -15 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{73} = \left[\begin{smallmatrix} -9 \\ 7 \\ 17 \end{smallmatrix}\right].

(20)

∥A511∣c74∥\left\| \mathbf{A}_{511} \mid \mathbf{c}_{74}\right\|. A511=[12−7−3−546329524−7−1],c74=[−37141]\mathbf{A}_{511} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & -7 & -3 \\ -5 & 4 & 63 & 29 \\ 5 & 24 & -7 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{74} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 71 \\ 41 \end{smallmatrix}\right].

(21)

∥A512∣c75∥\left\| \mathbf{A}_{512} \mid \mathbf{c}_{75}\right\|. A512=[2−120117−3−111−1],c75=[120]\mathbf{A}_{512} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 7 & -3 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{75} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(22)

∥A513∣c62∥\left\| \mathbf{A}_{513} \mid \mathbf{c}_{62}\right\|. A513=[−1−5−4−32−12−15381],c62=[−5−21]\mathbf{A}_{513} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & -5 & -4 & -3 \\ 2 & -1 & 2 & -1 \\ 5 & 3 & 8 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{62} = \left[\begin{smallmatrix} -5 \\ -2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(23)

∥A517∣c63∥\left\| \mathbf{A}_{517} \mid \mathbf{c}_{63}\right\|. A517=[31−242−36−58−123],c63=[12−2]\mathbf{A}_{517} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & 6 & -5 \\ 8 & -1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{63} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(24)

∥A399T∣c50∥\left\| \mathbf{A}_{399}^{T} \mid \mathbf{c}_{50}\right\|. A399=[1222125112−21],c50=[00−3]\mathbf{A}_{399} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{50} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{smallmatrix}\right].

(25)

∥A444T∣c167∥\left\| \mathbf{A}_{444}^{T} \mid \mathbf{c}_{167}\right\|. A444=[54132114321113−22],c167=[0−112]\mathbf{A}_{444} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{167} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(26)

∥A520∣c244∥\left\| \mathbf{A}_{520} \mid \mathbf{c}_{244}\right\|. A520=[1002010−300142341154712],c244=[−210−10−1430]\mathbf{A}_{520} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 11 \\ 5 & 4 & 7 & 12 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{244} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 10 \\ -10 \\ -14 \\ 30 \end{smallmatrix}\right].

(27)

∥A521∣c244∥\left\| \mathbf{A}_{521} \mid \mathbf{c}_{244}\right\|. A521=[1002010−300142341154726],c244=[−210−10−1430]\mathbf{A}_{521} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 11 \\ 5 & 4 & 7 & 26 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{244} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 10 \\ -10 \\ -14 \\ 30 \end{smallmatrix}\right].

(28)

∥A523∣c241∥\left\| \mathbf{A}_{523} \mid \mathbf{c}_{241}\right\|. A523=[3541493627−1814−156711−4],c241=[25531]\mathbf{A}_{523} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 & 4 & 1 \\ 4 & 9 & 3 & 6 \\ 2 & 7 & -1 & 8 \\ 1 & 4 & -1 & 5 \\ 6 & 7 & 11 & -4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{241} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(29)

∥A524∣c242∥\left\| \mathbf{A}_{524} \mid \mathbf{c}_{242}\right\|. A524=[2514−5−8−7−1354124221303],c242=[4−1123]\mathbf{A}_{524} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 & 1 & 4 \\ -5 & -8 & -7 & -1 \\ 3 & 5 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{242} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(30)

∥A587T∣c245∥\left\| \mathbf{A}_{587}^{T} \mid \mathbf{c}_{245}\right\|. A587=[1225323−526−43−48−91−41−3−122],c245=[−7−57−599]\mathbf{A}_{587} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & -5 & 26 & -4 \\ 3 & -4 & 8 & -9 & 1 \\ -4 & 1 & -3 & -12 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{245} = \left[\begin{smallmatrix} -7 \\ -5 \\ 7 \\ -59 \\ 9 \end{smallmatrix}\right].

(31)

∥A574∣c18∥\left\| \mathbf{A}_{574} \mid \mathbf{c}_{18}\right\|. A574=[2−13−244−2517],c18=[31]\mathbf{A}_{574} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 3 & -2 & 4 \\ 4 & -2 & 5 & 1 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(32)

∥A575∣c46∥\left\| \mathbf{A}_{575} \mid \mathbf{c}_{46}\right\|. A575=[1−111−221−1−11],c46=[2−4]\mathbf{A}_{575} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{46} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -4 \end{smallmatrix}\right].

(33)

∥A576∣c33∥\left\| \mathbf{A}_{576} \mid \mathbf{c}_{33}\right\|. A576=[12−1111−213−1],c33=[21]\mathbf{A}_{576} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(34)

∥A581∣c77∥\left\| \mathbf{A}_{581} \mid \mathbf{c}_{77}\right\|. A581=[135791−23−45211122522],c77=[0−11]\mathbf{A}_{581} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(35)

∥A581∣c76∥\left\| \mathbf{A}_{581} \mid \mathbf{c}_{76}\right\|. A581=[135791−23−45211122522],c76=[11−3]\mathbf{A}_{581} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{76} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{smallmatrix}\right].

(36)

∥A422T∣c72∥\left\| \mathbf{A}_{422}^{T} \mid \mathbf{c}_{72}\right\|. A422=[4192−11−15928−20135−342],c72=[−513]\mathbf{A}_{422} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & 9 \\ 2 & -11 & -15 \\ 9 & 2 & 8 \\ -20 & 13 & 5 \\ -3 & 4 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{72} = \left[\begin{smallmatrix} -5 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(37)

∥A577∣c78∥\left\| \mathbf{A}_{577} \mid \mathbf{c}_{78}\right\|. A577=[2−13−244−25172−1182],c78=[31−7]\mathbf{A}_{577} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 3 & -2 & 4 \\ 4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\ 2 & -1 & 1 & 8 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{78} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ -7 \end{smallmatrix}\right].

(38)

∥A584∣c79∥\left\| \mathbf{A}_{584} \mid \mathbf{c}_{79}\right\|. A584=[21−1−111−111−233−3−34],c79=[20−242]\mathbf{A}_{584} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & -3 & -3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{79} = \left[\begin{smallmatrix} 20 \\ -2 \\ 42 \end{smallmatrix}\right].

(39)

∥A578∣c80∥\left\| \mathbf{A}_{578} \mid \mathbf{c}_{80}\right\|. A578=[3111−26123−410136−7],c80=[2611]\mathbf{A}_{578} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & -2 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & -4 \\ 10 & 1 & 3 & 6 & -7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{80} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 6 \\ 11 \end{smallmatrix}\right].

(40)

∥A579∣c81∥\left\| \mathbf{A}_{579} \mid \mathbf{c}_{81}\right\|. A579=[111220111211021],c81=[633]\mathbf{A}_{579} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{81} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(41)

∥A580∣c82∥\left\| \mathbf{A}_{580} \mid \mathbf{c}_{82}\right\|. A580=[142211−22−2−11202−1],c82=[−57−3]\mathbf{A}_{580} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 4 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{82} = \left[\begin{smallmatrix} -5 \\ 7 \\ -3 \end{smallmatrix}\right].

(42)

∥A581∣c58∥\left\| \mathbf{A}_{581} \mid c_{58}\right\|. A581=[135791−23−45211122522]\mathbf{A}_{581} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 \end{smallmatrix}\right].

(43)

∥A522T∣c163∥\left\| \mathbf{A}_{522}^{T} \mid \mathbf{c}_{163}\right\|. A522=[10−2021−15−110002154−117],c163=[2−211]\mathbf{A}_{522} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 5 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \\ 4 & -1 & 1 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{163} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(44)

∥A523T∣c164∥\left\| \mathbf{A}_{523}^{T} \mid \mathbf{c}_{164}\right\|. A523=[3541493627−1814−156711−4],c164=[1211]\mathbf{A}_{523} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 & 4 & 1 \\ 4 & 9 & 3 & 6 \\ 2 & 7 & -1 & 8 \\ 1 & 4 & -1 & 5 \\ 6 & 7 & 11 & -4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{164} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(45)

∥A524T∣c165∥\left\| \mathbf{A}_{524}^{T} \mid \mathbf{c}_{165}\right\|. A524=[2514−5−8−7−1354124221303],c165=[01−12]\mathbf{A}_{524} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 & 1 & 4 \\ -5 & -8 & -7 & -1 \\ 3 & 5 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{165} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(46)

∥A588∣c166∥\left\| \mathbf{A}_{588} \mid \mathbf{c}_{166}\right\|. A588=[21−1−111−111−233−3−3445−5−57],c166=[1111]\mathbf{A}_{588} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & -3 & -3 & 4 \\ 4 & 5 & -5 & -5 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(47)

∥A520T∣c170∥\left\| \mathbf{A}_{520}^{T} \mid \mathbf{c}_{170}\right\|. A520=[1002010−300142341154712],c170=[−181714]\mathbf{A}_{520} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 11 \\ 5 & 4 & 7 & 12 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{170} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 8 \\ 17 \\ 14 \end{smallmatrix}\right].

(48)

∥A544∣c246∥\left\| \mathbf{A}_{544} \mid \mathbf{c}_{246}\right\|. A544=[1230023400111000001200034],c246=[01102]\mathbf{A}_{544} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{246} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(49)

∥A533∣c247∥\left\| \mathbf{A}_{533} \mid \mathbf{c}_{247}\right\|. A533=[1101001031040,1230400500000,1360800000,14900000,15],c247=[300003000100403]\mathbf{A}_{533} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 10 & 100 & 10^{3} & 10^{4} \\ 0,1 & 2 & 30 & 400 & 5000 \\ 0 & 0,1 & 3 & 60 & 800 \\ 0 & 0 & 0,1 & 4 & 90 \\ 0 & 0 & 0 & 0,1 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{247} = \left[\begin{smallmatrix} 30000 \\ 3000 \\ 100 \\ 40 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(50)

∥A591∣c271∥\left\| \mathbf{A}_{591} \mid \mathbf{c}_{271}\right\|. A591=[10−1010010−1011−1001−101−1001100−110],c271=[1−12−11]\mathbf{A}_{591} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{271} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 19.7

Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице, содержащей параметр. Найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее:

?
(1)

∥A223∣c85∥\left\| \mathbf{A}_{223} \mid \mathbf{c}_{85}\right\|. A223=[23137−6581],c85=[7−2λ]\mathbf{A}_{223} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 7 & -6 \\ 5 & 8 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{85} = \left[\begin{smallmatrix} 7 \\ -2 \\ \lambda \end{smallmatrix}\right].

(2)

∥A224∣c86∥\left\| \mathbf{A}_{224} \mid \mathbf{c}_{86}\right\|. A224=[−24−3447142],c86=[λ57]\mathbf{A}_{224} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 4 & -3 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda \\ 5 \\ 7 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∥A225∣c87∥\left\| \mathbf{A}_{225} \mid \mathbf{c}_{87}\right\|. A225=[2−111−43−1−32],c87=[2λ5]\mathbf{A}_{225} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & 3 \\ -1 & -3 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ \lambda \\ 5 \end{smallmatrix}\right].

(4)

∥A226∣c88∥\left\| \mathbf{A}_{226} \mid \mathbf{c}_{88}\right\|. A226=[322244577],c88=[56λ]\mathbf{A}_{226} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 5 & 7 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{88} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 6 \\ \lambda \end{smallmatrix}\right].

Задача 19.8

Описать все линейные комбинации решений данной неоднородной системы линейных уравнений, которые являются решениями этой же системы.

?
Задача 19.9

Описать все такие линейные комбинации решений данной линейной неоднородной системы уравнений, которые являются решениями соответствующей однородной системы.

?
Задача 19.10

Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений равен сумме столбцов ее основной матрицы. Указать какое — либо частное решение системы.

?
Задача 19.11

Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений совпадает с последним столбцом ее основной матрицы. Указать какое — либо частное решение системы.

?
Задача 19.12

Пусть x,y\mathbf{x}, \mathbf{y} — столбцы решений систем уравнений Ax=a,Ay=bA\mathbf{x} = \mathbf{a}, A\mathbf{y} = \mathbf{b} соответственно и α,β\alpha , \beta — некоторые числа. Какой системе уравнений удовлетворяет:

?
(1)

z=αx\mathbf{z} = \alpha \mathbf{x}

(2)

z=x+y\mathbf{z} = \mathbf{x} + \mathbf{y}

(3)

z=αx+βy\mathbf{z} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}

Подпараграф
19.2 · Условия совместности системы линейных уравнений (19.13-19.20)[8/63%]
Задача 19.13

Доказать, что если столбцы основной матрицы линсйно независимы, то система линейных уравнений имеет не более одного решения.

?
Задача 19.14

Доказать, что если строки основной матрицы линейно независимы, то система уравнений совместна при любом столбце свободных членов.

?
Задача 19.15

Доказать следующее утверждение: если система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, то строки ее основной матрицы линейно независимы.

?
Задача 19.16

Доказать, что имеет место одна и только одна из двух возможностей: либо система линейных уравнений Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система ATy=0A^{T} \mathbf{y} = 0 имеет ненулевое решение (альтер — натива Фредгольла).

?
Задача 19.17

Сформулировать условия (и доказать их необходимость и достаточность), которым должна удовлетворять основная матрица для того, чтобы число решений системы линейных уравнений, в зависимости от столбца bb свободных членов, равнялось:

?
(1)

0 или 1

(2)

1 или ∞\infty

(3)

0 или ∞\infty

(4)

1 при всех b.

Задача 19.18

Система линейных уравнений задана своей расширенной матрицей. Проверить совместность этой системы, пользуясь теоремой Фредгольма и результатом задачи 18. 9 для соответствующей сопряженной системы уравнений:

?
(1)

∥A114∣c89∥\left\| \mathbf{A}_{114} \mid \mathbf{c}_{89}\right\|. A114=[355947],c89=[12−1]\mathbf{A}_{114} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ 4 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{89} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∥A118∣c90∥\left\| \mathbf{A}_{118} \mid \mathbf{c}_{90}\right\|. A118=[345723],c90=[231]\mathbf{A}_{118} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \\ 2 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{90} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∥A587∣c171∥\left\| \mathbf{A}_{587} \mid \mathbf{c}_{171}\right\|. A587=[1225323−526−43−48−91−41−3−122],c171=[−1110]\mathbf{A}_{587} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & -5 & 26 & -4 \\ 3 & -4 & 8 & -9 & 1 \\ -4 & 1 & -3 & -12 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 19.19

Система уравнений задана своей расширенной матрицей, содержащей параметр. Применяя теорему Фредгольма, найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее:

?
(1)

∥A205∣c91∥\left\| \mathbf{A}_{205} \mid \mathbf{c}_{91}\right\|. A205=[123234345],c91=[αα2α3]\mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{91} = \left[\begin{smallmatrix} \alpha \\ \alpha^{2} \\ \alpha^{3} \end{smallmatrix}\right].

(2)

∥A515∣c91∥\left\| \mathbf{A}_{515} \mid \mathbf{c}_{91}\right\|. A515=[3−2546−4439−632],c91=[αα2α3]\mathbf{A}_{515} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -2 & 5 & 4 \\ 6 & -4 & 4 & 3 \\ 9 & -6 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{91} = \left[\begin{smallmatrix} \alpha \\ \alpha^{2} \\ \alpha^{3} \end{smallmatrix}\right].

(3)

∥A507∣c91∥\left\| \mathbf{A}_{507} \mid \mathbf{c}_{91}\right\|. A507=[134122314011],c91=[αα2α3]\mathbf{A}_{507} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{91} = \left[\begin{smallmatrix} \alpha \\ \alpha^{2} \\ \alpha^{3} \end{smallmatrix}\right].

Задача 19.20

Система уравнений задана своей расширенной матрицей ∥A644∣c282∥\left\| \mathbf{A}_{644} \mid \mathbf{c}_{282}\right\|, зависящей от параметров λ1,…,λn,μ\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}, \mu. Опи — сать множество значений параметров, при которых система совместна, и решить ее. A644=[111…1λ1λ2λ3…λnλ12λ22λ32…λn2…………………λ1n−1λ2n−1λ3n−1…λnn−1],c282=[1μμ2⋮μn−1]\mathbf{A}_{644} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & \ldots & \lambda_n \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 & \ldots & \lambda_n^2 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ldots \\ \lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & \lambda_3^{n-1} & \ldots & \lambda_n^{n-1} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{282} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ \mu \\ \mu^2 \\ \vdots \\ \mu^{n-1} \end{smallmatrix}\right].

?
Подпараграф
19.3 · Эквивалентные системы уравнений (19.21-19.29)[9/67%]
Задача 19.21

Доказать, что если эквивалентны совместные системы линейных неоднородных уравнений, то эквивалентны и соответствующие однородные системы.

?
Задача 19.22
?
(1)

Доказать, что нетривиальные уравнения[^fn1] a1x1+…+anxn=0a_{1} x_{1} + \ldots + a_{n} x_{n} = 0 и b1x1+⋯+bnxn=0b_{1} x_{1} + \cdots + b_{n} x_{n} = 0 эквивалентны тогда и только тогда, когда rg⁡[a1…anb1…bn]=1\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} a_{1} & \ldots & a_{n} \\ b_{1} & \ldots & b_{n}\end{smallmatrix}\right] = 1.

(2)

Доказать, что нетривиальные 1{ }^{1}) уравнения a1x1+…⋯+anxn=aa_{1} x_{1} + \ldots \cdots + a_{n} x_{n} = a и b1x1+⋯+bnxn=bb_{1} x_{1} + \cdots + b_{n} x_{n} = b эквивалентны тогда и только тогда, когда rg⁡[a1…anab1…bnb]=1\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} a_{1} & \ldots & a_{n} & a \\ b_{1} & \ldots & b_{n} & b\end{smallmatrix}\right] = 1.

(3)

Сформулировать признак попарной эквивалентности kk линейных уравнений.

Задача 19.23
?
(1)

Доказать, что системы линейных уравнений Ax=o,Bx=oA\mathbf{x} = \mathbf{o}, B\mathbf{x} = \mathbf{o} эквивалентны тогда и только тогда, когда

rg⁡[AB]□=rg⁡A=rg⁡B. \operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} A \\ B\end{smallmatrix}\right]^{\square } = \operatorname {rg} A = \operatorname {rg} B.
(2)

Доказать, что совместные системы линейных уравнений Ax=a,Bx=bA\mathbf{x} = \mathbf{a}, B\mathbf{x} = \mathbf{b} эквивалентны тогда и только тогда, когда

rg⁡[AaB b]□=rg⁡A=rg⁡B. \operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} A & \mathbf{a} \\ B & \mathrm{~ b} \end{smallmatrix}\right]^{\square } = \operatorname {rg} A = \operatorname {rg} B.
Задача 19.24

Проверить эквивалентность систем уравнений 18.1,1118. 1, 11) и 18.1,12)18. 1, 12).

?
Задача 19.25

Проверить, эквивалентны ли системы уравнений, определяемые расширенными матрицами:

?
(1)

(A502∣c17)\left(\mathbf{A}_{502} \mid \mathbf{c}_{17}\right) и (A503∣c12)\left(\mathbf{A}_{503} \mid \mathbf{c}_{12}\right). A502=[117−31−1−11],c17=[20],A503=[3−2112−120],c12=[11]\mathbf{A}_{502} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 7 & -3 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{503} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

(A239∣c67)\left(\mathbf{A}_{239} \mid \mathbf{c}_{67}\right) и (A240∣c147)\left(\mathbf{A}_{240} \mid \mathbf{c}_{147}\right). A239=[012−10−2−220],c67=[012],A240=[−54−22161−2−2],c147=[5−2−1]\mathbf{A}_{239} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{67} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{240} = \left[\begin{smallmatrix} -5 & 4 & -2 \\ 2 & 1 & 6 \\ 1 & -2 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{147} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

(A581∣c69)\left(\mathbf{A}_{581} \mid \mathbf{c}_{69}\right) и (A422T∣c72)\left(\mathbf{A}_{422}^{T} \mid \mathbf{c}_{72}\right). A581=[135791−23−45211122522],c69=[−26−11−67],A422=[4192−11−15928−20135−342],c72=[−513]\mathbf{A}_{581} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{69} = \left[\begin{smallmatrix} -26 \\ -11 \\ -67 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{422} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & 9 \\ 2 & -11 & -15 \\ 9 & 2 & 8 \\ -20 & 13 & 5 \\ -3 & 4 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{72} = \left[\begin{smallmatrix} -5 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

Задача 19.26

Проверить эквивалентность всех систем данной совокупности (каждая система уравнений задана расширенной матрицей): (A501∣c16),(A509∣c67)\left(\mathbf{A}_{501} \mid \mathbf{c}_{16}\right), \left(\mathbf{A}_{509} \mid \mathbf{c}_{67}\right) и (A510∣c73)\left(\mathbf{A}_{510} \mid \mathbf{c}_{73}\right). A501=[187−151−5−611],c16=[17−9],A509=[2−1−34−325−7011−2],c67=[012],A510=[1−5−61151−43187−15],c73=[−9717]\mathbf{A}_{501} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 8 & 7 & -15 \\ 1 & -5 & -6 & 11 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 17 \\ -9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{509} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & -3 & 4 \\ -3 & 2 & 5 & -7 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{67} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{510} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -5 & -6 & 11 \\ 5 & 1 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 7 & -15 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{73} = \left[\begin{smallmatrix} -9 \\ 7 \\ 17 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 19.27
?
(1)

Допустим, что добавление к данной однородной системе линейных уравнений еще некоторого числа линейных однородных уравнений не меняет множества ее решений. Доказать, что добавленные уравнения являются линейными комбинаџиями уравнений данной системы.

(2)

Доказать то же утверждение для совместной системы линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17. 3 2)

Задача 19.28
?
(1)

Допустим, что каждое решение однородной системы линейных уравнений (А) является также и решением однородной системы линейных уравнений (Б). Доказать, что тогда каждое уравнение системы (Б) является линейной комбинацией уравнений системы (A).

(2)

Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3(1).

Задача 19.29
?
(1)

Доказать, что две однородные системы линейных уравнений эквивалентны тогда и только тогда, когда уравнения каждой из них являются линейными комбинациями уравнений другой системы.

(2)

Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений.

Подпараграф
19.4 · Приложения (19.30-19.33)[4/50%]
Задача 19.30

Пусть Ax=bA\mathrm{x} = \mathrm{b} — произвольная система линейных уравнений. Доказать, что система уравнений (ATA)x=ATb\left(A^{T} A\right) \mathbf{x} = A^{T} \mathbf{b} совместна.

?
Задача 19.31

Дана квадратная матрица A=∥aik∥A = \left\| a_{i k}\right\|. Доказать, что если при всех ii выполнено неравенство ∣aii∣>∑k\neqi∣aik∣\left|a_{ii}\right| > \sum_{k\neqi }\left|a_{i k}\right|, то det⁡A≠0\operatorname {det} A \neq 0.

?
Задача 19.32

Доказать, что для любых попарно различных чисел a1,…,an+1a_{1}, \ldots , a_{n + 1} и любых чисел b1,…,bn+1b_{1}, \ldots , b_{n + 1} существует единственный многочлен f(t)f(t) степени не выше nn такой, что

f(a1)=b1,…,f(an+1)=bn+1. f\left(a_{1}\right) = b_{1}, \ldots , f\left(a_{n + 1}\right) = b_{n + 1}.
?
Задача 19.33

Найти многочлен f(t)f(t) третьей степени такой, что f(1)=f(2)=f(3)=1,f(4)=7f(1) = f(2) = f(3) = 1, f(4) = 7.

?
Подпараграф
19.5 · Приложения (19.34-19.49). Приведенные ниже задачи 19.34-19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере. Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при решении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии.[16/100%]
Задача 19.34
?
(1)

(р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на декартовы координаты (a1,b1),(a2,b2),(a3,b3)\left(a_{1}, b_{1}\right), \left(a_{2}, b_{2}\right), \left(a_{3}, b_{3}\right) трех точек плоскости, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

(2)

Решить тот же вопрос для четырех точек плоскости.

Задача 19.35

Доказать, что через две различные точки с декартовыми координатами (a1,b1),(a2,b2)\left(a_{1}, b_{1}\right), \left(a_{2}, b_{2}\right) проходит единственная прямая, и найти ее уравнение.

?
Задача 19.36

Показать, что через три точки с координатами (a1,b1),(a2,b2),(a3,b3)\left(a_{1}, b_{1}\right), \left(a_{2}, b_{2}\right), \left(a_{3}, b_{3}\right), не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная.

?
Задача 19.37
?
(1)

Три прямые заданы на плоскости в общей декартовой системе координат уравнениями Aix+Biy+Ci=0A_{i} x + B_{i} y + C_{i} = 0, i=1,2,3i = 1, 2, 3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на коэффициенты уравнений, необходимое и достаточное для того, чтобы эти прямые не проходили через одну точку.

(2)

Решить тот же вопрос для четырех прямых.

Задача 19.38

Используя результат задачи 19. 37, определить, имеют ли данные прямые общую точку:

?
(1)

2x+3y+1=0,7x+11y+4=0,3x+4y+1=02x + 3y + 1 = 0, 7x + 11y + 4 = 0, 3x + 4y + 1 = 0

(2)

x+8y+1=0,7x−y+1=0,11x−26y−1=0x + 8y + 1 = 0, 7x - y + 1 = 0, 11x - 26y - 1 = 0, 8x+7y+2=08x + 7y + 2 = 0.

Задача 19.39
?
(1)

Четыре точки заданы своими декартовыми координатами (ai,b2,ci),i=1,2,3,4\left(a_{i}, b_{2}, c_{i}\right), i = 1, 2, 3, 4. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали в одной плоскости.

(2)

Решить тот же вопрос для пяти точек.

Задача 19.40

Используя результат задачи 19. 39, определить, лежат ли данные точки на одной плоскости:

?
(1)

(7,−1,2),(2,3,1),(0,10,0),(3,4,1),(6,−2,2)(7, - 1, 2), (2, 3, 1), (0, 10, 0), (3, 4, 1), (6, - 2, 2)

(2)

(6,1,2),(2,3,1),(3,4,1),(6,2,2)(6, 1, 2), (2, 3, 1), (3, 4, 1), (6, 2, 2).

Задача 19.41

Показать, что через четыре точки с координатами (ai,bi,ci),i=1,2,3,4\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right), \quad i = 1, 2, 3, 4, не лежащие в одной плоскости, проходит единственная сфера, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная.

?
Задача 19.42

Три точки заданы своими декартовыми координатами (ai,bi,ci),i=1,2,3\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right), i = 1, 2, 3.

?
(1)

(р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

(2)

Решить тот же вопрос для mm точек (m⩾4)(m \geqslant 4).

Задача 19.43

Используя результат задачи 19. 42, определить, лежат ли данные точки на одной прямой:

?
(1)

(2,3,1),(3,4,2),(0,1,−1),(−2,−1,−3),(−6,−5,−7)(2, 3, 1), (3, 4, 2), (0, 1, - 1), (- 2, - 1, - 3), (- 6, - 5, - 7)

(2)

(2,3,1),(3,4,2),(0,1,1),(2,1,3),(6,5,4)(2, 3, 1), (3, 4, 2), (0, 1, 1), (2, 1, 3), (6, 5, 4).

Задача 19.44

Доказать, что через три точки с декартовыми координатами (ai,bi,ci),i=1,2,3\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right), i = 1, 2, 3, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, и найти ее уравнение.

?
Задача 19.45

Две плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями Aix+Biy+Ciz+Di=0,i=1,2A_{i} x + B_{i} y + C_{i} z + D_{i} = 0, i = 1, 2. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости:

?
(1)

совпадали

(2)

имели единственную общую прямую

(3)

были параллельными, но не совпадали.

Задача 19.46

Три плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями Aix+Biy+Ciz+Di=0,i=1,2,3A_{i} x + B_{i} y + C_{i} z + D_{i} = 0, i = 1, 2, 3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости:

?
(1)

совпадали

(2)

имели единственную общую точку

(3)

имели единственную обшую прямую

(4)

были параллельными, но не все совпадали

(5)

образовывали призму.

Задача 19.47

Используя результат задачи 19. 46, определить взаимное расположение плоскостей:

?
(1)

3x+2y+5z−1=0,2x+3y+3z+1=03x + 2y + 5z - 1 = 0, \quad 2x + 3y + 3z + 1 = 0, 9x+16y+13z+1=09x + 16y + 13z + 1 = 0

(2)

x−y−z+1=0,5x−21y−17z+1=0x - y - z + 1 = 0, \quad 5x - 21y - 17z + 1 = 0, 6x−26y−21z+1=06x - 26y - 21z + 1 = 0.

Задача 19.48

Четыре плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями Aix+Biy+Ciz+Di=0,i=1,2A_{i} x + B_{i} y + C_{i} z + D_{i} = 0, i = 1, 2, 3, 4. Известно, что пары, соответствующие i=1,2i = 1, 2 и i=3,4i = 3, 4, определяют прямые линии. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые:

?
(1)

пересекались

(2)

были параллельными, но не совпадали

(3)

совпадали

(4)

скрещивались.

Задача 19.49

Используя результат задачи 19. 48, определить взаимное расположение прямых:

?
(1)

{3x+2y+5z−1=0−x+2y+3z−1=0{4x−6y+7z+2=0,5x+3y−8z−3=0\begin{cases} 3x + 2y + 5z - 1 = 0 \\ - x + 2y + 3z - 1 = 0\end{cases} \begin{cases} 4x - 6y + 7z + 2 = 0, \\ 5x + 3y - 8z - 3 = 0\end{cases}

(2)

{x+3y+3z−2=0x−9y−6z−5=0{2x−14y−9z−9=04x+2y+z−7=0.\begin{cases} x + 3y + 3z - 2 = 0 \\ x - 9y - 6z - 5 = 0\end{cases} \begin{cases} 2x - 14y - 9z - 9 = 0 \\ 4x + 2y + z - 7 = 0. \end{cases}