Приложения (19.30-19.33)

Пусть $A\mathrm{x} = \mathrm{b}$ — произвольная система линейных уравнений. Доказать, что система уравнений $\left(A^{T} A\right) \mathbf{x} = A^{T} \mathbf{b}$ совместна.

Дана квадратная матрица $A = \left\| a_{i k}\right\|$. Доказать, что если при всех $i$ выполнено неравенство $\left|a_{ii}\right| > \sum_{k\neqi }\left|a_{i k}\right|$, то $\operatorname {det} A \neq 0$.

Доказать, что для любых попарно различных чисел $a_{1}, \ldots , a_{n + 1}$ и любых чисел $b_{1}, \ldots , b_{n + 1}$ существует единственный многочлен $f(t)$ степени не выше $n$ такой, что

Найти многочлен $f(t)$ третьей степени такой, что $f(1) = f(2) = f(3) = 1, f(4) = 7$.