Банк задач по математике

Задача 24.1

Доказать, что множество всех собственных векторов линейного преобразования, отвечающих одному собственному значению, дополненное нулевым вектором, совпадает с собственным подпространством.

?

Задача 24.2

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

ядро линейного преобразования совпадает с собственным подпространством, отвечающим нулевому собственному значению

(2)

Собственное подпространство преобразования $\varphi$ , отвечающее собственному значению $\lambda$ , есть множество векторов, удовлетворяющих условию $\varphi (x) = \lambda x$ .

Задача 24.3

Пусть $A$ — матрица, а $\lambda$ — собственное значение линейного преобразования $n$ -мерного линейного пространства. Чему равна размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению $\lambda$ , если ранг матрицы $A - \lambda E$ равен $r$ ?

?

Задача 24.4

Какой вид имеет матрица линейного преобразования, если первые $k$ базисных векторов являются его собственными векторами?

?

Задача 24.5

Доказать, что размерность собственного подпространства, отвечающего данному корню характеристического многочлена, не превосходит кратности этого корня.

?

Задача 24.6

Пусть $x, y$ — собственные векторы линейного преобразования, отвечающие различным собственным значениям, а числа $\alpha , \beta$ отличны от нуля. Доказать, что вектор $\alpha x + \beta y$ не является собственным.

?

Задача 24.7

Доказать, что ненулевое линейное преобразование, для которого все ненулевые векторы собственные, является гомотетией.

?

Задача 24.8

Доказать, что система собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям линейного преобразования, линейно независима.

?

Задача 24.9

Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе тогда и только тогда диагональна, когда все векторы базиса собственные.

?

Задача 24.10

Доказать, что линейное преобразование $n$ -мерного линейного пространства, имеющее $n$ различных собственных значений, диагонализируемо.

?

Задача 24.11

Пусть $\varphi$ — линейное преобразование конечномерного линейного пространства $\mathcal{L}$ . Доказать, что следующие высказывания равносильны:

?

(1)

$\varphi$ диагонализируемо

(2)

в $\mathcal{L}$ существует базис из собственных векторов преобразования $\varphi$

(3)

объединение базисов собственных подпространств является базисом в $\mathcal{L}$

(4)

кратность каждого корня $\lambda$ характеристического уравнения равна размерности собственного подпространства $\mathcal{L}_{\lambda }$

(5)

$\mathcal{L}$ является прямой суммой собственных подпространств.

Задача 24.12

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

в комплексном линейном пространстве каждое характеристическое число матрицы линейного преобразования является собственным значением, так что произвольное линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор

(2)

в вещественном пространстве каждое вещественное характеристическое число является собственным значением.

Задача 24.13

Доказать, что линейное преобразование нечетномерного (например, трехмерного) вещественного линейного пространства имеет хотя бы один собственный вектор.

?

Задача 24.14

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что характеристический многочлен, определитель и след матрицы линейного преобразования не зависят от выбора базиса.

(2)

Найти выражение коэффициентов характеристического многочлена, в частности следа и определителя матрицы порядка $n$ , через характеристические числа.

Задача 24.15

(1)(2)(3)

Найти собственные векторы и собственные значения каждого из следующих преобразований:

?

(1)

нулевого

(2)

тождественного

(3)

гомотетии.

Задача 24.16

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе $n$ -мерного линейного пространства матрицей $\mathbf{A}_{612} = J_{n}(\lambda )$ . $\mathbf{A}_{612} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda \end{smallmatrix}\right]$ .

?

Задача 24.17

Пусть матрица линейного преобразования в некотором базисе — верхняя или нижняя треугольная с диагональными элементами $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ . Найти все собственные значения этого преобразования.

?

Задача 24.18

(1)(2)

Пусть $\mathcal{L} = \mathcal{L}^{\prime } \oplus \mathcal{L}^{\prime \prime }$ , где $\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime }$ — ненулевые подпространства. Найти собственные значения и собственные подпространства линейного преобразования $\varphi$ ; доказать, что $\varphi$ имеет базис из собственных векторов, и указать диагональный вид его матрицы, если $\varphi$ есть:

?

(1)

проектирование на подпространство $\mathcal{L}^{\prime }$ параллельно $\mathcal{L}^{\prime \prime }$

(2)

отражение в подпространстве $\mathcal{L}^{\prime }$ параллельно $\mathcal{L}^{\prime \prime }$ .

Задача 24.19

(1)(2)(3)

Найти собственные значения и собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицы линейных преобразований, определенных в задаче 23. 65.

?

(1)

отражение плоскости в прямой $x + 2y = 0$ параллельно прямой $x + 3y = 0$

(2)

проектирование плоскости на прямую $x + y = 0$ параллельно прямой $4x + 5y = 0$

(3)

сжатие с коэффициентом $\lambda = 2$ к прямой $3x - 2y = 0$ параллельно прямой $x - y = 0$ .

Задача 24.20

Найти собственные значения, собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицу линейного преобразования, определенного в задаче:

?

(1)

23.9(1): ортогональное проектирование пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ , если $\mathcal{L}$ есть прямая $x = z = 0$ ;

(2)

23.9(2): ортогональное проектирование пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ , если $\mathcal{L}$ есть прямая $x = y = z$ ;

(3)

23.9(3): ортогональное проектирование пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ , если $\mathcal{L}$ есть плоскость $x + y + z = 0$ ;

(4)

23.9(4): ортогональное проектирование пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ , если $\mathcal{L}$ есть плоскость, натянутая на векторы $\mathbf{a}(- 1, 1, - 1)$ и $\mathbf{b}(1, - 3, 2)$ ;

(5)

23.10(1): проектирование пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ параллельно подпространству $\mathcal{M}$ , если: $\mathcal{L}$ определено уравнением $x = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнениями $2x = 2y = - z$ ;

(6)

23.10(2): проектирование пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ параллельно подпространству $\mathcal{M}$ , если: $\mathcal{L}$ имеет уравнение $x = y$ , $\mathcal{M}$ определяется системой уравнений $x + y + z = 0, 2x + y + 4z = 0$ ;

(7)

23.10(3): проектирование пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ параллельно подпространству $\mathcal{M}$ , если: $\mathcal{L}$ определено уравнениями $- 20x = 15y = 12z$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - z = 0$ ;

(8)

23.10(4): проектирование пространства $\mathcal{E}_{3}$ на подпространство $\mathcal{L}$ параллельно подпространству $\mathcal{M}$ , если: $\mathcal{L}$ определено системой уравнений $x - y + z = 0, 2x - 3y + 4z = 0$ , $\mathcal{M}$ — уравнением $2x + 3y - 4z = 0$ ;

(9)

23.12(1): линейное преобразование $\varphi$ , если $\varphi$ — ортогональное отражение пространства $\mathcal{E}_{3}$ относительно плоскости $x = 0$ ;

(10)

23.12(2): линейное преобразование $\varphi$ , если $\varphi$ — ортогональное отражение пространства $\mathcal{E}_{3}$ относительно прямой $x = 2y = z$ ;

(11)

23.12(3): линейное преобразование $\varphi$ , если $\varphi$ — ортогональное отражение пространства $\mathcal{E}_{3}$ относительно линейной оболочки векторов $\mathbf{a}(1, 0, - 1)$ и $\mathbf{b}(1, 1, - 2)$ ;

(12)

23.13(1): отражение пространства $\mathcal{E}_{3}$ в плоскости $x = 0$ параллельно прямой $2x = y = - z$ ;

(13)

23.13(2): отражение пространства $\mathcal{E}_{3}$ в прямой $x = z, \quad x - y + z = 0$ параллельно плоскости $x + y = 0$ .

Линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства $\mathcal{E}_{3}$ заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.

Задача 24.21

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, определенного в задаче:

?

(1)

$23. 14, 1)$

(2)

$23. 14, 2)$

(3)

$23. 14, 3)$

(4)

$23. 66, 1)$

(5)

$23. 66, 2)$

(6)

$23. 66, 3)$

(7)

$23. 66, 4)$

(8)

$23. 66, 5)$ .

Можно ли из собственных векторов преобразования составить базис?

Задача 24.22

(1)(2)(3)

?

(1)

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования $\varphi$ , заданного матрицей

A = \left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)^{T}\left(b_{1}, \ldots , b_{n}\right) \neq 0.

(2)

Найти необходимое и достаточное условие диагонализируемости преобразования $\varphi$ .

(3)

Выяснить, диагонализируемы ли преобразования, заданные матрицами:

(1) $\mathbf{A}_{213}$ ;

(2) $\mathbf{A}_{222}$ . $\mathbf{A}_{213} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{222} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -3 & -3 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.23

Пусть $k, m, n$ — натуральные числа, $1 \leqslant k \leqslant m \leqslant n$ . Привести пример линейного преобразования $n$ -мерного линейного пространства, для которого данное число $\lambda$ является корнем характеристического многочлена кратности $m$ , а отвечающее ему собственное подпространство имеет размерность $k$ .

?

Задача 24.24

Пусть линейное преобразование $\varphi$ трехмерного комплексного линейного пространства в некотором базисе имеет вещественную матрицу и по крайней мере одно характеристическое число этой матрицы не является вещественным. Доказать, что $\varphi$ диагонализируемо.

?

Задача 24.25

Пусть $x$ — собственный вектор линейного преобразования $\varphi$ , отвечающий собственному значению $\lambda$ , a $p(t)$ — многочлен. Доказать, что вектор $x$ является собственным для преобразования $p(\varphi )$ и принадлежит собственному значению $p(\lambda )$ .

?

Задача 24.26

(1)(2)(3)(4)

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — характеристические числа линейного преобразования $\varphi$ в $n$ -мерном линейном пространстве. Чему равны характеристические числа (с учетом кратностей) преобразования:

?

(1)

$(\mathrm{p}) \varphi^{2}$ ;

(2)

(р) $\varphi^{m}(m$ — натуральное число)

(3)

$\varphi^{ - 1}$ (при условии, что $\varphi$ обратимо)

(4)

$p(\varphi )$ , где $p(t)$ — произвольный многочлен (при условии, что $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ различны)?

Задача 24.27

Пусть характеристические многочлены квадратных матриц $A$ и $B$ имеют простые корни $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m}$ и $\mu_{1}, \ldots , \mu_{n}$ соответственно. Найти характеристические числа кронекеровского произведения $A\otimes B$ матриц $A, B$ . (См. введение к § 15.)

?

Задача 24.28

(1)(2)

Пусть линейное преобразование $\varphi$ линейного пространства $\mathcal{L}$ диагонализируемо. Доказать утверждения:

?

(1)

$\operatorname {Im} \varphi$ есть линейная оболочка множества всех собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям

(2)

$\mathcal{L} = \operatorname {Im} \varphi \oplus \operatorname {Ker} \varphi$ .

Задача 24.29

Привести пример линейного преобразования $\varphi$ пространства $\mathcal{R}_{n}$ , для которого $\mathcal{R}_{n} \neq \operatorname {Im} \varphi + \operatorname {Ker} \varphi$ .

?

Задача 24.30

Линейное преобразование вещественного $n$ -мерного линейного пространства задано своей матрицей. Вычислить собственные значения и найти максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования. Если найденная система векторов образует базис, записать в нем матрицу преобразования и выяснить геометрический смысл преобразования (в пунктах 1-10 $n = 2$ , в пунктах 11-30 $n = 3$ , в пунктах 31-40 $n = 4$ ):

?

(1)

$\mathbf{A}_{46}$ . $\mathbf{A}_{46} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 0 \\ 1 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{14}$ . $\mathbf{A}_{14} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{36}$ . $\mathbf{A}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{47}$ . $\mathbf{A}_{47} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{48}$ . $\mathbf{A}_{48} = \left[\begin{smallmatrix} 4/3 & -1 \\ -1 & 3/4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{A}_{13}$ . $\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{A}_{12}$ . $\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

$\mathbf{A}_{5}$ . $\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(9)

$\mathbf{A}_{30}$ . $\mathbf{A}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} 25 & 60 \\ 60 & 144 \end{smallmatrix}\right]$ .

(10)

$\mathbf{A}_{49}$ . $\mathbf{A}_{49} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -3 \\ 12 & -8 \end{smallmatrix}\right]$ .

(11)

$\mathbf{A}_{261}$ . $\mathbf{A}_{261} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(12)

$\mathbf{A}_{243}$ . $\mathbf{A}_{243} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(13)

$\mathbf{A}_{290}$ . $\mathbf{A}_{290} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 3 & -2 & -3 \\ 1 & 1 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(14)

$\mathbf{A}_{291}$ . $\mathbf{A}_{291} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(15)

$\mathbf{A}_{292}$ . $\mathbf{A}_{292} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(16)

$\mathbf{A}_{293}$ . $\mathbf{A}_{293} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 10 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 10 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(17)

$\mathbf{A}_{294}$ . $\mathbf{A}_{294} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(18)

$\mathbf{A}_{295}$ . $\mathbf{A}_{295} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 2 & -6 \\ 2 & 1 & -3 \\ -6 & -3 & 9 \end{smallmatrix}\right]$ .

(19)

$\mathbf{A}_{221}$ . $\mathbf{A}_{221} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(20)

$\mathbf{A}_{267}$ . $\mathbf{A}_{267} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 3 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(21)

$\mathbf{A}_{296}$ . $\mathbf{A}_{296} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -2 & 6 \\ -2 & 6 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(22)

$\mathbf{A}_{297}$ . $\mathbf{A}_{297} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(23)

$\mathbf{A}_{298}$ . $\mathbf{A}_{298} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(24)

$\mathbf{A}_{273}$ . $\mathbf{A}_{273} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 4 & 4 \\ -10 & -18 & -20 \\ 9 & 13 & 15 \end{smallmatrix}\right]$ .

(25)

$\mathbf{A}_{235}$ . $\mathbf{A}_{235} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ -1 & -2 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(26)

$\mathbf{A}_{230}$ . $\mathbf{A}_{230} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(27)

$\mathbf{A}_{237}$ . $\mathbf{A}_{237} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(28)

$\mathbf{A}_{299}$ . $\mathbf{A}_{299} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 6 \\ -1 & -2 & -4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(29)

$\mathbf{A}_{287}$ . $\mathbf{A}_{287} = \left[\begin{smallmatrix} 7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13 \end{smallmatrix}\right]$ .

(30)

$\mathbf{A}_{283}$ . $\mathbf{A}_{283} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \\ -2 & -3 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(31)

$\mathbf{A}_{477}$ . $\mathbf{A}_{477} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(32)

$\mathbf{A}_{479}$ . $\mathbf{A}_{479} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(33)

$\mathbf{A}_{480}$ . $\mathbf{A}_{480} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -2 & 4 & -4 \\ -2 & 8 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(34)

$\mathbf{A}_{481}$ . $\mathbf{A}_{481} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(35)

$\mathbf{A}_{482}$ . $\mathbf{A}_{482} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(36)

$\mathbf{A}_{449}$ . $\mathbf{A}_{449} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & -4 & -2 \\ -2 & -2 & -9 & -7 \\ 4 & -9 & 0 & -5 \\ -2 & 7 & 5 & 8 \end{smallmatrix}\right]$ .

(37)

$\mathbf{A}_{483}$ . $\mathbf{A}_{483} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 & 4 \\ -2 & -1 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(38)

$\mathbf{A}_{484}$ . $\mathbf{A}_{484} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(39)

$\mathbf{A}_{485}$ . $\mathbf{A}_{485} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & -1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(40)

$\mathbf{A}_{469}$ . $\mathbf{A}_{469} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & -1 & 3 & -7 \\ -3 & 0 & 3 & -7 \\ 3 & 1 & -2 & 7 \\ 3 & 1 & -3 & 8 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.31

Линейное преобразование комплексного $n$ -мерного линейного пространства задано своей матрицей. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования в этом базисе:

?

(1)

$\mathbf{A}_{20}$ . $\mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{50}$ . $\mathbf{A}_{50} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{82}$ . $\mathbf{A}_{82} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{79} \quad \left(\varepsilon = e^{2\pi i / 3}\right)$ . $\mathbf{A}_{79} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & \varepsilon \\ \varepsilon^{-1} & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{94}$ . $\mathbf{A}_{94} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{A}_{77}$ . $\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{A}_{78} \quad \left(\varepsilon = e^{2\pi i / 3}\right)$ . $\mathbf{A}_{78} = \left[\begin{smallmatrix} \varepsilon & 1 \\ -1 & \varepsilon \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

$\mathbf{A}_{87}$ . $\mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(9)

$\mathbf{A}_{239}$ . $\mathbf{A}_{239} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(10)

$\mathbf{A}_{262}$ . $\mathbf{A}_{262} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -3 & -2 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(11)

$\mathbf{A}_{263}$ . $\mathbf{A}_{263} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -3 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(12)

$\mathbf{A}_{300}$ . $\mathbf{A}_{300} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & -4 \\ 0 & 5 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(13)

$\mathbf{A}_{301}$ . $\mathbf{A}_{301} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -6 & -2 \\ -2 & -4 & -2 \\ 2 & 11 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(14)

$\mathbf{A}_{260}$ . $\mathbf{A}_{260} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(15)

$\mathbf{A}_{363}\left(\omega = e^{2\pi i / 3}\right)$ . $\mathbf{A}_{363} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{smallmatrix}\right]$ .

(16)

$\mathbf{A}_{376}$ . $\mathbf{A}_{376} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i & -1-i & 2+2 i \\ 0 & i & 2 \\ 0 & -1 & 3+i \end{smallmatrix}\right]$ .

(17)

$\mathbf{A}_{377}$ . $\mathbf{A}_{377} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1-i & 0 \\ 1+i & 3 & i \\ 0 & -i & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(18)

$\mathbf{A}_{432}$ . $\mathbf{A}_{432} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(19)

$\mathbf{A}_{447}$ . $\mathbf{A}_{447} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(20)

$\mathbf{A}_{486}$ . $\mathbf{A}_{486} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 & 0 & 0 \\ 1 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 1 \\ 0 & 0 & 1 & i \end{smallmatrix}\right]$ .

(21)

$\mathbf{A}_{472}$ . $\mathbf{A}_{472} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.32

Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов линейного преобразования, заданного своей матрицей. Объяснить, почему преобразование не диагонализируемо:

?

(1)

$\mathbf{A}_{51}$ . $\mathbf{A}_{51} = \left[\begin{smallmatrix} -7 & -2 \\ 8 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{52}$ . $\mathbf{A}_{52} = \left[\begin{smallmatrix} 11 & -2 \\ 18 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{286}$ . $\mathbf{A}_{286} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 2 & 6 & 4 \\ -3 & -5 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{303}$ . $\mathbf{A}_{303} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 3 & 3 \\ -1 & 8 & 6 \\ 2 & -14 & -10 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{289}$ . $\mathbf{A}_{289} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{A}_{236}$ . $\mathbf{A}_{236} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 5 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -5 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{A}_{457}$ . $\mathbf{A}_{457} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

$\mathbf{A}_{487}$ . $\mathbf{A}_{487} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(9)

$\mathbf{A}_{548}$ . $\mathbf{A}_{548} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.33

Найти характеристические числа линейного преобразования, заданного своей матрицей. Выяснить, диагонализируемо ли преобразование:

(1) в вещественном пространстве,

(2) в комплексном пространстве. Если да, то найти базис из собственных векторов и записать в нем матрицу преобразования; в противном случае указать, какое из необходимых условий диа — гонализуемости не выполнено:

?

(1)

$\mathbf{A}_{45}$ . $\mathbf{A}_{45} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{77}$ . $\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{259}$ . $\mathbf{A}_{259} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{44}$ . $\mathbf{A}_{44} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 \\ 4 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{253}$ . $\mathbf{A}_{253} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{A}_{98}$ . $\mathbf{A}_{98} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 i \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{A}_{436}$ . $\mathbf{A}_{436} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

$\mathbf{A}_{430}$ . $\mathbf{A}_{430} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(9)

$\mathbf{A}_{478}$ . $\mathbf{A}_{478} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(10)

$\mathbf{A}_{474}$ . $\mathbf{A}_{474} = \left[\begin{smallmatrix} -5 & -2 & -3 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.34

Решить задачу на собственные значения и собственные векторы и указать диагональный вид матрицы линейного преобразования, заданного в стандартном базисе (вещественное $n$ -мерное арифм. пр — во в пунктах 1 - 10, комплекное $n$ -мерное арифм. пр — во в пунктах 11 - 13):

?

(1)

$\mathbf{A}_{604}$ . $\mathbf{A}_{604} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{621} \quad (n = 2m)$ . $\mathbf{A}_{621} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 2 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{625}$ . $\mathbf{A}_{625} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{627}$ . $\mathbf{A}_{627} = \left[\begin{smallmatrix} x & y & y & \ldots & y \\ y & x & y & \ldots & y \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ y & y & y & \ldots & x \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{640}$ . $\mathbf{A}_{640} = \left[\begin{smallmatrix} n-1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ -n+1 & n-3 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -n+2 & n-5 & 3 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -2 & -n+3 & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & -n+1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{A}_{639}$ . $\mathbf{A}_{639} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ n-1 & 0 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & n-2 & 0 & 3 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{A}_{634}$ . $\mathbf{A}_{634} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

$\mathbf{A}_{620}$ . $\mathbf{A}_{620} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & \ldots & (-1)^{n-1} \\ -1 & 1 & \ldots & (-1)^{n-2} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots \ldots \\ (-1)^{n-1} & (-1)^{n-2} & \ldots & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(9)

$\mathbf{A}_{606}\left(\lambda_{1} = \ldots = \lambda_{m} = 1, \lambda_{m + 1} = \ldots = \lambda_{n} = 2\right. ; \quad m = \left[(n + 1) / 2\right])$ . $\mathbf{A}_{606} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda^2_1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda^2_2 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda^2_3 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \lambda^2_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \lambda^2_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(10)

$\mathbf{A}_{606}\left(\lambda_{1} = \ldots = \lambda_{m} = 1, \lambda_{m + 1} = \ldots = \lambda_{n} = 0\right. ; \quad m = \left[(n + 1) / 2\right])$ . $\mathbf{A}_{606} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda^2_1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda^2_2 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda^2_3 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \lambda^2_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \lambda^2_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(11)

$\mathbf{A}_{605}\left(\lambda_{1} = \ldots = \lambda_{m} = 1, \lambda_{m + 1} = \ldots = \lambda_{n} = - 1\right.$ ; $m = \left[(n + 1) / 2\right])$ . $\mathbf{A}_{605} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_3 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \lambda_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(12)

$\mathbf{A}_{614}$ . $\mathbf{A}_{614} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(13)

$\mathbf{A}_{635}$ . $\mathbf{A}_{635} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.35

Найти характеристические числа матрицы:

?

(1)

$\mathbf{A}_{490}$ . $\mathbf{A}_{490} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{491}$ . $\mathbf{A}_{491} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & 0 & 2 i \\ 1 & 3 & -2 i & 0 \\ 0 & 2 i & 1 & 1 \\ -2 i & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{492}$ . $\mathbf{A}_{492} = \left[\begin{smallmatrix} 7 & 3 & 1+2 i & -1+2 i \\ 3 & 7 & 1-2 i & -1-2 i \\ 1-2 i & 1+2 i & 7 & -3 \\ -1-2 i & -1+2 i & -3 & 7 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{549}$ . $\mathbf{A}_{549} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & -2 & 0 & -4 \\ -2 & 0 & 4 & -5 & 3 \\ 2 & -4 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & -1 & 0 & 2 \\ 4 & -3 & -1 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{550}$ . $\mathbf{A}_{550} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{A}_{638}$ . $\mathbf{A}_{638} = \left[\begin{smallmatrix} a & b & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ b & a & b & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & a & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \cdots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & b & a & b \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & b & a \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{A}_{643}$ . $\mathbf{A}_{643} = \left[\begin{smallmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ a_n & a_1 & \ldots & a_{n-1} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ R a_2 & a_3 & \ldots & a_1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

$\mathbf{A}_{642}$ . $\mathbf{A}_{642} = \left[\begin{smallmatrix} a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n-1} & a_{n} \\ a_{2} & a_{3} & \ldots & a_{n} & a_{1} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ a_{n} & a_{1} & \ldots & a_{n-2} & a_{n-1} \end{smallmatrix}\right]$ .

(9)

$\mathbf{A}_{645}(n$ — нечетно). $\mathbf{A}_{645} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & \varepsilon & \varepsilon^2 & \ldots & \varepsilon^{n-1} \\ 1 & \varepsilon^2 & \varepsilon^4 & \ldots & \varepsilon^{2(n-1)} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 1 & \varepsilon^{n-1} & \varepsilon^{2(n-1)} & \ldots & \varepsilon^{(n-1)^2} \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.36

(1)(2)(3)(4)

Вычислить:

?

(1)

$2^{n + 1} \prod_{k = 1}^{n} \cos \frac{\pi k}{n + 1}$

(2)

$\sum_{k = 1}^{n} \cos \frac{\pi k}{n + 1}$

(3)

$\sum_{k = 0}^{n - 1} \varepsilon^{k^{2}}$ , где $\varepsilon = e^{2\pi i / n}, \quad n = 2m + 1$

(4)

$\prod_{0 \leqslant j < k \leqslant n - 1}\left(\varepsilon^{k} - \varepsilon^{j}\right)$ , где $\varepsilon = e^{2\pi i / n}, \quad n = 2m + 1$ .

Задача 24.37

(1)(2)(3)

?

(1)

Одна из матриц $\mathbf{A}_{287}, \mathbf{A}_{289}$ подобна матрице $D = \operatorname {diag}(1, 1, - 1)$ . Какая именно? Ответ обосновать, не находя собственных векторов и характеристических чисел. $\mathbf{A}_{287} = \left[\begin{smallmatrix} 7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{289} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

Матрица $D = \operatorname {diag}(1, 1, 0)$ подобна одной из матриц $\mathbf{A}_{230}, \mathbf{A}_{264}$ . Выяснить, какой именно, не находя собственных значений и собственных векторов. $\mathbf{A}_{230} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{264} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

Из двух матриц $\mathbf{A}_{304}, \mathbf{A}_{305}$ одна подобна матрице $D_{1} = \operatorname {diag}(1, - 1, 0)$ , а другая — матрице $D_{2} = \operatorname {diag}(1, 1, 0)$ . Выяснить, какая именно, без вычисления собственных значений и собственных векторов. $\mathbf{A}_{304} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{305} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.38

(1)(2)

?

(1)

Матрица $\mathbf{A}_{283}$ подобна одной из матриц: $- E$ , $J_{3}(- 1), \operatorname {diag}\left(- 1, J_{2}(- 1)\right)$ . Какой именно? $\mathbf{A}_{283} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \\ -2 & -3 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

Одна из матриц $\mathbf{A}_{457}, \mathbf{A}_{458}, \mathbf{A}_{485}$ подобна матрице $J_{4}(0)$ . Какая именно? $\mathbf{A}_{457} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{458} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{485} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & -1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.39

Треугольники $ABC$ и $A^{\prime } B^{\prime } C^{\prime }$ подобны (с коэффициентом подобия $\lambda$ ). Если длины сторон треугольника $ABC$ равны $a, b, c$ , то соответствующие стороны треугольника $A^{\prime } B^{\prime } C^{\prime }$ имеют длины $3a + b + c, a + 3b + c, a + b + 3c$ . Доказать, что треугольники правильные, и найти $\lambda$ .

?

Задача 24.40

Сумма различных натуральных чисел $n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}$ равна 18. После того как их увеличили в одинаковое число $\lambda$ раз, получились числа $n_{1} + n_{2} + n_{3} + n_{4}, n_{1} + n_{2} - n_{3} - n_{4}$ , $n_{1} - n_{2} + n_{3} - n_{4}, \quad n_{1} - 2n_{2} - n_{3} + 3n_{4}$ . Найти $n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}, \lambda$ .

?

Задача 24.41

Последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ задана рекуррентной формулой: $x_{n + 1} = \frac{2}{3} x_{n} + \frac{1}{3} x_{n - 1} \quad (n = 1, 2, \ldots ); x_{0} = a, \quad x_{1} = b$ . Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел.

?

Задача 24.42

(1)(2)(3)(4)

Найти собственные значения и собственные векторы (собственные функции) дифференцирования $D$ как линейного преобразования каждого из следующих линейных пространств вешественных функций $(n$ — фиксированное натуральное число):

?

(1)

пространство всех многочленов степени не выше $n$

(2)

пространство всех тригонометрических многочленов вида $f(t) = a_{0} + a_{1} \cos t + b_{1} \sin t + \ldots + a_{n} \cos nt + b_{n} \sin nt$

(3)

линейная оболочка системы функций $e^{\lambda_{1} t}, \ldots , e^{\lambda_{n} t}$ , где $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — попарно различные числа.

(4)

пространство всех функций вида $e^{\lambda_{0} t} p(t)$ , где $p(t)$ — любой многочлен степени не выше $n, \lambda_{0}$ — фиксированное число $\left(\lambda_{0} \neq 0\right)$ .

Задача 24.43

(1)(2)(3)(4)

Найти собственные значения и собственные векторы преобразования $D^{2}$ в пространствах функций задачи 24. 42:

?

(1)

пространство всех многочленов степени не выше $n$

(2)

пространство всех тригонометрических многочленов вида $f(t) = a_{0} + a_{1} \cos t + b_{1} \sin t + \ldots + a_{n} \cos nt + b_{n} \sin nt$

(3)

линейная оболочка системы функций $e^{\lambda_{1} t}, \ldots , e^{\lambda_{n} t}$ , где $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — попарно различные числа.

(4)

пространство всех функций вида $e^{\lambda_{0} t} p(t)$ , где $p(t)$ — любой многочлен степени не выше $n, \lambda_{0}$ — фиксированное число $\left(\lambda_{0} \neq 0\right)$ .

Задача 24.44

(1)(2)(3)

Проверить, что функции вида $y = e^{t} p(t)$ , где $p(t)$ — многочлен не выше второй степени, образуют линейное пространство $\mathcal{L}$ . Убедиться в том, что $\varphi$ — линейное преобразование пространства $\mathcal{L}$ , и решить для $\varphi$ задачу на собственные значения и собственные векторы:

?

(1)

$\varphi (y) = y^{\prime \prime } - 2y^{\prime } + y$ , т. е. $\varphi = D^{2} - 2D + \iota$

(2)

$\varphi = D^{3} - 2D^{2}$

(3)

$\varphi = D^{3} - 3D^{2} + 3D + \iota$ .

Задача 24.45

(1)(2)

Проверить, что функции вида $y = e^{ - t}(a\cos t + b\sin t)$ образуют линейное пространство $\mathcal{M}$ и что преобразование $\varphi = p(D)$ , где $p(t)$ — данный многочлен, $D$ — дифференцирование, является линейным преобразованием пространства $\mathcal{M}$ . Решить для $\varphi$ задачу на собственные значения и собственные векторы, если:

?

(1)

$p(t) = (t + 1)^{2}$

(2)

$p(t) = t^{2} - 1$

Задача 24.46

(1)(2)

В линейной оболочке функций $\cos 2t, \sin 2t, t\cos 2t$ , $t\sin 2t$ задано линейное преобразование $\varphi = p(D)$ , где $p(t)$ — многочлен, $D$ — дифференцирование. Решить для $\varphi$ задачу на собственные значения и собственные векторы, если:

?

(1)

$p(t) = t^{2} + 4$

(2)

$p(t) = t^{4} + 8t^{2}$ .

Задача 24.47

(1)(2)(3)

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования $\varphi$ пространства вещественных многочленов $p(t)$ не выше второй степени, если:

?

(1)

$\varphi (p) = tp^{\prime }$ ; 1

(2)

$\varphi (p) = (tp)^{\prime }$

(3)

$\varphi (p) = t^{2} p^{\prime \prime } - tp^{\prime } + 2p$ .

Задача 24.48

Найти собственные значения и собственные векторы преобразования дифференцирования в пространстве функший, бесконечно дифференцируемых на всей числовой прямой.

?

Задача 24.49

(1)(2)

Пусть $\mathcal{L}$ — множество функций $y(t)$ , бесконечно дифференцируемых на отрезке $\left[0, \pi \right]$ и таких, что $y(0) = y(\pi ) = 0$ .

?

(1)

Проверить, что $\mathcal{L}$ — линейное пространство.

(2)

Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования $\varphi$ пространства $\mathcal{L}$ , заданного формулой $\varphi (y) = y^{\prime \prime }$ .

Задача 24.50

Пусть $A, B$ — квадратные матрицы, и матрица $\left[\begin{smallmatrix} A & C \\ O & B\end{smallmatrix}\right]^{\square }$ диагонализируема. Доказать, что матрицы $A, B$ диагонализируемы. Показать на примере, что обратное утверждение неверно.

?

Задача 24.51

(1)(2)(3)

Зафиксируем вещественный многочлен $p_{0}(t)$ степени $m$ $(m \geqslant 1)$ . Любой многочлен $p(t)$ можно разделить на $p_{0}(t)$ с остатком, т. е. однозначно представить в виде

p(t) = q(t) p_{0}(t) + r(t)

(степень остатка $r(t)$ меньше степени $p_{0}(t)$ ). Преобразование $\varphi$ пространства $\mathcal{P}$ всех вещественных многочленов определим формулой $\varphi (p(t)) = r(t)$ .

?

(1)

Показать, что преобразование $\varphi$ линейно и $\varphi^{2} = \varphi$ .

(2)

Найти собственные значения и собственные векторы преобразования $\varphi$ .

(3)

Доказать, что формула (4) дает разложение пространства $\mathcal{P}$ в прямую сумму собственных подпространств.

Задача 24.52

(1)(2)(3)

Пусть $\varphi$ — операция взятия остатка от деления на многочлен $p_{0}(t)$ (см. задачу 24. 51) в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования $\varphi$ в этом базисе, если:

?

(1)

$p_{0}(t) = t$

(2)

$p_{0}(t) = t^{2} + 1$

(3)

$p_{0}(t) = (t - 1)^{3}$ .

Задача 24.53

В пространстве $\mathcal{R}_{n \times n}$ квадратных матриц порядка $n$ рассматривается операция транспонирования $\tau : A \rightarrow A^{T}$ . Проверить, что $\tau$ — линейное преобразование и $\tau^{2} = \iota$ . Найти собственные значения и собственные векторы преобразования $\tau$ . Разложить пространство $\mathcal{R}_{n \times n}$ в прямую сумму собственных подпространств преобразования $\tau$ .

?

Задача 24.54

(1)(2)(3)

Множество комплексных матриц порядка $n\mathrm{pac}$ — сматривается как вещественное линейное пространство $\mathcal{M}$ размерности $2n^{2}$ .

?

(1)

Проверить, что операция $\eta : A \rightarrow A^{H} = \bar{A}^{T}$ эрмитова сопряжения матрицы является линейным преобразованием пространства $\mathcal{M}$ , причем $\eta^{2} = i$ .

(2)

Найти собственные значения и собственные векторы преобразования $\eta$ .

(3)

Показать, что преобразование $\eta$ не является линейным преобразованием комплексного пространства $\mathcal{C}_{n \times n}$ .

Задача 24.55

(1)(2)(3)

Пусть $A$ — матрица второго порядка. Формула $\varphi (X) = AX$ определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка (задача 23. 47). Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования $\varphi$ . В случае, когда эта система является базисом, записать в нем матрицу преобразования $\varphi$ :

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{46}$ . $\mathbf{A}_{46} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 0 \\ 1 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{52}$ . $\mathbf{A}_{52} = \left[\begin{smallmatrix} 11 & -2 \\ 18 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{50}$ (в пространстве комплексных матриц). $\mathbf{A}_{50} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.56

(1)(2)(3)

Решить задачу на собственные значения и собственные векторы для преобразования $\varphi (X) = XB$ пространства матриц второго порядка, если:

?

(1)

$B = \mathbf{A}_{36}$ . $\mathbf{A}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -3 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$B = \mathbf{A}_{51}$ (пространство вещественное). $\mathbf{A}_{51} = \left[\begin{smallmatrix} -7 & -2 \\ 8 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$B = \mathbf{A}_{45}$ (пространство комплексное). $\mathbf{A}_{45} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.57

(1)(2)

Преобразование пространства матриц второго порядка определено формулой $\varphi (X) = AX - XA$ , где $A$ — фиксированная матрица.

?

(1)

Показать, что преобразование $\varphi$ линейно, и найти его матрицу в стандартном базисе.

(2)

Решить для преобразования $\varphi$ задачу на собственные значения и собственные векторы, если:

(1) $A = \mathbf{A}_{106}$

(2) $A = \mathbf{A}_{22}$ (пространство вещественное);

(3) $A = \mathbf{A}_{20}$ (пространство комплексное). $\mathbf{A}_{106} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{22} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.58

(1)(2)

Пусть $A$ — невырожденная матрица второго порядка. Показать, что формула $\varphi (X) = A^{ - 1} XA$ определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка. Решить для преобразования $\varphi$ задачу на собственные значения и собственные векторы, если:

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{22}$ . $\mathbf{A}_{22} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{13}$ . $\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 24.59

(1)(2)

Найти собственные векторы и собственные значения преобразования сдвига в пространстве многочленов от двух переменных, определенного в задаче 23. 50, если:

?

(1)

$a = 1, \quad b = 0$

(2)

$a = 1, \quad b = - 2$ .

Задача 24.60

(1)(2)(3)

Решить задачу о собственных значениях и собственных векторах для линейных преобразований пространства однородных многочленов степени $n$ от двух переменных, определенных в задаче 23. 51:

?

(1)

$\varphi (p) = x\frac{\partial p}{\partial y}$ ;

(2)

$\varphi (p) = y\frac{\partial p}{\partial x}$ ;

(3)

$\varphi (p) = x\frac{\partial p}{\partial x} - y\frac{\partial p}{\partial y}$ .

Задача 24.61

(1)(2)(3)

Пусть $A$ — матрица второго порядка, $\left(x^{ * }, y^{ * }\right) = (x, y) A$ . Преобразование $\varphi$ пространства многочленов $p(x, y)$ степени не выше $n$ определим формулой $\varphi (p(x, y)) = p\left(x^{ * }, y^{ * }\right)$ . Показать, что $\varphi$ — линейное преобразование. Найти его собственные векторы и собственные значения, если $n = 2$ и

?

(1)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1\end{smallmatrix}\right]$

Задача 24.62

(1)(2)

Пусть $\mathcal{K}(x, y) = g_{0}(y) + xg_{1}(y) + x^{2} g_{2}(y)$ , где $g_{0}(y)$ , $g_{1}(y), g_{2}(y)$ — непрерывные функции на отрезке $\left[ - 1, 1\right]$ . Показать, что преобразование $\varphi$ , определяемое формулой

\varphi (p(x)) = \int _{ - 1}^{1} \mathcal{K}(x, y) p(y) dy

является линейным преобразованием пространства многочленов $p(x)$ степени не выше 2. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования $\varphi$ , если:

?

(1)

$\mathcal{K}(x, y) = 3x^{2} y + 5xy^{2}$

(2)

$\mathcal{K}(x, y) = y^{2} + 2x(y - 1) + \left(1 - 3y^{2}\right) x^{2}$ .

Задача 24.63

(1)(2)

Показать, что формула

\varphi (f(x)) = \int _{0}^{\pi } \mathcal{K}(x, y) f(y) dy

определяет линейное преобразование $\varphi$ пространства тригонометрических многочленов вида:

?

(1)

$a\cos x + b\sin x$ , если $\mathcal{K}(x, y) = \sin (x + y)$

(2)

$a + b\cos 2x + c\sin 2x$ , если $\mathcal{K}(x, y) = \cos^{2}(x - y)$ . Найти собственные значения и собственные векторы преобразования $\varphi$ .

Задача 24.64

Найти собственные значения и собственные векторы оператора Лапласа $\triangle = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}$ в пространстве многочленов $p(x, y)$ с вещественными коэффициентами.

?

Задача 24.65

(1)(2)(3)(4)

Пусть $\varphi , \psi$ — подобные преобразования линейного пространства $\mathcal{L}$ (см. формулу (5) введения к $\S 23$ ). Доказать, что:

?

(1)

характеристические многочлены преобразований $\varphi$ и $\psi$ совпадают

(2)

если $x$ — собственный вектор преобразования $\varphi$ , то $\omega^{ - 1}(x)$ — собственный вектор преобразования $\psi$ , отвечающий тому же собственному значению

(3)

если в $\mathcal{L}$ существует базис, в котором матрица преобразования $\varphi$ диагональна (треугольна), то аналогичный базис существует и для $\psi$ .

(4)

Показать на примере, что совпадение характеристических многочленов двух линейных преобразований не влечет подобия этих преобразований.