Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре/9 · Линейные отображения и преобразования

§ 23

Основные свойства линейных отображений и преобразований

[104/71%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

23.1 · Примеры линейных отображений и преобразований. Ядро, множество значений. Матрицы линейных отображений и преобразований (23.1-23.51)

23.2 · Матрицы линейных отображений и преобразований в разных базисах. Подобные матрицы (23.52-23.77)

23.3 · Операции с линейными отображениями и преобразованиями (23.78-23.104)

Подпараграф

23.1 · Примеры линейных отображений и преобразований. Ядро, множество значений. Матрицы линейных отображений и преобразований (23.1-23.51)[51/80%]

Задача 23.1

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

Пусть $\mathbf{x} = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right)^{T}$ — произвольный вектор $n$ -мерного арифметического пространства. Исследовать линейность преобразования $\varphi$ , если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(x_{2}, x_{1} - x_{2}\right)^{T} \quad (n = 2)$

(2)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(x_{2}, x_{1} x_{2}\right)^{T} \quad (n = 2)$

(3)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(x_{2}, x_{1} - 3, x_{3}\right)^{T} \quad (n = 3)$

(4)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(2x_{3} + x_{1}, 2x_{3} x_{1}, x_{1} - x_{2}\right)^{T} \quad (n = 3)$

(5)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ \ldots \\ 0 \end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(0, x_{1} + 3x_{2}, x_{2}^{2}\right)^{T} \quad (n = 3)$

(7)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ \ldots \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$

(8)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(\sin x_{1}, \cos x_{2}, x_{3}\right)^{T} \quad (n = 3)$

(9)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(x_{n}, x_{n - 1}, \ldots , x_{1}\right)^{T}$

(10)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left(2x_{1}, 2\left|x_{2}\right|, 2x_{3}\right)^{T} \quad (n = 3)$ .

Задача 23.2

(1)(2)(3)

Доказать линейность преобразования $\varphi$ пространства $\mathcal{L}$ , выяснить, является ли $\varphi$ инъективным, сюръективным или биективным, указать его матрицу в произвольном базисе пространства $\mathcal{L}$ , если $\varphi$ есть:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

нулевое отображение

(2)

тождественное преобразование

(3)

гомотетия.

Задача 23.3

(1)(2)(3)(4)(5)

Пусть $\varphi$ — линейное отображение пространства $\mathcal{L}$ в $\tilde{\mathcal{L}}$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\varphi (o) = o$

(2)

ядро $\varphi$ есть линейное подпространство в $\mathcal{L}$

(3)

образ $\varphi (\mathcal{M})$ линейного подпространства $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{L}$ есть подпространство в $\tilde{\mathcal{L}}$ , причем $\operatorname {dim} \varphi (\mathcal{M}) \leqslant \operatorname {dim} \mathcal{M}$

(4)

$\varphi$ инъективно тогда и только тогда, когда $\operatorname {Ker} \varphi = \left\{ o\right\}$

(5)

$\operatorname {dim} \operatorname {Ker} \varphi + \operatorname {dim} \operatorname {Im} \varphi = \operatorname {dim} \mathcal{L}$ .

Задача 23.4

Пусть $\mathcal{M}$ — подпространство линейного пространства $\mathcal{L}$ . Доказать, что естественное вложение $\mathcal{M} \rightarrow \mathcal{L}$ — инъективное линейное отображение. Может ли оно быть изоморфизмом?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.5

Пусть $\mathcal{M}$ — подпространство линейного пространства $\mathcal{L}$ . Отображение $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{M}$ определено правилами: $\varphi (x) = x$ при $x\in \mathcal{M}, \varphi (x) = o$ при $x\notin \mathcal{M}$ . Линейно ли отображение $\varphi$ ?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.6

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Пусть $\mathbf{x}$ — произвольный вектор, $\mathbf{a}, \mathbf{n}$ — фиксированные ненулевые векторы геометрического векторного пространства (двумерного или трехмерного). Проверить линейность преобразования $\varphi$ , заданного следующей формулой, и выяснить его геометрический смысл, если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\varphi (\mathbf{x}) = (\mathbf{x}, \mathbf{a}) \frac{\mathbf{a}}{\left|\mathbf{a}\right|^{2}}$

(2)

$\varphi (\mathbf{x}) = \frac{(\mathbf{x}, \mathbf{n})}{(\mathbf{a}, \mathbf{n})} \mathbf{a} \quad ((\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0)$

(3)

$\varphi (\mathbf{x}) = \mathbf{x} - (\mathbf{x}, \mathbf{n}) \frac{\mathbf{n}}{\left|\mathbf{n}\right|^{2}}$

(4)

$\varphi (\mathbf{x}) = \mathbf{x} - \frac{(\mathbf{x}, \mathbf{n})}{(\mathbf{a}, \mathbf{n})} \mathbf{a} \quad ((\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0)$

(5)

$\varphi (\mathbf{x}) = \mathbf{x} - 2(\mathbf{x}, \mathbf{n}) \frac{\mathbf{n}}{\left|\mathbf{n}\right|^{2}}$ ;

(6)

$\varphi (\mathbf{x}) = 2(\mathbf{a}, \mathbf{x}) \frac{\mathbf{a}}{\left|\mathbf{a}\right|^{2}} - \mathbf{x}$ .

Задача 23.7

(1)(2)

Проверить линейность и выяснить геометрический смысл преобразования $\varphi$ трехмерного геометрического векторного пространства, заданного формулой $(\mathbf{a}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ — фиксированные векторы):

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\varphi (\mathbf{x}) = \left[\mathbf{x}, \mathbf{a}\right] \quad (\left|\mathbf{a}\right| = 1)$

(2)

$\varphi (\mathbf{x}) = \mathbf{u}(\mathbf{x}, \mathbf{v}) - \mathbf{v}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) \quad (\left[\mathbf{u}, \mathbf{v}\right] \neq 0)$ .

Задача 23.8

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

Пусть а и $\mathbf{n}$ — ненулевые векторы трехмерного геометрического векторного пространства, причем $(\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0, \mathcal{L}_{1}$ — прямая с направляющим вектором $\mathbf{a}$ , а $\mathcal{L}_{2}$ — плоскость с нормальным вектором n. Записать формулой преобразование $\varphi$ , проверить его линейность, найти ядро, множество значений и ранг, если $\varphi$ есть:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

ортогональное проектирование на $\mathcal{L}_{2}$

(2)

ортогональное проектирование на $\mathcal{L}_{1}$

(3)

проектирование на $\mathcal{L}_{2}$ параллельно вектору а

(4)

проектирование на $\mathcal{L}_{1}$ параллельно $\mathcal{L}_{2}$

(5)

ортогональное отражение относительно $\mathcal{L}_{2}$

(6)

ортогональное отражение относительно $\mathcal{L}_{1}$

(7)

отражение в $\mathcal{L}_{2}$ параллельно вектору а

(8)

отражение в $\mathcal{L}_{1}$ параллельно $\mathcal{L}_{2}$ .

Задача 23.9

(1)(2)(3)(4)

Вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ , если $\mathcal{L}$ есть:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

прямая $x = z = 0$

(2)

прямая $x = y = z$

(3)

плоскость $x + y + z = 0$

(4)

плоскость, натянутая на векторы $\mathbf{a}(- 1, 1, - 1)$ и $\mathbf{b}(1, - 3, 2)$ .

В данной задаче линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства $\mathcal{E}_{3}$ заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.

Задача 23.10

(1)(2)(3)(4)

Вычислить матрицу проектирования пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ параллельно подпространству $\mathcal{M}$ , если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\mathcal{L}$ определено уравнением $x = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнениями $2x = 2y = - z$

(2)

$\mathcal{L}$ имеет уравнение $x = y$ , $\mathcal{M}$ определяется системой уравнений $x + y + z = 0, 2x + y + 4z = 0$

(3)

$\mathcal{L}$ определено уравнениями $- 20x = 15y = 12z$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - z = 0$

(4)

$\mathcal{L}$ определено системой уравнений $x - y + z = 0, 2x - 3y + 4z = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - 4z = 0$ .

Задача 23.11

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

Преобразования пространства $\mathcal{E}_{3}$ из задач 23.9 (пункты 1-4, ортогональное проектирование) и 23.10 (пункты 5-8, проектирование параллельно $\mathcal{M}$ ) рассматриваются как линейные отображения пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ . Вычислить матрицу каждого из этих отображений в какой — либо паре базисов.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\mathcal{L}$ — это прямая $x = z = 0$

(2)

$\mathcal{L}$ — прямая $x = y = z$

(3)

$\mathcal{L}$ — плоскость $x + y + z = 0$

(4)

$\mathcal{L}$ — плоскость, натянутая на векторы $\mathbf{a}(- 1, 1, - 1)$ и $\mathbf{b}(1, - 3, 2)$

(5)

$\mathcal{L}$ определено уравнением $x = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнениями $2x = 2y = - z$

(6)

$\mathcal{L}$ имеет уравнение $x = y$ , $\mathcal{M}$ определяется системой уравнений $x + y + z = 0, 2x + y + 4z = 0$

(7)

$\mathcal{L}$ определено уравнениями $- 20x = 15y = 12z$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - z = 0$

(8)

$\mathcal{L}$ определено системой уравнений $x - y + z = 0, 2x - 3y + 4z = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - 4z = 0$ .

Задача 23.12

(1)(2)(3)

Найти матрицу линейного преобразования $\varphi$ , если $\varphi$ — ортогональное отражение пространства $\mathcal{E}_{3}$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

относительно плоскости $x = 0$

(2)

относительно прямой $x = 2y = z$

(3)

относительно линейной оболочки векторов $\mathbf{a}(1, 0, - 1)$ и $\mathbf{b}(1, 1, - 2)$ .

Задача 23.13

(1)(2)

Найти матрицу отражения пространства $\mathcal{E}_{3}$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

в плоскости $x = 0$ параллельно прямой $2x = y = - z$

(2)

в прямой $x = z, \quad x - y + z = 0$ параллельно плоскости $x + y = 0$ .

Задача 23.14

(1)(2)(3)

В трехмерном геометрическом векторном пространстве $\mathcal{E}_{3}$ задан ортонормированный базис $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ . Вычислить матрицу поворота пространства:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

на угол $\alpha$ вокруг вектора $\mathbf{e}_{3}$

(2)

на угол $\pi / 2$ вокруг вектора $\mathbf{e}_{1}$

(3)

на угол $2\pi / 3$ вокруг прямой, имеющей уравнения $x = y = z$ .

Задача 23.15

(1)(2)

Пусть линейное пространство $\mathcal{L}$ является прямой суммой ненулевых подпространств $\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime }$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Доказать, что преобразование $\varphi$ проектирования $\mathcal{L}$ на $\mathcal{L}^{\prime }$ параллельно $\mathcal{L}^{\prime \prime }$ линейно. Найти ядро и множество значений $\varphi$ . Записать матрицу преобразования $\varphi$ в базисе, составленном из базисов подпространств $\mathcal{L}^{\prime }$ и $\mathcal{L}^{\prime \prime }$ .

(2)

Решить задачу, рассматривая $\varphi$ как отображение пространства $\mathcal{L}$ на $\mathcal{L}^{\prime }$ .

Задача 23.16

Пусть линейное пространство $\mathcal{L}$ является прямой суммой ненулевых подпространств $\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime }$ . Доказать, что отражение $\varphi$ пространства $\mathcal{L}$ в $\mathcal{L}^{\prime }$ параллельно $\mathcal{L}^{\prime \prime }$ есть линейное преобразование пространства $\mathcal{L}$ . Найти его ядро и множество значений. Показать, что $\varphi$ является изоморфизмом. Записать матрицу $\varphi$ в базисе, составленном из базисов подпространств $\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime }$

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.17

(1)(2)(3)(4)

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \tilde{\mathcal{L}}$ — линейное отображение, $\mathcal{M} = \varphi (\mathcal{L})$ . Рассмотрим $\varphi$ как линейное отображение $\widetilde{\varphi }: \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{M}$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

ядра отображений $\varphi$ и $\widetilde{\varphi }$ совпадают так же, как их ранги

(2)

$\widetilde{\varphi }$ сюръективно

(3)

$\varphi$ инъективно тогда и только тогда, когда $\widetilde{\varphi }$ инъективно.

(4)

если $\operatorname {dim} \mathcal{L} = \operatorname {dim} \widetilde{\mathcal{L}}$ , то $\varphi$ тогда и только тогда является изоморфизмом, когда изоморфизмом является $\tilde{\varphi }$ . Выяснить связь между матрицами отображений $\varphi$ и $\widetilde{\varphi }$ (выбрать согласованные базисы в $\mathcal{L}$ и $\mathcal{M}$ ).

Задача 23.18

Доказать, что ранг матрицы линейного отображения не зависит от выбора пары базисов в линейных пространствах.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.19

(1)(2)

Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

ранг матрицы линейного сюръективного отображения равен числу ее строк

(2)

ранг матрицы линейного инъективного отображения равен числу ее столбцов.

Задача 23.20

(1)(2)

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \tilde{\mathcal{L}}$ — линейное отображение, $\operatorname {dim} \mathcal{L} = n, \quad \operatorname {dim} \tilde{\mathcal{L}} = m, \quad A$ — матрица $\varphi$ в некоторой паре базисов, $\operatorname {rg} A = r$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\operatorname {rg} \varphi = r$

(2)

$\operatorname {dim} \operatorname {Ker} \varphi = n - r$ .

Задача 23.21

(1)(2)

Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

отображение, обратное к изоморфизму, существует и также является изоморфизмом

(2)

линейное отображение, не являющееся изоморфизмом, не имеет обратного.

Задача 23.22

(1)(2)

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Чему равен ранг и каково ядро линейного отображения $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \widetilde{\mathcal{L}}$ , являющегося изоморфизмом?

(2)

Как связаны матрицы $A, B$ линейного отображения и обратного к нему?

Задача 23.23

(1)(2)(3)

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \tilde{\mathcal{L}}$ — линейное отображение, и $\operatorname {dim} \mathcal{L} = \operatorname {dim} \tilde{\mathcal{L}}$ . Доказать равносильность утверждений:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\varphi$ изоморфизм

(2)

$\varphi$ инъективно

(3)

$\varphi$ сюрьективно.

Показать, что при $\operatorname {dim} \mathcal{L} \neq \operatorname {dim} \tilde{\mathcal{L}}$ из 2) или 3) не следует 1).

Задача 23.24

(1)(2)(3)

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Для того чтобы уравнение $\varphi (x) = y(x\in \mathcal{L})$ было разрешимо при любом $y\in \widetilde{\mathcal{L}}$ необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение $\varphi (x) = о$ имело только нулевое решение.

(2)

Если уравнение $\varphi (x) = y$ разрешимо при всех $y\in \widetilde{\mathcal{L}}$ , то оно имеет для каждого $y$ единственное решение.

(3)

Пусть уравнение $\varphi (x) = y$ разрешимо не при всех $y\in \widetilde{\mathcal{L}}$ , но при некотором $y$ разрешимо. Тогда его решение не единственно.

Задача 23.25

Доказать, что любое $n$ -мерное линейное пространство изоморфно $n$ -мерному арифметическому пространству над тем же полем и, следовательно, все линейные пространства одинаковой размерности (над одним и тем же полем) изоморфны.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.26

(1)(2)(3)(4)(5)

Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства задано в стандартном базисе матрицей $A$ . Найти образы векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$ и объяснить геометрический смысл преобразования (кроме 3)):

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{261}, \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ - 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{261} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{221}, \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 1\\ 2\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 2\\ 4\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{221} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{241}, \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ - 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 1\\ 0\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{241} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & -1 & 1 \\ 5 & -5 & 5 \\ 4 & -9 & 9 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{262}, \quad \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 2\\ 3 + i\end{smallmatrix}\right]$ , $\mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 2\\ 3 - i\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{262} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -3 & -2 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$A = \mathbf{A}_{263}, \quad \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 1\\ - 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1 + i\\ 1\\ - i\end{smallmatrix}\right]$ , $\mathbf{a}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 1 - i\\ 1\\ i\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{263} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -3 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.27

(1)(2)(3)(4)

Линейное отображение $n$ -мерного арифметического пространства в $m$ -мерное задано матрицей $A$ . Числа $m$ и $n$ определяются размерами матрицы. Вычислить образы указанных векторов:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{507}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ - 1\\ - 1\\ 3\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{507} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{455}, \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} - 1\\ 1\\ 1\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{455} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{522}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} - 2\\ 1\\ 3\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{522} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 5 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \\ 4 & -1 & 1 & 7 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$m = n, \quad A = \mathbf{A}_{507}, \quad \mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ \ldots \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \ldots , \mathbf{a}_{n} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \\ - 1 \end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{507} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.28

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Линейное преобразование $n$ -мерного линейного пространства $\mathcal{L}$ задано матрицей $A$ в базисе е. Число $n$ определяется порядком матрицы. Найти ядро и множество значений преобразования. Выяснить, является ли оно изоморфизмом, если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{30}$ . $\mathbf{A}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} 25 & 60 \\ 60 & 144 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{236}$ . $\mathbf{A}_{236} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 5 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -5 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{264}$ . $\mathbf{A}_{264} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{465}$ . $\mathbf{A}_{465} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$A = \mathbf{A}_{466}$ . $\mathbf{A}_{466} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$A = \mathbf{A}_{547}$ . $\mathbf{A}_{547} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & -5 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.29

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Линейное отображение $n$ -мерного линейного пространства в $m$ -мерное задано матрицей $A$ в базисах $e$ и $\mathbf{f}$ . Числа $m$ и $n$ определяются размерами матрицы. Найти ядро и множество значений отображения. Выяснить, является ли оно сюръективным, инъективным, если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{516}$ . $\mathbf{A}_{516} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 4 & 12 & -8 \\ 4 & -2 & -6 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{405}$ . $\mathbf{A}_{405} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 7 \\ -1 & 3 & 2 \\ 7 & 7 & 6 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{406}$ . $\mathbf{A}_{406} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 6 & -4 \\ 1 & -3 & 2 \\ 7 & -21 & 14 \\ -3 & 9 & -6 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{576}$ . $\mathbf{A}_{576} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$A = \mathbf{A}_{420}$ . $\mathbf{A}_{420} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -2 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -5 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$A = \mathbf{A}_{585}$ . $\mathbf{A}_{585} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 & -2 \\ 3 & 9 & -14 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & -9 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.30

(1)(2)(3)(4)

Линейное отображение $n$ -мерного арифметического пространства в $m$ -мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей $A$ . Числа $m$ и $n$ определяются размерами матрицы. Вычислить полный прообраз вектора а, если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{513}, \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} - 1\\ 0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{513} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & -5 & -4 & -3 \\ 2 & -1 & 2 & -1 \\ 5 & 3 & 8 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{581}, \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{581} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{421}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ 2\\ 9\\ - 20\\ - 3\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{421} = \left[\begin{smallmatrix} 30 & 9 & 4 \\ -24 & -15 & 2 \\ 43 & 8 & 9 \\ -50 & 5 & -20 \\ -5 & 2 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{421}, \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 1\\ 2\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{421} = \left[\begin{smallmatrix} 30 & 9 & 4 \\ -24 & -15 & 2 \\ 43 & 8 & 9 \\ -50 & 5 & -20 \\ -5 & 2 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.31

(1)(2)(3)

Линейное отображение $n$ -мерного арифметического пространства в $m$ -мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей $A$ . Числа $m$ и $n$ определяются размерами матрицы. Найти полный прообраз подпространства $\mathcal{M} \subset \mathcal{R}_{m}$ , если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{576}, \mathcal{M}$ натянуто на вектор $\left[\begin{smallmatrix} 3\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{576} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{517}, \quad \mathcal{M}$ задано системой уравнений $x_{1} + x_{2} = 0$ , $x_{1} - x_{3} = 0$ . $\mathbf{A}_{517} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & 6 & -5 \\ 8 & -1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{592}, \quad \mathcal{M}$ задано системой уравнений $2x_{1} - x_{3} = 0$ , $2x_{2} + x_{3} - 2x_{4} = 0; \quad - x_{2} + 2x_{4} - x_{6} = 0, \quad x_{5} = 0$ . $\mathbf{A}_{592} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 4 & 0 & 1 & 5 \\ 2 & -3 & -5 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.32

Доказать, что пространство $\mathcal{R}_{m \times n}$ вещественных матриц размеров $m \times n$ (задача 20. 5) изоморфно арифметическому пространству $\mathcal{R}_{mn}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.33

Пусть $\mathbf{a} = \left(a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}\right)^{T}$ . Показать, что отображение $f(\mathbf{a}) = a_{0} + a_{1} t + \ldots + a_{n} t^{n}$ устанавливает изоморфизм $(n + 1)$ -мерного арифметического пространства и линейного пространства многочленов степени, не превосходящей $n$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.34

Отображение двумерного вещественного арифметического пространства в линейное пространство вещественных квадратных матриц второго порядка задано формулой $\varphi \left(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y\end{smallmatrix}\right]\right) =\left[\begin{smallmatrix} x & - y \\ y & x\end{smallmatrix}\right]$ . Доказать линейность и инъективность отображения $\varphi$ . Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.35

Отображение трехмерного вещественного арифметического пространства в пространство матриц второго порядка сопоставляет вектору $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ матрицу $\left[\begin{smallmatrix} x_{2} & x_{3} \\ - x_{3} & x_{1}\end{smallmatrix}\right]$ . Доказать линейность и инъективность отображения. Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.36

Пусть $\mathcal{M}_{2 \times 2}$ — множество комплексных матриц второго порядка, рассматриваемое как вещественное линейное пространство со стандартным базисом $E_{11}, iE_{11}, E_{21}, iE_{21}, E_{12}$ , $iE_{12}, E_{22}, iE_{22}$ (см. задачу 22. 12). Отображение $\varphi : \mathcal{R}_{3} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2}$ сопостовляет вектору $\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{smallmatrix}\right]$ матрицу $\left[\begin{smallmatrix} x_{3} & x_{1} + ix_{2} \\ x_{1} - ix_{2} & -x_{3}\end{smallmatrix}\right]$ . Доказать, что отображение $\varphi$ линейно и инъективно. Найти его матрицу в стандартных базисах пространств.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.37

Отображение $\varphi : \mathcal{R}_{4} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2}$ (см. задачу 23. 36) задано формулой $\varphi (x) =\left[\begin{smallmatrix} a & b \\ - \bar{b} & \bar{a}\end{smallmatrix}\right]$ , где $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T}, a = x_{1} + ix_{2}$ , $\bar{a} = x_{1} - ix_{2}, b = x_{3} + ix_{4}$ . Доказать, что $\varphi$ линейно и инъективно, найти его матрицу в стандартных базисах пространств.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.38

(1)(2)(3)

Доказать, что данное множество квадратных матриц является вещественным линейным пространством, изоморфным арифметическому пространству $\mathcal{R}_{3}$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

множество всех вещественных матриц второго порядка с нулевым следом

(2)

множество всех вещественных кососимметрических матриц третьего порядка

(3)

множество всех комплексных матриц вида $\left[\begin{smallmatrix} ix_{3} & x_{1} + ix_{2} \\ - x_{1} + ix_{2} & - ix_{3}\end{smallmatrix}\right]$ , где $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ — вещественные числа.

Задача 23.39

Пусть $D = \frac{d}{dt}$ — операция дифференцирования, сопоставляющая функции $f(t)$ ее производную $f^{\prime }(t)$ . Показать, что $D$ является линейным преобразованием линейного пространства функций, бесконечно дифференцируемых на интервале $(a, b)$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.40

(1)(2)

Пусть $\mathcal{P}^{(m)}$ — линейное пространство вещественных многочленов степени не выше $m$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Проверить, что дифференцирование (определенное в задаче 23. 39) есть линейное преобразование $D: \mathcal{P}^{(m)} \rightarrow \mathcal{P}^{(m)}$ , найти его ядро и множество значений. Вычислить матрицу преобразования $D$ :

(1) в стандартном базисе $1, t, \ldots , t^{m}$ ;

(2) в базисе $1, t - t_{0}, \ldots , \left(t - t_{0}\right)^{m}$ ;

(3) в базисе $1, \frac{t}{1!}, \ldots , \frac{t^{m}}{m!}$ .

(2)

Найти матрицу дифференцирования как линейного отображения $D: \mathcal{P}^{(m)} \rightarrow \mathcal{P}^{(m - 1)}$ базисах $1, t, \ldots , \frac{t^{m}}{m!}$ и $1, t, \ldots \ldots , \frac{t^{m - 1}}{(m - 1)!}$ .

Задача 23.41

(1)(2)

Показать, что дифференцирование (задача 23. 39) определяет линейное отображение:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

пространства четных многочленов степени не выше $2n$ в пространство $\mathcal{P}$ нечетных многочленов степени не выше $2n - 1$

(2)

пространства нечетных многочленов степени не выше $2n + 1$ в пространство $\mathcal{Q}$ четных многочленов степени не выше $2n$ .

Найти ядро, множество значений и ранг отображения. Записать его матрицу $A$ в стандартных базисах пространств.

Задача 23.42

Проверить, что функции $e^{\lambda t} p(t)$ , где $\lambda$ — фиксированное число, $p(t)$ — многочлен степени не выше $n$ , образуют линейное пространство, а дифференцирование является его линейным преобразованием. Вычислить матрицу преобразования в базисе $\frac{t^{k}}{k!} e^{\lambda t}(k = 0, 1, \ldots , n)$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.43

(1)(2)

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства тригонометрических многочленов $f(t) = a_{0} + a_{1} \cos t + b_{1} \sin t + \ldots + a_{n} \cos nt + b_{n} \sin nt$ порядка не выше $n$ (см. задачу 20. 8. 4). Найти матрицу преобразования $D$ в стандартном базисе $1, \cos t, \sin t, \ldots$ ... $\cos nt, \sin nt$ этого пространства.

(2)

Доказать, что дифференцирование $D$ устанавливает изоморфизм между линейными пространствами нечетных тригонометрических многочленов $b_{1} \sin t + b_{2} \sin 2t + \ldots + b_{n} \sin nt$ и четных тригонометрических многочленов вида $a_{1} \cos t + a_{2} \cos 2t + \ldots + a_{n} \cos nt(n$ — фиксированное число). Вычислить матрицы отображения $D$ и обратного отображения в базисах $\sin t, \ldots , \sin nt$ и $\cos t, \ldots , \cos nt$ .

Задача 23.44

(1)(2)(3)

Пусть $f(t)$ — непрерывная функция $(t\in \mathbb {R})$ . Рассмотрим операцию интегрирования $I: f(t) \rightarrow \int_{0}^{t} f(\xi ) d\xi$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Проверить, что интегрирование определяет линейное отображение $I: \mathcal{P}^{(n - 1)} \rightarrow \mathcal{P}^{(n)}(n \geqslant 1)$ , найти его ядро, множество значений и ранг. Записать матрицу отображения в стандартных базисах.

(2)

Интегрирование рассматривается как линейное преобразование пространства $\mathcal{P}$ всех вещественных многочленов. Найти его множество значений. Является ли это преобразование сюръективным, инъективным, изоморфизмом?

(3)

Пусть $\mathcal{M}$ — пространство многочленов с нулевым свободным членом, $I: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{M}$ — операция интегрирования и $D: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{P}$ — дифференцирование. Доказать, что эти линейные отображения взаимно обратны.

Задача 23.45

(1)(2)(3)

Пусть $\mathcal{F}$ — линейное пространство функций $f(t)$ , непрерывных на отрезке $\left[ - 1, 1\right], \tilde{\mathcal{F}}$ — линейное пространство непрерывно дифференцируемых на $\left[ - 1, 1\right]$ функций $f(t)$ таких, что $f(0) = 0, \mathcal{G}$ и $\mathcal{H}$ — подпространства четных и нечетных функций в $\mathcal{F}$ соответственно.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Интегрирование $I$ из задачи 23. 44 $( - 1 \leqslant t \leqslant 1)$ рассматривается как линейное преобразование пространства $\mathcal{F}$ . Является ли это преобразование инъективным, сюръективным? Обратимо ли оно?

(2)

Доказать, что интегрирование определяет изоморфизм $I: \mathcal{F} \rightarrow \tilde{\mathcal{F}}$ . Найти для него обратное отображение.

(3)

Показать, что интегрирование определяет линейные отображения $I_{1}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{H}$ и $I_{2}: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{G}$ . Ответить для этих отображений на вопросы п. 1).

Задача 23.46

Пусть линейное преобразование пространства всех многочленов от $t$ переводит каждый многочлен $t^{k}$ в $t^{2k}(k = 0, 1, 2, \ldots )$ . Убедиться в том, что это преобразование инъективно, но не сюръективно. Найти множество его значений.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.47

(1)(2)

Пусть $\mathcal{R}_{m \times n}$ — линейное пространство матриц размеров $m \times n$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Доказать, что умножение матриц размеров $m \times n$ слева на фиксированную матрицу $A$ размеров $k \times m$ есть линейное отображение $\varphi : \mathcal{R}_{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}_{k \times n}$ . Вычислить матрицу отображения $\varphi$ в стандартных базисах, если $n = 2, A = \mathbf{A}_{27}$ . Найти ядро и множество значений этого отображения. $\mathbf{A}_{27} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

Доказать, что умножение матриц размеров $m \times n$ справа на фиксированную матрицу $B$ размеров $n \times k$ есть линейное отображение $\varphi : \mathcal{R}_{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}_{m \times k}$ . Вычислить матрицу отображения $\varphi$ в стандартных базисах, если $m = 2, B = \mathbf{A}_{126}$ . Найти ядро и множество значений отображения $\varphi$ . $\mathbf{A}_{126} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.48

(1)(2)(3)

Пусть $\mathbf{x}_{1}, \ldots , \mathbf{x}_{n}$ — столбцы матрицы $X = \left\| \mathbf{x}_{1} \ldots \mathbf{x}_{n}\right\|$ размеров $m \times n$ , и $Y = \left\| \mathbf{x}_{1} \ldots \mathbf{x}_{n - 1}\right\|$ . Отображение $\varphi : \mathcal{R}_{m \times n} \rightarrow \mathcal{R}_{m\times (n - 1)}$ определим равенством $\varphi (X) = Y$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Доказать, что отображение $\varphi$ линейно, найти его ядро и множество значений.

(2)

Вычислить матрицу отображения $\varphi$ в стандартных базисах пространств.

(3)

Показать, что $\varphi$ является одним из отображений, определенных в задаче 23. 47, для подходящей матрицы $B$ .

Задача 23.49

Пусть $M_{1}, \ldots , M_{n}$ — фиксированные матрицы порядка $m, \mathbf{x} = \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)^{T}$ . Отображение $\varphi : \mathcal{R}_{n} \rightarrow \mathcal{R}_{m \times m}$ определим формулой $\varphi (\mathbf{x}) = x_{1} M_{1} + \ldots + x_{n} M_{n}$ . Доказать линейность отображения $\varphi$ . Найти ядро, множество значений, ранг и вычислить матрицу $A$ отображения $\varphi$ в стандартных базисах, если $n = 4, \quad M_{1} = \mathbf{A}_{12}, \quad M_{2} = \mathbf{A}_{13}, \quad M_{3} = \mathbf{A}_{16}, \quad M_{4} = \mathbf{A}_{20}$ . $\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.50

В линейном пространстве вещественных многочленов $p(x, y)$ от двух переменных $x, y$ преобразование $\varphi$ определено формулой $\varphi (p(x, y)) = p(x + a, y + b)(a, b$ — фиксированные числа). Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование пространства многочленов не выше второй степени, и вычислить его матрицу в базисе $1, x, y, x^{2}, xy, y^{2}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.51

(1)(2)(3)

Показать, что однородные многочлены степени $n$ вида $p(x, y) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{n - k} y^{k}$ образуют линейное подпространство $\mathcal{H}^{(n)}$ пространства всех многочленов от двух переменных. Преобразование $\varphi$ определено одной из следующих формул:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\varphi (p) = x\frac{\partial p}{\partial y}$ ;

(2)

$\varphi (p) = y\frac{\partial p}{\partial x}$ ;

(3)

$\varphi (p) = x\frac{\partial p}{\partial x} - y\frac{\partial p}{\partial y}$ .

Доказать, что $\varphi$ — линейное преобразование пространства $\mathcal{H}^{(n)}$ , и вычислить его матрицу в базисе $x^{n}, x^{n-1} y, \ldots , x y^{n-1}, y^{n}$ . Найти ядро и множество значений преобразования $\varphi$ .

Подпараграф

23.2 · Матрицы линейных отображений и преобразований в разных базисах. Подобные матрицы (23.52-23.77)[26/81%]

Задача 23.52

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис в линейном пространстве $\mathcal{L}$ , a $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — произвольные векторы из линейного пространства $\widetilde{\mathcal{L}}$ . Доказать, что существует единственное линейное отображение $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \widetilde{\mathcal{L}}$ такое, что $\varphi \left(e_{i}\right) = f_{i}(i = 1, \ldots , n)$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.53

(1)(2)

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Пусть $a_{1}, \ldots , a_{k}$ — линейно независимые векторы линейного пространства $\mathcal{L}$ , а $b_{1}, \ldots , b_{k}$ — некоторые векторы пространства $\widetilde{\mathcal{L}}$ . Доказать, что существует линейное отображение $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \widetilde{\mathcal{L}}$ такое, что $\varphi \left(a_{i}\right) = b_{i}(i = 1, \ldots , k)$ . В каком случае отображение $\varphi$ единственно?

(2)

Пусть $a_{1}, \ldots , a_{k}$ — векторы из $\mathcal{L}$ , а $b_{1}, \ldots , b_{k}$ — векторы из $\widetilde{\mathcal{L}}$ . Сформулировать необходимые и достаточные условия, при которых:

(1) существует линейное отображение $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \widetilde{\mathcal{L}}$ такое, что $\varphi \left(a_{i}\right) = b_{i}(i = 1, \ldots , k)$ ;

(2) это отображение единственно.

Задача 23.54

(1)(2)(3)

Пусть $A$ — невырожденная матрица порядка $n, B$ матрица размеров $m \times n$ . Доказать, что существует единственное линейное отображение $n$ -мерного арифметического пространства в $m$ -мерное, при котором образами столбцов матрицы $A$ являются соответствующие столбцы матрицы $B$ . Найти матрицу этого отображения:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

в стандартных базисах пространств

(2)

в базисе пространства $\mathcal{R}_{n}$ из столбцов матрицы $A$ и стандартном базисе пространства $\mathcal{R}_{m}$

(3)

в базисе пространства $\mathcal{R}_{n}$ из столбцов матрицы $A$ и базисе пространства $\mathcal{R}_{m}$ из столбцов матрицы $B$ (при условии, что $m = n$ и $B$ невырождена).

Задача 23.55

(1)(2)(3)

Пусть $A$ и $B$ — невырожденные матрицы порядка $n$ . Доказать, что существует единственное линейное преобразование $n$ -мерного арифметического пространства, переводящеее столбцы матрицы $A$ в соответствующие столбцы матрицы $B$ . Найти матрицу этого преобразования:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

в стандартном базисе

(2)

в базисе из столбцов матрицы $A$

(3)

в базисе из столбцов матрицы $B$ .

Задача 23.56

(1)(2)(3)(4)

Линейное преобразование $\varphi$ двумерного арифметического пространства переводит вектор $\mathbf{a}_{i}$ в вектор $\mathbf{b}_{i}(i = 1, 2)$ . Вычислить матрицу преобразования $\varphi$ в стандартном базисе, если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ - 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} - 1\\ 2\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 0\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} - 3\\ 1\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ - 3\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} - 2\\ - 2\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ 4\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} - 5\\ 3\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} - 3\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ 15\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$

(4)

$\mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 3\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{b}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \end{smallmatrix}\right]$ , $\mathbf{b}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} - \sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.57

(1)(2)(3)(4)

Матрищы $A, B$ составлены из координатных столбцов векторов $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ в некотором базисе $e$ трехмерного линейного пространства $\mathcal{L}$ . Для приведенных ниже случаев проверить, что существует единственное линейное преобразование $\varphi$ пространства $\mathcal{L}$ , переводящее векторы $a_{i}$ в $b_{i} (i = 1, 2, 3)$ . Вычислить матрицу преобразования $\varphi$ :

(1) в базисе е;

(2) в базисе $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ,

если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{265}, B = \mathbf{A}_{266}$ . $\mathbf{A}_{265} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{266} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -6 & 6 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{268}, B = \mathbf{A}_{269}$ . $\mathbf{A}_{268} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{269} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{270}, B = \mathbf{A}_{271}$ . $\mathbf{A}_{270} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{271} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{229}, B = \mathbf{A}_{272}$ . $\mathbf{A}_{229} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{272} = \left[\begin{smallmatrix} -6 & 5 & 0 \\ 0 & -6 & -2 \\ 3 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.58

(1)(2)

Показать, что существует и единственно линейное отображение $\varphi : \mathcal{R}_{n} \rightarrow \mathcal{R}_{m}$ , переводящее столбцы данной матрицы $A$ в соответствующие столбцы матрицы $B$ . Найти матрицу отображения $\varphi$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

в стандартных базисах пространств $\mathcal{R}_{n}$ и $\mathcal{R}_{m}$

(2)

в базисе пространства $\mathcal{R}_{n}$ , состоящем из столбцов матрицы $A$ , и стандартном базисе пространства $\mathcal{R}_{m}$ .

(1) $n = 2, m = 3, A = \mathbf{A}_{33}, B = \mathbf{A}_{140}$ ;

(2) $n = 3, m = 2, A = \mathbf{A}_{276}, B = \mathbf{A}_{394}$ ;

(3) $n = 2, m = 5, A = \mathbf{A}_{34}, B = \mathbf{A}_{171}$ ;

(4) $n = 4, m = 2, A = \mathbf{A}_{467}, B = \mathbf{A}_{505}$ ;

(5) $n = 3, m = 4, A = \mathbf{A}_{227}, B = \mathbf{A}_{407}$ ;

(6) $n = 4, m = 3, A = \mathbf{A}_{484}, B = \mathbf{A}_{518}$ .

$\mathbf{A}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{140} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & -1 \\ 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{276} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{394} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} 8 & 5 \\ -2 & -3 \\ 24 & 17 \\ 16 & 11 \\ -10 & -13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{467} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 5 & 9 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & -2 \\ -1 & 3 & 2 & -2 \\ 7 & 7 & 6 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{505} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 35 & 19 & 2 \\ 8 & 33 & 19 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{227} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{407} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & -2 & -6 \\ 2 & 1 & 3 \\ 14 & 7 & 21 \\ -6 & -3 & -9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{484} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{518} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 & 2 & -8 \\ 16 & 8 & 24 & -16 \\ 0 & 4 & -4 & 16 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.59

(1)(2)(3)(4)

Выяснить, существует ли линейное преобразование $\varphi$ , переводящее столбцы матрицы $A$ в соответствующие столбцы матрицы $B$ . В случае существования вычислить матрицу $\varphi$ в стандартном базисе:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{5}, B = \mathbf{A}_{35}$ . $\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{35} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{5}, B = \mathbf{A}_{12}$ . $\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{277}, B = \mathbf{A}_{278}$ . $\mathbf{A}_{277} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \\ -3 & 0 & -6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{278} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 & -8 \\ -6 & 2 & -12 \\ 8 & -3 & 16 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{213}, B = \mathbf{A}_{279}$ . $\mathbf{A}_{213} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{279} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \\ -3 & -5 & -6 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.60

(1)(2)(3)(4)

При линейном отображении $\varphi : \mathcal{R}_{n} \rightarrow \mathcal{R}_{m}$ столбцы матрицы $A$ переходят в соответствующие столбщы матрицы $B$ . Выяснить, является ли отображение $\varphi$ инъективным, сюръективным, найти размерность ядра и ранг отображения $\varphi$ . Вычислить образ вектора а, если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{123}, \quad B = \mathbf{A}_{24}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 7\\ 3\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{123} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{392}, \quad B = \mathbf{A}_{230}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 3\\ 1\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{392} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{230} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{422}, \quad B = \mathbf{A}_{201}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ - 4\\ - 3\\ 12\\ 2\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{422} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & 9 \\ 2 & -11 & -15 \\ 9 & 2 & 8 \\ -20 & 13 & 5 \\ -3 & 4 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{241}, \quad B = \mathbf{A}_{420}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 16\\ 5\\ - 6\end{smallmatrix}\right]$ . $\mathbf{A}_{241} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & -1 & 1 \\ 5 & -5 & 5 \\ 4 & -9 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{420} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -2 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -5 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.61

(1)(2)(3)(4)

Показать, что существует единственное линейное преобразование комплексного арифметического пространства $\mathcal{C}_{n}$ , переводящее столбцы данной матрицы $A$ в соответствующие столбцы матрицы $B$ . Вычислить матрицу этого преобразования в стандартном базисе, если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$n = 2, A = \mathbf{A}_{92}, B = \mathbf{A}_{93}$ . $\mathbf{A}_{92} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{93} = \left[\begin{smallmatrix} i-1 & i+1 \\ i+1 & i-1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$n = 2, A = \mathbf{A}_{94}, B = \mathbf{A}_{95}$ . $\mathbf{A}_{94} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{95} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 2 i \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$n = 2, A = \mathbf{A}_{96}, B = \mathbf{A}_{97}$ . $\mathbf{A}_{96} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{97} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ -1 & 2 i \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$n = 3, A = \mathbf{A}_{373}, B = \mathbf{A}_{374}$ . $\mathbf{A}_{373} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3+i & 3-i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{374} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 i & -2 i \\ 1 & 2 i & -2 i \\ 1 & 3 i-1 & -3 i-1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.62

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

Линейное преобразование $\varphi$ имеет в данном базисе матрицу $A$ , а координатные столбцы новых базисных векторов образуют матрицу $S$ . Вычислить матрицу преобразования в новом базисе, если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{36}, S = \mathbf{A}_{33}$ . $\mathbf{A}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{37}, S = \mathbf{A}_{16}$ . $\mathbf{A}_{37} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 5 \\ 5 & -4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{38}, S = \mathbf{A}_{39}$ . $\mathbf{A}_{38} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 3 \\ -3 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{39} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{40}, S = \mathbf{A}_{104}$ . $\mathbf{A}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{104} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$A = \mathbf{A}_{280}, S = \mathbf{A}_{203}$ . $\mathbf{A}_{280} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 8 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$A = \mathbf{A}_{281}, S = \mathbf{A}_{282}$ . $\mathbf{A}_{281} = \left[\begin{smallmatrix} -9 & 3 & 7 \\ 1 & 1 & -1 \\ -11 & 3 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{282} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$A = \mathbf{A}_{283}, S = \mathbf{A}_{284}$ . $\mathbf{A}_{283} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \\ -2 & -3 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{284} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

$A = \mathbf{A}_{285}, S = \mathbf{A}_{265}$ . $\mathbf{A}_{285} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{265} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(9)

$A = \mathbf{A}_{469}, S = \mathbf{A}_{470}$ . $\mathbf{A}_{469} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -1 & 3 & -7 \\ -3 & 0 & 3 & -7 \\ 3 & 1 & -2 & 7 \\ 3 & 1 & -3 & 8 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{470} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(10)

$A = \mathbf{A}_{471}, S = \mathbf{A}_{439}$ . $\mathbf{A}_{471} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{439} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.63

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Линейное преобразование комплексного арифметического пространства имеет в стандартном базисе матрицу $A$ . Новый базис задан матрицей перехода $S$ . Вычислить матрицу преобразования в новом базисе:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{87}, S = \mathbf{A}_{94}$ . $\mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{94} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{79}, S = \mathbf{A}_{80} \quad \left(\varepsilon = e^{2\pii / 3}\right)$ . $\mathbf{A}_{79} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & \varepsilon \\ \varepsilon^{-1} & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{80} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -\varepsilon \\ -\varepsilon & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{263}, S = \mathbf{A}_{375}$ . $\mathbf{A}_{263} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -3 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{375} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i & 1-i \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -i & i \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{259}, S = \mathbf{A}_{363} \quad \left(\omega = e^{2\pi i / 3}\right)$ . $\mathbf{A}_{259} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{363} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$A = \mathbf{A}_{472}, S = \mathbf{A}_{473}$ . $\mathbf{A}_{472} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{473} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$A = \mathbf{A}_{474}, S = \mathbf{A}_{475}$ . $\mathbf{A}_{474} = \left[\begin{smallmatrix} -5 & -2 & -3 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{475} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & -i & -1 & i \\ -i & 3 i-3 & i & -3-3 i \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.64

(1)(2)(3)(4)

Линейное отображение $n$ -мерного арифметического пространства в $m$ -мерное задано в стандартных базисах матрицей $A$ , столбцы новых базисных векторов $\mathbf{f} = \left(f_{1}, \ldots , f_{n}\right)$ и $\mathbf{g} = \left(g_{1}, \ldots , g_{m}\right)$ составляют соответственно матрицы $S$ и $T$ . Вычислить матрицу отображения в базисах $\mathbf{f}$ и $\mathbf{g}$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$n = 3, \quad m = 2, \quad A = \mathbf{A}_{392}, \quad S = \mathbf{A}_{286}, \quad T = \mathbf{A}_{42}$ . $\mathbf{A}_{392} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{286} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 2 & 6 & 4 \\ -3 & -5 & -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{42} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$n = 4, \quad m = 2, \quad A = \mathbf{A}_{502}, \quad S = \mathbf{A}_{476}, \quad T = \mathbf{A}_{10}$ . $\mathbf{A}_{502} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 7 & -3 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{476} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$n = 2, \quad m = 3, \quad A = \mathbf{A}_{117}, \quad S = \mathbf{A}_{9}, \quad T = \mathbf{A}_{227}$ . $\mathbf{A}_{117} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{9} = \left[\begin{smallmatrix} 9 & -5 \\ -5 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{227} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$n = 3, \quad m = 4, \quad A = \mathbf{A}_{403}, \quad S = \mathbf{A}_{285}, \quad T = \mathbf{A}_{495}$ . $\mathbf{A}_{403} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & 7 & 5 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 5 & 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{285} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{495} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.65

(1)(2)(3)

Вычислить матрицу линейного преобразования $\varphi$ множества векторов плоскости с заданным на ней базисом, если $\varphi$ есть:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

отражение плоскости в прямой $x + 2y = 0$ параллельно прямой $x + 3y = 0$

(2)

проектирование плоскости на прямую $x + y = 0$ параллельно прямой $4x + 5y = 0$

(3)

сжатие с коэффициентом $\lambda = 2$ к прямой $3x - 2y = 0$ параллельно прямой $x - y = 0$ .

Задача 23.66

(1)(2)(3)(4)(5)

Вычислить матрицу линейного преобразования $\varphi$ трехмерного геометрического векторного пространства (в котором задан ортонормированный базис), пользуясь надлежащей заменой базиса, если $\varphi$ есть:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

проектирование на плоскость $3x - y = 0$ параллельно прямой $x + z = 0, x + y + 2z = 0$

(2)

отражение пространства в прямой $x = y = - 2z$ параллельно плоскости $x + y + 3z = 0$

(3)

сжатие с коэффициентом $\lambda = 2$ к плоскости $x - 2z = 0$ параллельно прямой $x = y = z$

(4)

поворот вокруг прямой $x = y = - z$ на угол $\pi / 2$

(5)

поворот вокруг прямой $x + y = 0, y - z = 0$ на такой угол, что первая из данных плоскостей переходит во вторую.

Задача 23.67

(1)(2)(3)(4)(5)

Пусть $D$ — дифференцирование в пространстве многочленов степени не выше $m$ . Вычислить матрицу преобразования $D$ , если базис состоит из многочленов:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$1 + t, t + 2t^{2}, 3t^{2} - 1\quad (m = 2)$

(2)

$t^{3} + 1, 1 - t, 1 - t + t^{2}, 1 - t + t^{2} - t^{3} \quad (m = 3)$

(3)

$1, 1 + t, 1 + \frac{t}{1!} + \frac{t^{2}}{2!}, \ldots , 1 + \frac{t}{1!} + \ldots + \frac{t^{m}}{m!} \quad (m \geqslant 1)$

(4)

$1, 1 + t, 1 + t + t^{2}, \ldots , 1 + t + \ldots + t^{m} \quad (m \geqslant 1)$

(5)

$1, t - 1, t^{2} - t, \ldots , t^{m} - t^{m - 1} \quad (m \geqslant 1)$ .

Задача 23.68

(1)(2)(3)

Вычислить матрицу преобразования дифференцирования в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше $n$ (см. задачу 23. 43), если базис состоит из функций:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$1, \cos t - \sin t, \cos t + \sin t, \ldots , \cos nt - \sin nt, \cos nt + \sin nt(n \geqslant 1)$

(2)

$1, 1 + \cos t, \ldots , 1 + \cos t + \ldots + \cos nt, \sin t, \ldots , \sin t + \ldots \ldots + \sin nt$

(3)

$2\cos^{2} t, 2\sin^{2} t, \quad \sin t + \cos t, \quad \sin t - \cos t, \quad (\sin t + \cos t)^{2} (n = 2)$ .

Задача 23.69

(1)(2)(3)(4)

Как изменится матрица линейного отображения, заданная в паре базисов $e_{1}, \ldots , e_{n}; f_{1}, \ldots , f_{m}$ , если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

поменять местами векторы $e_{i}$ и $e_{j}$

(2)

поменять местами векторы $f_{k}$ и $f_{l}$ ; $\mu \neq 0$

(3)

вектор $e_{i}$ умножить на число $\lambda \neq 0$ , а $f_{k}$ умножить на

(4)

вектор $e_{i}$ заменить на $e_{i} + e_{j}$ , а вектор $f_{k}$ — на $f_{k} - f_{l} (i \neq j, k \neq l)$ ?

Задача 23.70

(1)(2)(3)(4)(5)

Как изменится матрица линейного преобразования, заданная в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ , если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

поменять местами векторы $e_{i}$ и $e_{j}$

(2)

вектор $e_{i}$ умножить на число $\lambda \neq 0$

(3)

вектор $e_{i}$ заменить на $e_{i} + e_{j}$

(4)

перейти к базису $e_{n}, e_{1}, \ldots , e_{n - 1}$

(5)

перейти к базису $e_{n}, e_{n - 1}, \ldots , e_{1}$ ?

Задача 23.71

(1)(2)

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Пусть $A$ и $B$ — матрицы линейного отображения в двух парах базисов. Доказать, что $B$ можно получить из $A$ элементарными преобразованиями строк и столбцов.

(2)

Пусть $A$ и $B$ — матрицы линейного преобразования в двух базисах. Доказать, что $B$ можно получить из $A$ согласованными друг с другом элементарными преобразованиями строк и столбцов.

Задача 23.72

(1)(2)

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \tilde{\mathcal{L}}$ — линейное отображение. Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

если базисный вектор линейного пространства $\mathcal{L}$ принадлежит ядру $\varphi$ , то соответствующий столбец матрицы отображения нулевой

(2)

если $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис пространства $\mathcal{L}$ , причем век — торы $e_{r + 1}, \ldots , e_{n}(r \leqslant n)$ образуют базис ядра $\varphi$ , то векторы $\varphi \left(e_{1}\right), \ldots , \varphi \left(e_{r}\right)$ образуют базис в $\varphi (\mathcal{L})$ .

Задача 23.73

Доказать, что для всякого линейного отображения $\varphi$ существует пара базисов, в которых матрица отображения имеет простейший вид $\left[\begin{smallmatrix} E & O \\ O & O\end{smallmatrix}\right]$ . Чему равен порядок матрицы $E$ ?

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.74

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

В стандартных базисах арифметических пространств $\mathcal{R}_{n}$ и $\mathcal{R}_{m}$ линейное отображение $\varphi$ имеет матрицу $A$ . Найти пару базисов, в которой матрица отображения $\varphi$ имеет простейший вид (см. задачу 23. 73):

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$A = \mathbf{A}_{12}$ . $\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{32}$ . $\mathbf{A}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 10 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{253}$ . $\mathbf{A}_{253} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$A = \mathbf{A}_{288}$ . $\mathbf{A}_{288} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$A = \mathbf{A}_{576}$ . $\mathbf{A}_{576} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$A = \mathbf{A}_{420}$ . $\mathbf{A}_{420} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -2 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -5 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.75

Пусть $A$ — матрица линейного преобразования в некотором базисе. Доказать, что матрица, полученная из $A$ центральной симметрией, является матрицей того же преобразования в другом базисе.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.76

(1)(2)

Доказать, что подобны матрицы:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\mathbf{A}_{77}$ и обратная к ней. $\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{259}$ и $\mathbf{A}_{260}$ . $\mathbf{A}_{259} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{260} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 23.77

Найти все матрицы, каждая из которых подобна только самой себе.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Подпараграф

23.3 · Операции с линейными отображениями и преобразованиями (23.78-23.104)[27/44%]

Задача 23.78

(1)(2)

Даны линейные отображения $\varphi : \mathcal{R}_{n} \rightarrow \mathcal{R}_{m}, \psi$ : $\mathcal{R}_{l} \rightarrow \mathcal{R}_{k}$

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Указать условия на $m, n, k, l$ , необходимые и достаточные для существования произведений $\varphi \psi$ и $\psi \varphi$ .

(2)

Пусть $\chi = \varphi \psi$ . Показать, что $\chi$ — линейное отображение. Как связаны матрицы отображений $\varphi , \psi , \chi$ ?

Задача 23.79

(1)(2)(3)(4)

Пусть $\varphi , \psi , \chi$ — линейные отображения арифметических линейных пространств, $\alpha$ — число. При каких условиях на размерности пространств справедливо каждое из следующих равенств:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\varphi (\psi \chi ) = (\varphi \psi ) \chi$

(2)

$\varphi (\psi + \chi ) = \varphi \psi + \varphi \chi$

(3)

$(\varphi + \psi ) \chi = \varphi \chi + \psi \chi$

(4)

$\alpha (\varphi + \psi ) = \alpha \varphi + \alpha \psi$ ?

Показать, что матрицы данных отображений удовлетворяют тем же равенствам.

Задача 23.80

Доказать, что всякое линейное отображение представимо в виде произведения сюръективного и инъективного линейных отображений.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.81

Пусть $\mathcal{L} = \mathcal{L}^{\prime } \oplus \mathcal{L}^{\prime \prime }$ , где $\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime }$ — ненулевые подпространства линейного пространства $\mathcal{L}$ . Показать, что тождественное преобразование представляется в виде суммы $\iota = \pi_{1} + \pi_{2}$ , где $\pi_{1}\left(\pi_{2}\right)$ — проектирование пространства $\mathcal{L}$ на подпространство $\mathcal{L}^{\prime }\left(\mathcal{L}^{\prime \prime }\right)$ параллельно подпространству $\mathcal{L}^{\prime \prime }\left(\mathcal{L}^{\prime }\right)$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.82

(1)(2)(3)

Координатные столбцы векторов $a_{1}, a_{2}, a_{3}; b_{1}, b_{2}$ , $b_{3}; c_{1}, c_{2}, c_{3}$ образуют соответственно матрицы $\mathbf{A}_{289}, \mathbf{A}_{229}, \mathbf{A}_{285}$ . Линейное преобразование $\varphi$ переводит векторы $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ в $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ , а линейное преобразование $\psi$ переводит $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ в $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ соответственно. Найти матрицу преобразования $\psi \varphi$ :. $\mathbf{A}_{289} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{229} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{285} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

в исходном базисе

(2)

в базисе $a_{1}, a_{2}, a_{3}$

(3)

в базисе $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ .

Задача 23.83

(1)(2)(3)(4)(5)

Пусть $\varphi , \psi$ — линейные преобразования двумерного арифметического пространства, $\varphi$ имеет матрицу $\mathbf{A}_{44}$ в стандартном базисе, а $\psi$ — матрицу $\mathbf{A}_{107}$ в базисе из столбцов матрицы $\mathbf{A}_{45}$ . Вычислить матрицу преобразования:. $\mathbf{A}_{44} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 \\ 4 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{107} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{45} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\varphi^{2} - 6\varphi + 9\iota$ ;

(2)

$\psi^{2} + 4\psi + 4\iota$

(3)

$\varphi^{2} - \psi^{2}$ в стандартном базисе

(4)

$4\varphi \psi^{ - 1}$ в базисе из столбцов матрицы $\mathbf{A}_{45}$ . $\mathbf{A}_{45} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$(\varphi + \psi )^{4}$ в базисе, образованном столбцами $\left[\begin{smallmatrix} 1\\ 2\end{smallmatrix}\right]$ , $\left[\begin{smallmatrix} 0\\ - 1\end{smallmatrix}\right]$

Задача 23.84

Пусть $\mathcal{P}^{(n)}$ — пространство многочленов степени не выше $n$ $(n \geqslant 1)$ с вещественными коэффициентами. Отображения

\varphi : \mathcal{P}^{(n - 1)} \rightarrow \mathcal{P}^{(n)}, \quad \psi : \mathcal{P}^{(n)} \rightarrow \mathcal{P}^{(n - 1)}

определим формулами

\begin{align} \varphi (a_0 + a_1t + \ldots + a_{n-1}t^{n-1}) & = a_0t + a_1 t^2 + \ldots + a_{n-1}t^{n}, \psi (a_0 + a_1t + \ldots + a_{n}t^{n}) & = a_1 + \ldots + a_{n}t^{n-1}, \end{align}

Проверить линейность отображений и показать, что $\psi \varphi$ — тождественное преобразование, а $\varphi \psi$ — нет.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.85

(1)(2)

Пусть $\mathcal{L}$ — линейное пространство функций с базисом $e$ , $D$ — дифференцирование. Найти матрицу преобразования $D^{k}(k = 1, 2, \ldots )$ , если:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\mathcal{L}$ — пространство многочленов степени не выше $n$ , $\mathbf{e} = \left(1, t, \ldots , t^{n} / n!\right)$

(2)

$\mathcal{L}$ — пространство тригонометрических многочленов порядка не выше $n$ (см. задачу 23. 43 $), \mathbf{e} = (1, \cos t, \sin t, \ldots , \cos nt$ , $\sin nt)$ .

Задача 23.86

(1)(2)(3)(4)

В пространстве всех многочленов от $t$ рассматриваются линейные преобразования: $\tau$ — умножение на $t$ и дифференцирование $D = \frac{d}{dt}$ . Найти преобразование:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\tau D$

(2)

$D\tau$

(3)

коммутатор $\left[D, \tau \right] = D\tau - \tau D$ .

(4)

Доказать равенство $\quad D^{m} \tau - \tau D^{m} = mD^{m - 1} \quad (m = 1, 2, \ldots ; \quad D^{0} = \iota )$ .

Задача 23.87

Доказать, что коммутатор $\left[\varphi , \psi \right] = \varphi \psi - \psi \varphi$ двух линейных преобразований конечномерного линейного пространства не может быть тождественным преобразованием (ср. задачу 15. 130).

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.88

Доказать, что матрицы подобных линейных преобразований подобны.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.89

Доказать, что отношение подобия между линейными преобразованиями является отношением эквивалентности (т. е. $\varphi \sim \varphi$ ; из $\varphi \sim \psi$ следует $\psi \sim \varphi$ ; из $\varphi \sim \psi$ и $\psi \sim \chi$ следует $\varphi \sim \chi )$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.90

(1)(2)

Пусть $\varphi , \psi$ — линейные преобразования линейного пространства $\mathcal{L}$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

если $\psi$ подобно $\varphi$ , то для любого базиса $e$ пространства $\mathcal{L}$ существует такой базис $\mathbf{e}^{\prime }$ , что матрица преобразования $\psi$ в базисе $\mathbf{e}^{\prime }$ совпадает с матрицей $\varphi$ в базисе $\mathbf{e;}$

(2)

если для преобразований $\varphi$ и $\psi$ в $\mathcal{L}$ существуют такие базисы $e$ и $\mathbf{e}^{\prime }$ , что матрица преобразования $\varphi$ в базисе $e$ совпадает с матрицей преобразования $\psi$ в базисе $\mathbf{e}^{\prime }$ , то $\varphi$ и $\psi$ подобны.

Задача 23.91

(1)(2)

Пусть линейные преобразования $\varphi$ и $\psi$ подобны. Показать, что подобны также преобразования:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$p(\varphi ) = a_{0} \iota + a_{1} \varphi + \ldots + a_{n} \varphi^{n}$ и $p(\psi )$ , где $p(t) = a_{0} + a_{1} t + \ldots + a_{n} t^{n}$ — произвольный многочлен

(2)

$\varphi^{ - 1}$ и $\psi^{ - 1}$ , если $\varphi$ и $\psi$ обратимы.

Задача 23.92

(1)(2)

Пусть $\varphi$ и $\psi$ — линейные преобразования некоторого линейного пространства, хотя бы одно из которых невырождено.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Доказать, что преобразования $\varphi \psi$ и $\psi \varphi$ подобны.

(2)

Сформулировать и доказать матричный вариант этого утверждения.

Задача 23.93

Доказать, что линейное отображение ранга $r$ представимо в виде суммы $r$ линейных отображений ранга 1, но не представимо в виде суммы меньшего числа таких отображений (ср. задачу 16. 33).

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.94

Пусть $\varphi , \psi$ — линейные отображения пространства $\mathcal{L}$ в $\widetilde{\mathcal{L}}$ . Доказать, что $\operatorname {rg}(\varphi + \psi ) \leqslant \operatorname {rg} \varphi + \operatorname {rg} \psi ($ cp. задачу $16. 34, 6)$ ).

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.95

(1)(2)(3)

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{M}, \psi : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{N}$ — линейные отображения, $\operatorname {dim} \mathcal{M} = m$ . Доказать:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\operatorname {rg} \varphi + \operatorname {rg} \psi - m\leqslant \operatorname {rg}(\psi \varphi ) \leqslant \min (\operatorname {rg} \varphi , \operatorname {rg} \psi$ ) (неравенства Сильвестра)

(2)

$\operatorname {dim} \operatorname {Ker}(\psi \varphi ) \geqslant \operatorname {dim} \operatorname {Ker} \varphi + \operatorname {dim} \operatorname {Ker} \psi$

(3)

если $\psi \varphi = \theta$ , то $\operatorname {rg} \varphi + \operatorname {rg} \psi \leqslant m$ (напомним, что через $\theta$ обозначено нулевое отображение).

Задача 23.96

Пусть $\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L}$ — линейное преобразование. Доказать, что для любого $k$ , удовлетворяющего условию $\operatorname {rg} \varphi \leqslant k \leqslant n = \operatorname {dim} \mathcal{L}$ , существует линейное преобразование $\psi$ такое, что $\psi \varphi = \theta$ и $\operatorname {rg} \varphi + \operatorname {rg} \psi = k$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.97

Доказать, что для любых двух перестановочных линейных преобразований $\varphi$ и $\psi$ имеет место включение $\operatorname {Ker} \varphi + \operatorname {Ker} \psi \subseteq \operatorname {Ker}(\varphi \psi )$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.98

(1)(2)

Пусть $\varphi$ — линейное преобразование $n$ -мерного линейного пространства и $\varphi^{2} = \iota$ . Доказать, что:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

$\operatorname {rg}(\varphi + \iota ) + \operatorname {rg}(\varphi - \iota ) = n$

(2)

$\operatorname {dim} \operatorname {Ker}(\varphi + \iota ) + \operatorname {dim} \operatorname {Ker}(\varphi - \iota ) = n$ .

Задача 23.99

Пусть $\varphi , \psi , \chi$ — такие линейные отображения, что произведение $\varphi \psi \chi$ существует. Доказать, что

\operatorname {rg}(\varphi \psi ) + \operatorname {rg}(\psi \chi ) \leqslant \operatorname {rg} \psi + \operatorname {rg}(\varphi \psi \chi ).

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

Задача 23.100

(1)(2)(3)

Пусть $\mathcal{P}, \mathcal{Q}$ — вещественные линейные пространства и $L(\mathcal{P}, \mathcal{Q})$ — множество всех линейных отображений $\varphi : \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{Q}$ .

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

Доказать, что $L(\mathcal{P}, \mathcal{Q})$ — линейное пространство относительно операций сложения линейных отображений и умножения отображения на число.

(2)

Пусть $\operatorname {dim} \mathcal{P} = n, \operatorname {dim} \mathcal{Q} = m$ . Построить базис пространства $L(\mathcal{P}, \mathcal{Q})$ и найти его размерность.

(3)

Показать, что в условиях п. 2) пространство $L(\mathcal{P}, \mathcal{Q})$ изоморфно пространству $\mathcal{R}_{m \times n}$ вещественных матриц размеров $m \times n$ .

Задача 23.101

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Выяснить, образует ли данное множество линейных отображений линейное подпространство в $L(\mathcal{P}, \mathcal{Q})$ (см. задачу 23. 100):

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

множество всех отображений ранга $k \geqslant 1$ ; $k \geqslant 1$

(2)

множество всех отображений ранга, не превосходящего

(3)

множество всех отображений, ядра которых содержат некоторое фиксированное подпространство из $\mathcal{P}$

(4)

множество всех инъективных отображений

(5)

множество всех сюръективньх отображений

(6)

множество всех отображений, множества значений которых содержатся в фиксированном подпространстве из $\mathcal{Q}$ .

Задача 23.102

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

Пусть в линейном пространстве $\mathcal{L}$ задан базис е. Доказать, что данное множество линейных преобразований пространства $\mathcal{L}$ является группой относительно операции умножения преобразований:

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

множество всех невырожденных преобразований

(2)

множество всех преобразований с определителем, равным 1

(3)

множество всех невырожденных преобразований, матрицы которых в базисе $e$ верхние треугольные

(4)

множество всех невырожденных преобразований, заданных в базисе $e$ диагональными матрицами

(5)

множество всех гомотетий $\lambda \iota$ , где число $\lambda$ отлично от 0

(6)

множество всех преобразований, имеющих в базисе $e$ матрицы перестановок.

Задача 23.103

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

В линейном пространстве $\mathcal{L}$ дан базис е. Является ли группой относительно умножения данное множество линейных преобразований пространства $\mathcal{L}$ :

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника

(1)

множество всех линейных преобразований

(2)

множество всех преобразований, матрицы которых диагональны в базисе е

(3)

множество всех невырожденных преобразований, которые в базисе $e$ задаются целочисленными матрицами, т. е. матрицами $\left\| a_{i\jmath }\right\|$ , где $a_{ij}$ — целые числа

(4)

множество всех преобразований, матрицы которых в базисе $e$ целочисленны и имеют определители, равные 1 или - 1

(5)

множество всех преобразований с данным определителем $d$

(6)

множество всех невырожденных преобразований, имеюццих в базисе $e$ матрицы, каждая строка и каждый столбец которых содержат ровно по одному ненулевому элементу?

Задача 23.104

В технике используется уголковый отражатель. Он представляет собой трехгранный угол, грани которого — взаимно перпендикулярные зеркала. Доказать, что луч света, выпущенный из точки внутри этого трехгранного угла, отразившись от всех его граней, сменит свое направление на противоположное.

Происхождение: Дословно скопировано из оригинального учебника