Приложения (19.34-19.49). Приведенные ниже задачи 19.34-19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере. Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при решении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии.

[16/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 19.34

(1)(2)

(1)

(р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на декартовы координаты $\left(a_{1}, b_{1}\right), \left(a_{2}, b_{2}\right), \left(a_{3}, b_{3}\right)$ трех точек плоскости, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

(2)

Решить тот же вопрос для четырех точек плоскости.

Задача 19.35

Доказать, что через две различные точки с декартовыми координатами $\left(a_{1}, b_{1}\right), \left(a_{2}, b_{2}\right)$ проходит единственная прямая, и найти ее уравнение.

Задача 19.36

Показать, что через три точки с координатами $\left(a_{1}, b_{1}\right), \left(a_{2}, b_{2}\right), \left(a_{3}, b_{3}\right)$ , не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная.

Задача 19.37

(1)(2)

(1)

Три прямые заданы на плоскости в общей декартовой системе координат уравнениями $A_{i} x + B_{i} y + C_{i} = 0$ , $i = 1, 2, 3$ . Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на коэффициенты уравнений, необходимое и достаточное для того, чтобы эти прямые не проходили через одну точку.

(2)

Решить тот же вопрос для четырех прямых.

Задача 19.38

(1)(2)

Используя результат задачи 19. 37, определить, имеют ли данные прямые общую точку:

(1)

$2x + 3y + 1 = 0, 7x + 11y + 4 = 0, 3x + 4y + 1 = 0$

(2)

$x + 8y + 1 = 0, 7x - y + 1 = 0, 11x - 26y - 1 = 0$ , $8x + 7y + 2 = 0$ .

Задача 19.39

(1)(2)

(1)

Четыре точки заданы своими декартовыми координатами $\left(a_{i}, b_{2}, c_{i}\right), i = 1, 2, 3, 4$ . Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали в одной плоскости.

(2)

Решить тот же вопрос для пяти точек.

Задача 19.40

(1)(2)

Используя результат задачи 19. 39, определить, лежат ли данные точки на одной плоскости:

(1)

$(7, - 1, 2), (2, 3, 1), (0, 10, 0), (3, 4, 1), (6, - 2, 2)$

(2)

$(6, 1, 2), (2, 3, 1), (3, 4, 1), (6, 2, 2)$ .

Задача 19.41

Показать, что через четыре точки с координатами $\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right), \quad i = 1, 2, 3, 4$ , не лежащие в одной плоскости, проходит единственная сфера, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная.

Задача 19.42

(1)(2)

Три точки заданы своими декартовыми координатами $\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right), i = 1, 2, 3$ .

(1)

(р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

(2)

Решить тот же вопрос для $m$ точек $(m \geqslant 4)$ .

Задача 19.43

(1)(2)

Используя результат задачи 19. 42, определить, лежат ли данные точки на одной прямой:

(1)

$(2, 3, 1), (3, 4, 2), (0, 1, - 1), (- 2, - 1, - 3), (- 6, - 5, - 7)$

(2)

$(2, 3, 1), (3, 4, 2), (0, 1, 1), (2, 1, 3), (6, 5, 4)$ .

Задача 19.44

Доказать, что через три точки с декартовыми координатами $\left(a_{i}, b_{i}, c_{i}\right), i = 1, 2, 3$ , не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, и найти ее уравнение.

Задача 19.45

(1)(2)(3)

Две плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями $A_{i} x + B_{i} y + C_{i} z + D_{i} = 0, i = 1, 2$ . Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости:

(1)

совпадали

(2)

имели единственную общую прямую

(3)

были параллельными, но не совпадали.

Задача 19.46

Три плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями $A_{i} x + B_{i} y + C_{i} z + D_{i} = 0, i = 1, 2, 3$ . Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости:

(1)

совпадали

(2)

имели единственную общую точку

(3)

имели единственную обшую прямую

(4)

были параллельными, но не все совпадали

(5)

образовывали призму.

Задача 19.47

(1)(2)

Используя результат задачи 19. 46, определить взаимное расположение плоскостей:

(1)

$3x + 2y + 5z - 1 = 0, \quad 2x + 3y + 3z + 1 = 0$ , $9x + 16y + 13z + 1 = 0$

(2)

$x - y - z + 1 = 0, \quad 5x - 21y - 17z + 1 = 0$ , $6x - 26y - 21z + 1 = 0$ .

Задача 19.48

(1)(2)(3)(4)

Четыре плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями $A_{i} x + B_{i} y + C_{i} z + D_{i} = 0, i = 1, 2$ , 3, 4. Известно, что пары, соответствующие $i = 1, 2$ и $i = 3, 4$ , определяют прямые линии. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые:

(1)

пересекались

(2)

были параллельными, но не совпадали

(3)

совпадали

(4)

скрещивались.

Задача 19.49

(1)(2)

Используя результат задачи 19. 48, определить взаимное расположение прямых:

(1)

$\begin{cases} 3x + 2y + 5z - 1 = 0 \\ - x + 2y + 3z - 1 = 0\end{cases} \begin{cases} 4x - 6y + 7z + 2 = 0, \\ 5x + 3y - 8z - 3 = 0\end{cases}$

(2)

$\begin{cases} x + 3y + 3z - 2 = 0 \\ x - 9y - 6z - 5 = 0\end{cases} \begin{cases} 2x - 14y - 9z - 9 = 0 \\ 4x + 2y + z - 7 = 0. \end{cases}$