23.2

Матрицы линейных отображений и преобразований в разных базисах. Подобные матрицы (23.52-23.77)

[26/81%]
Показать
LaTeX
Задача 23.52

Пусть e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} — базис в линейном пространстве L\mathcal{L}, a f1,…,fnf_{1}, \ldots , f_{n} — произвольные векторы из линейного пространства L~\widetilde{\mathcal{L}}. Доказать, что существует единственное линейное отображение φ:L→L~\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \widetilde{\mathcal{L}} такое, что φ(ei)=fi(i=1,…,n)\varphi \left(e_{i}\right) = f_{i}(i = 1, \ldots , n).

?
Задача 23.53
?
(1)

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — линейно независимые векторы линейного пространства L\mathcal{L}, а b1,…,bkb_{1}, \ldots , b_{k} — некоторые векторы пространства L~\widetilde{\mathcal{L}}. Доказать, что существует линейное отображение φ:L→L~\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \widetilde{\mathcal{L}} такое, что φ(ai)=bi(i=1,…,k)\varphi \left(a_{i}\right) = b_{i}(i = 1, \ldots , k). В каком случае отображение φ\varphi единственно?

(2)

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — векторы из L\mathcal{L}, а b1,…,bkb_{1}, \ldots , b_{k} — векторы из L~\widetilde{\mathcal{L}}. Сформулировать необходимые и достаточные условия, при которых:

(1) существует линейное отображение φ:L→L~\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \widetilde{\mathcal{L}} такое, что φ(ai)=bi(i=1,…,k)\varphi \left(a_{i}\right) = b_{i}(i = 1, \ldots , k);

(2) это отображение единственно.

Задача 23.54

Пусть AA — невырожденная матрица порядка n,Bn, B матрица размеров m×nm \times n. Доказать, что существует единственное линейное отображение nn-мерного арифметического пространства в mm-мерное, при котором образами столбцов матрицы AA являются соответствующие столбцы матрицы BB. Найти матрицу этого отображения:

?
(1)

в стандартных базисах пространств

(2)

в базисе пространства Rn\mathcal{R}_{n} из столбцов матрицы AA и стандартном базисе пространства Rm\mathcal{R}_{m}

(3)

в базисе пространства Rn\mathcal{R}_{n} из столбцов матрицы AA и базисе пространства Rm\mathcal{R}_{m} из столбцов матрицы BB (при условии, что m=nm = n и BB невырождена).

Задача 23.55

Пусть AA и BB — невырожденные матрицы порядка nn. Доказать, что существует единственное линейное преобразование nn-мерного арифметического пространства, переводящеее столбцы матрицы AA в соответствующие столбцы матрицы BB. Найти матрицу этого преобразования:

?
(1)

в стандартном базисе

(2)

в базисе из столбцов матрицы AA

(3)

в базисе из столбцов матрицы BB.

Задача 23.56

Линейное преобразование φ\varphi двумерного арифметического пространства переводит вектор ai\mathbf{a}_{i} в вектор bi(i=1,2)\mathbf{b}_{i}(i = 1, 2). Вычислить матрицу преобразования φ\varphi в стандартном базисе, если:

?
(1)

a1=[1−1],a2=[−12],b1=[20],b2=[−31]\mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ - 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} - 1\\ 2\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 0\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} - 3\\ 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

a1=[4−3],a2=[21],b1=[−2−2],b2=[44]\mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ - 3\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 2\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} - 2\\ - 2\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ 4\end{smallmatrix}\right]

(3)

a1=[−53],a2=[−31],b1=[415],b2=[01]\mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} - 5\\ 3\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} - 3\\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ 15\end{smallmatrix}\right], \mathbf{b}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

a1=[11],a2=[13],b1=[02]\mathbf{a}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 3\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{b}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \end{smallmatrix}\right], b2=[−222]\mathbf{b}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} - \sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.57

Матрищы A,BA, B составлены из координатных столбцов векторов a1,a2,a3a_{1}, a_{2}, a_{3} и b1,b2,b3b_{1}, b_{2}, b_{3} в некотором базисе ee трехмерного линейного пространства L\mathcal{L}. Для приведенных ниже случаев проверить, что существует единственное линейное преобразование φ\varphi пространства L\mathcal{L}, переводящее векторы aia_{i} в bi(i=1,2,3)b_{i} (i = 1, 2, 3). Вычислить матрицу преобразования φ\varphi:

(1) в базисе е;

(2) в базисе a1,a2,a3a_{1}, a_{2}, a_{3},

если:

?
(1)

A=A265,B=A266A = \mathbf{A}_{265}, B = \mathbf{A}_{266}. A265=[1101011−33],A266=[1201021−66]\mathbf{A}_{265} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{266} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -6 & 6 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A268,B=A269A = \mathbf{A}_{268}, B = \mathbf{A}_{269}. A268=[123110−102],A269=[023010002]\mathbf{A}_{268} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{269} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A270,B=A271A = \mathbf{A}_{270}, B = \mathbf{A}_{271}. A270=[0−1121−21−10],A271=[0−2102−30−2−1]\mathbf{A}_{270} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{271} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A229,B=A272A = \mathbf{A}_{229}, B = \mathbf{A}_{272}. A229=[2−1002−1−1−11],A272=[−6500−6−2322]\mathbf{A}_{229} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{272} = \left[\begin{smallmatrix} -6 & 5 & 0 \\ 0 & -6 & -2 \\ 3 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.58

Показать, что существует и единственно линейное отображение φ:Rn→Rm\varphi : \mathcal{R}_{n} \rightarrow \mathcal{R}_{m}, переводящее столбцы данной матрицы AA в соответствующие столбцы матрицы BB. Найти матрицу отображения φ\varphi:

?
(1)

в стандартных базисах пространств Rn\mathcal{R}_{n} и Rm\mathcal{R}_{m}

(2)

в базисе пространства Rn\mathcal{R}_{n}, состоящем из столбцов матрицы AA, и стандартном базисе пространства Rm\mathcal{R}_{m}.

(1) n=2,m=3,A=A33,B=A140n = 2, m = 3, A = \mathbf{A}_{33}, B = \mathbf{A}_{140};

(2) n=3,m=2,A=A276,B=A394n = 3, m = 2, A = \mathbf{A}_{276}, B = \mathbf{A}_{394};

(3) n=2,m=5,A=A34,B=A171n = 2, m = 5, A = \mathbf{A}_{34}, B = \mathbf{A}_{171};

(4) n=4,m=2,A=A467,B=A505n = 4, m = 2, A = \mathbf{A}_{467}, B = \mathbf{A}_{505};

(5) n=3,m=4,A=A227,B=A407n = 3, m = 4, A = \mathbf{A}_{227}, B = \mathbf{A}_{407};

(6) n=4,m=3,A=A484,B=A518n = 4, m = 3, A = \mathbf{A}_{484}, B = \mathbf{A}_{518}.

A33=[21−1−1],A140=[−4−121−1−1],A276=[011110111],A394=[320−101],A34=[2111],A171=[85−2−324171611−10−13],A467=[4593327−2−132−2776−1],A505=[135192833190],A227=[111122234],A407=[−4−2−621314721−6−3−9],A484=[111111−1−11−11−11−1−11],A518=[0−22−816824−1604−416]\mathbf{A}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{140} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & -1 \\ 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{276} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{394} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} 8 & 5 \\ -2 & -3 \\ 24 & 17 \\ 16 & 11 \\ -10 & -13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{467} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 5 & 9 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & -2 \\ -1 & 3 & 2 & -2 \\ 7 & 7 & 6 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{505} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 35 & 19 & 2 \\ 8 & 33 & 19 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{227} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{407} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & -2 & -6 \\ 2 & 1 & 3 \\ 14 & 7 & 21 \\ -6 & -3 & -9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{484} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{518} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 & 2 & -8 \\ 16 & 8 & 24 & -16 \\ 0 & 4 & -4 & 16 \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.59

Выяснить, существует ли линейное преобразование φ\varphi, переводящее столбцы матрицы AA в соответствующие столбцы матрицы BB. В случае существования вычислить матрицу φ\varphi в стандартном базисе:

?
(1)

A=A5,B=A35A = \mathbf{A}_{5}, B = \mathbf{A}_{35}. A5=[1−11−1],A35=[1−1−22]\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{35} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A5,B=A12A = \mathbf{A}_{5}, B = \mathbf{A}_{12}. A5=[1−11−1],A12=[1111]\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A277,B=A278A = \mathbf{A}_{277}, B = \mathbf{A}_{278}. A277=[010204−30−6],A278=[−42−8−62−128−316]\mathbf{A}_{277} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \\ -3 & 0 & -6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{278} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 2 & -8 \\ -6 & 2 & -12 \\ 8 & -3 & 16 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A213,B=A279A = \mathbf{A}_{213}, B = \mathbf{A}_{279}. A213=[111222333],A279=[244234−3−5−6]\mathbf{A}_{213} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{279} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \\ -3 & -5 & -6 \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.60

При линейном отображении φ:Rn→Rm\varphi : \mathcal{R}_{n} \rightarrow \mathcal{R}_{m} столбцы матрицы AA переходят в соответствующие столбщы матрицы BB. Выяснить, является ли отображение φ\varphi инъективным, сюръективным, найти размерность ядра и ранг отображения φ\varphi. Вычислить образ вектора а, если:

?
(1)

A=A123,B=A24,a=[173]A = \mathbf{A}_{123}, \quad B = \mathbf{A}_{24}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1\\ 7\\ 3\end{smallmatrix}\right]. A123=[1−21001],A24=[1−1−12]\mathbf{A}_{123} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{24} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A392,B=A230,a=[31]A = \mathbf{A}_{392}, \quad B = \mathbf{A}_{230}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 3\\ 1\end{smallmatrix}\right]. A392=[−1211−10],A230=[−143−2532−4−2]\mathbf{A}_{392} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{230} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A422,B=A201,a=[4−4−3122]A = \mathbf{A}_{422}, \quad B = \mathbf{A}_{201}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 4\\ - 4\\ - 3\\ 12\\ 2\end{smallmatrix}\right]. A422=[4192−11−15928−20135−342],A201=[21−131−2101]\mathbf{A}_{422} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & 9 \\ 2 & -11 & -15 \\ 9 & 2 & 8 \\ -20 & 13 & 5 \\ -3 & 4 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A241,B=A420,a=[165−6]A = \mathbf{A}_{241}, \quad B = \mathbf{A}_{420}, \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 16\\ 5\\ - 6\end{smallmatrix}\right]. A241=[6−115−554−99],A420=[−2−22−2−22−3−224−1165−5]\mathbf{A}_{241} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & -1 & 1 \\ 5 & -5 & 5 \\ 4 & -9 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{420} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -2 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.61

Показать, что существует единственное линейное преобразование комплексного арифметического пространства Cn\mathcal{C}_{n}, переводящее столбцы данной матрицы AA в соответствующие столбцы матрицы BB. Вычислить матрицу этого преобразования в стандартном базисе, если:

?
(1)

n=2,A=A92,B=A93n = 2, A = \mathbf{A}_{92}, B = \mathbf{A}_{93}. A92=[i11i],A93=[i−1i+1i+1i−1]\mathbf{A}_{92} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{93} = \left[\begin{smallmatrix} i-1 & i+1 \\ i+1 & i-1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

n=2,A=A94,B=A95n = 2, A = \mathbf{A}_{94}, B = \mathbf{A}_{95}. A94=[1−i−i1],A95=[0202i]\mathbf{A}_{94} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{95} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 2 i \end{smallmatrix}\right].

(3)

n=2,A=A96,B=A97n = 2, A = \mathbf{A}_{96}, B = \mathbf{A}_{97}. A96=[10i1],A97=[i1−12i]\mathbf{A}_{96} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{97} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ -1 & 2 i \end{smallmatrix}\right].

(4)

n=3,A=A373,B=A374n = 3, A = \mathbf{A}_{373}, B = \mathbf{A}_{374}. A373=[02212213+i3−i],A374=[02i−2i12i−2i13i−1−3i−1]\mathbf{A}_{373} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3+i & 3-i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{374} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 i & -2 i \\ 1 & 2 i & -2 i \\ 1 & 3 i-1 & -3 i-1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.62

Линейное преобразование φ\varphi имеет в данном базисе матрицу AA, а координатные столбцы новых базисных векторов образуют матрицу SS. Вычислить матрицу преобразования в новом базисе, если:

?
(1)

A=A36,S=A33A = \mathbf{A}_{36}, S = \mathbf{A}_{33}. A36=[02−1−3],A33=[21−1−1]\mathbf{A}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A37,S=A16A = \mathbf{A}_{37}, S = \mathbf{A}_{16}. A37=[−455−4],A16=[1−111]\mathbf{A}_{37} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 5 \\ 5 & -4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A38,S=A39A = \mathbf{A}_{38}, S = \mathbf{A}_{39}. A38=[53−3−1],A39=[31−30]\mathbf{A}_{38} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 3 \\ -3 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{39} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A40,S=A104A = \mathbf{A}_{40}, S = \mathbf{A}_{104}. A40=[4−2−31],A104=[5−3−32]\mathbf{A}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{104} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A=A280,S=A203A = \mathbf{A}_{280}, S = \mathbf{A}_{203}. A280=[021282120],A203=[22−12−12−122]\mathbf{A}_{280} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 8 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A=A281,S=A282A = \mathbf{A}_{281}, S = \mathbf{A}_{282}. A281=[−93711−1−1139],A282=[1111−10121]\mathbf{A}_{281} = \left[\begin{smallmatrix} -9 & 3 & 7 \\ 1 & 1 & -1 \\ -11 & 3 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{282} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A=A283,S=A284A = \mathbf{A}_{283}, S = \mathbf{A}_{284}. A283=[251−1−30−2−3−2],A284=[2−1−1−110−102]\mathbf{A}_{283} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \\ -2 & -3 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{284} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A=A285,S=A265A = \mathbf{A}_{285}, S = \mathbf{A}_{265}. A285=[2−10−12−10−11],A265=[1101011−33]\mathbf{A}_{285} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{265} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(9)

A=A469,S=A470A = \mathbf{A}_{469}, S = \mathbf{A}_{470}. A469=[−2−13−7−303−731−2731−38],A470=[−30−1101100010]\mathbf{A}_{469} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -1 & 3 & -7 \\ -3 & 0 & 3 & -7 \\ 3 & 1 & -2 & 7 \\ 3 & 1 & -3 & 8 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{470} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A=A471,S=A439A = \mathbf{A}_{471}, S = \mathbf{A}_{439}. A471=[2−100−12−1−10−1200−102],A439=[0111−1011−1−101−1−1−10]\mathbf{A}_{471} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{439} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.63

Линейное преобразование комплексного арифметического пространства имеет в стандартном базисе матрицу AA. Новый базис задан матрицей перехода SS. Вычислить матрицу преобразования в новом базисе:

?
(1)

A=A87,S=A94A = \mathbf{A}_{87}, S = \mathbf{A}_{94}. A87=[11+i1−i3],A94=[1−i−i1]\mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{94} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A79,S=A80(ε=e2\pii/3)A = \mathbf{A}_{79}, S = \mathbf{A}_{80} \quad \left(\varepsilon = e^{2\pii / 3}\right). A79=[0εε−10],A80=[1−ε−ε1]\mathbf{A}_{79} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & \varepsilon \\ \varepsilon^{-1} & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{80} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -\varepsilon \\ -\varepsilon & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A263,S=A375A = \mathbf{A}_{263}, S = \mathbf{A}_{375}. A263=[3−313−22−120],A375=[11+i1−i111−1−ii]\mathbf{A}_{263} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -3 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{375} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i & 1-i \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -i & i \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A259,S=A363(ω=e2πi/3)A = \mathbf{A}_{259}, S = \mathbf{A}_{363} \quad \left(\omega = e^{2\pi i / 3}\right). A259=[001100010],A363=[1111ωω21ω2ω]\mathbf{A}_{259} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{363} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{smallmatrix}\right].

(5)

A=A472,S=A473A = \mathbf{A}_{472}, S = \mathbf{A}_{473}. A472=[11111i−1−i1−11−11−i−1i],A473=[21−10101−101101011]\mathbf{A}_{472} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{473} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A=A474,S=A475A = \mathbf{A}_{474}, S = \mathbf{A}_{475}. A474=[−5−2−3−1422163312−340],A475=[1010−11−11−1−i−1i−i3i−3i−3−3i]\mathbf{A}_{474} = \left[\begin{smallmatrix} -5 & -2 & -3 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{475} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & -i & -1 & i \\ -i & 3 i-3 & i & -3-3 i \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.64

Линейное отображение nn-мерного арифметического пространства в mm-мерное задано в стандартных базисах матрицей AA, столбцы новых базисных векторов f=(f1,…,fn)\mathbf{f} = \left(f_{1}, \ldots , f_{n}\right) и g=(g1,…,gm)\mathbf{g} = \left(g_{1}, \ldots , g_{m}\right) составляют соответственно матрицы SS и TT. Вычислить матрицу отображения в базисах f\mathbf{f} и g\mathbf{g}:

?
(1)

n=3,m=2,A=A392,S=A286,T=A42n = 3, \quad m = 2, \quad A = \mathbf{A}_{392}, \quad S = \mathbf{A}_{286}, \quad T = \mathbf{A}_{42}. A392=[−1211−10],A286=[544264−3−5−3],A42=[5−82−3]\mathbf{A}_{392} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{286} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 2 & 6 & 4 \\ -3 & -5 & -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{42} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{smallmatrix}\right].

(2)

n=4,m=2,A=A502,S=A476,T=A10n = 4, \quad m = 2, \quad A = \mathbf{A}_{502}, \quad S = \mathbf{A}_{476}, \quad T = \mathbf{A}_{10}. A502=[117−31−1−11],A476=[11100111−10−111−10−1],A10=[2513]\mathbf{A}_{502} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 7 & -3 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{476} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(3)

n=2,m=3,A=A117,S=A9,T=A227n = 2, \quad m = 3, \quad A = \mathbf{A}_{117}, \quad S = \mathbf{A}_{9}, \quad T = \mathbf{A}_{227}. A117=[122334],A9=[9−5−53],A227=[111122234]\mathbf{A}_{117} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{9} = \left[\begin{smallmatrix} 9 & -5 \\ -5 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{227} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(4)

n=3,m=4,A=A403,S=A285,T=A495n = 3, \quad m = 4, \quad A = \mathbf{A}_{403}, \quad S = \mathbf{A}_{285}, \quad T = \mathbf{A}_{495}. A403=[23−1475−1−2−32513],A285=[2−10−12−10−11],A495=[−10010−10100−11]\mathbf{A}_{403} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & 7 & 5 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 5 & 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{285} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{495} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.65

Вычислить матрицу линейного преобразования φ\varphi множества векторов плоскости с заданным на ней базисом, если φ\varphi есть:

?
(1)

отражение плоскости в прямой x+2y=0x + 2y = 0 параллельно прямой x+3y=0x + 3y = 0

(2)

проектирование плоскости на прямую x+y=0x + y = 0 параллельно прямой 4x+5y=04x + 5y = 0

(3)

сжатие с коэффициентом λ=2\lambda = 2 к прямой 3x−2y=03x - 2y = 0 параллельно прямой x−y=0x - y = 0.

Задача 23.66

Вычислить матрицу линейного преобразования φ\varphi трехмерного геометрического векторного пространства (в котором задан ортонормированный базис), пользуясь надлежащей заменой базиса, если φ\varphi есть:

?
(1)

проектирование на плоскость 3x−y=03x - y = 0 параллельно прямой x+z=0,x+y+2z=0x + z = 0, x + y + 2z = 0

(2)

отражение пространства в прямой x=y=−2zx = y = - 2z параллельно плоскости x+y+3z=0x + y + 3z = 0

(3)

сжатие с коэффициентом λ=2\lambda = 2 к плоскости x−2z=0x - 2z = 0 параллельно прямой x=y=zx = y = z

(4)

поворот вокруг прямой x=y=−zx = y = - z на угол π/2\pi / 2

(5)

поворот вокруг прямой x+y=0,y−z=0x + y = 0, y - z = 0 на такой угол, что первая из данных плоскостей переходит во вторую.

Задача 23.67

Пусть DD — дифференцирование в пространстве многочленов степени не выше mm. Вычислить матрицу преобразования DD, если базис состоит из многочленов:

?
(1)

1+t,t+2t2,3t2−1(m=2)1 + t, t + 2t^{2}, 3t^{2} - 1\quad (m = 2)

(2)

t3+1,1−t,1−t+t2,1−t+t2−t3(m=3)t^{3} + 1, 1 - t, 1 - t + t^{2}, 1 - t + t^{2} - t^{3} \quad (m = 3)

(3)

1,1+t,1+t1!+t22!,…,1+t1!+…+tmm!(m⩾1)1, 1 + t, 1 + \frac{t}{1!} + \frac{t^{2}}{2!}, \ldots , 1 + \frac{t}{1!} + \ldots + \frac{t^{m}}{m!} \quad (m \geqslant 1)

(4)

1,1+t,1+t+t2,…,1+t+…+tm(m⩾1)1, 1 + t, 1 + t + t^{2}, \ldots , 1 + t + \ldots + t^{m} \quad (m \geqslant 1)

(5)

1,t−1,t2−t,…,tm−tm−1(m⩾1)1, t - 1, t^{2} - t, \ldots , t^{m} - t^{m - 1} \quad (m \geqslant 1).

Задача 23.68

Вычислить матрицу преобразования дифференцирования в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше nn (см. задачу 23. 43), если базис состоит из функций:

?
(1)

1,cos⁡t−sin⁡t,cos⁡t+sin⁡t,…,cos⁡nt−sin⁡nt,cos⁡nt+sin⁡nt(n⩾1)1, \cos t - \sin t, \cos t + \sin t, \ldots , \cos nt - \sin nt, \cos nt + \sin nt(n \geqslant 1)

(2)

1,1+cos⁡t,…,1+cos⁡t+…+cos⁡nt,sin⁡t,…,sin⁡t+……+sin⁡nt1, 1 + \cos t, \ldots , 1 + \cos t + \ldots + \cos nt, \sin t, \ldots , \sin t + \ldots \ldots + \sin nt

(3)

2cos⁡2t,2sin⁡2t,sin⁡t+cos⁡t,sin⁡t−cos⁡t,(sin⁡t+cos⁡t)2(n=2)2\cos^{2} t, 2\sin^{2} t, \quad \sin t + \cos t, \quad \sin t - \cos t, \quad (\sin t + \cos t)^{2} (n = 2).

Задача 23.69

Как изменится матрица линейного отображения, заданная в паре базисов e1,…,en;f1,…,fme_{1}, \ldots , e_{n}; f_{1}, \ldots , f_{m}, если:

?
(1)

поменять местами векторы eie_{i} и eje_{j}

(2)

поменять местами векторы fkf_{k} и flf_{l}; μ≠0\mu \neq 0

(3)

вектор eie_{i} умножить на число λ≠0\lambda \neq 0, а fkf_{k} умножить на

(4)

вектор eie_{i} заменить на ei+eje_{i} + e_{j}, а вектор fkf_{k} — на fk−fl(i≠j,k≠l)f_{k} - f_{l} (i \neq j, k \neq l)?

Задача 23.70

Как изменится матрица линейного преобразования, заданная в базисе e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n}, если:

?
(1)

поменять местами векторы eie_{i} и eje_{j}

(2)

вектор eie_{i} умножить на число λ≠0\lambda \neq 0

(3)

вектор eie_{i} заменить на ei+eje_{i} + e_{j}

(4)

перейти к базису en,e1,…,en−1e_{n}, e_{1}, \ldots , e_{n - 1}

(5)

перейти к базису en,en−1,…,e1e_{n}, e_{n - 1}, \ldots , e_{1}?

Задача 23.71
?
(1)

Пусть AA и BB — матрицы линейного отображения в двух парах базисов. Доказать, что BB можно получить из AA элементарными преобразованиями строк и столбцов.

(2)

Пусть AA и BB — матрицы линейного преобразования в двух базисах. Доказать, что BB можно получить из AA согласованными друг с другом элементарными преобразованиями строк и столбцов.

Задача 23.72

Пусть φ:L→L~\varphi : \mathcal{L} \rightarrow \tilde{\mathcal{L}} — линейное отображение. Доказать, что:

?
(1)

если базисный вектор линейного пространства L\mathcal{L} принадлежит ядру φ\varphi, то соответствующий столбец матрицы отображения нулевой

(2)

если e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} — базис пространства L\mathcal{L}, причем век — торы er+1,…,en(r⩽n)e_{r + 1}, \ldots , e_{n}(r \leqslant n) образуют базис ядра φ\varphi, то векторы φ(e1),…,φ(er)\varphi \left(e_{1}\right), \ldots , \varphi \left(e_{r}\right) образуют базис в φ(L)\varphi (\mathcal{L}).

Задача 23.73

Доказать, что для всякого линейного отображения φ\varphi существует пара базисов, в которых матрица отображения имеет простейший вид [EOOO]\left[\begin{smallmatrix} E & O \\ O & O\end{smallmatrix}\right]. Чему равен порядок матрицы EE?

?
Задача 23.74

В стандартных базисах арифметических пространств Rn\mathcal{R}_{n} и Rm\mathcal{R}_{m} линейное отображение φ\varphi имеет матрицу AA. Найти пару базисов, в которой матрица отображения φ\varphi имеет простейший вид (см. задачу 23. 73):

?
(1)

A=A12A = \mathbf{A}_{12}. A12=[1111]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A32A = \mathbf{A}_{32}. A32=[13310]\mathbf{A}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 10 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A253A = \mathbf{A}_{253}. A253=[011−10−1−110]\mathbf{A}_{253} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=A288A = \mathbf{A}_{288}. A288=[1−12−11−22−24]\mathbf{A}_{288} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A=A576A = \mathbf{A}_{576}. A576=[12−1111−213−1]\mathbf{A}_{576} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A=A420A = \mathbf{A}_{420}. A420=[−2−22−2−22−3−224−1165−5]\mathbf{A}_{420} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -2 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \\ 6 & 5 & -5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.75

Пусть AA — матрица линейного преобразования в некотором базисе. Доказать, что матрица, полученная из AA центральной симметрией, является матрицей того же преобразования в другом базисе.

?
Задача 23.76

Доказать, что подобны матрицы:

?
(1)

A77\mathbf{A}_{77} и обратная к ней. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(2)

A259\mathbf{A}_{259} и A260\mathbf{A}_{260}. A259=[001100010],A260=[010001100]\mathbf{A}_{259} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{260} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 23.77

Найти все матрицы, каждая из которых подобна только самой себе.

?