Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейных преобразований
[148/71%]Доказать, что множество всех собственных векторов линейного преобразования, отвечающих одному собственному значению, дополненное нулевым вектором, совпадает с собственным подпространством.
Доказать, что:
ядро линейного преобразования совпадает с собственным подпространством, отвечающим нулевому собственному значению
Собственное подпространство преобразования , отвечающее собственному значению , есть множество векторов, удовлетворяющих условию .
Пусть — матрица, а — собственное значение линейного преобразования -мерного линейного пространства. Чему равна размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению , если ранг матрицы равен ?
Какой вид имеет матрица линейного преобразования, если первые базисных векторов являются его собственными векторами?
Доказать, что размерность собственного подпространства, отвечающего данному корню характеристического многочлена, не превосходит кратности этого корня.
Пусть — собственные векторы линейного преобразования, отвечающие различным собственным значениям, а числа отличны от нуля. Доказать, что вектор не является собственным.
Доказать, что ненулевое линейное преобразование, для которого все ненулевые векторы собственные, является гомотетией.
Доказать, что система собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям линейного преобразования, линейно независима.
Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе тогда и только тогда диагональна, когда все векторы базиса собственные.
Доказать, что линейное преобразование -мерного линейного пространства, имеющее различных собственных значений, диагонализируемо.
Пусть — линейное преобразование конечномерного линейного пространства . Доказать, что следующие высказывания равносильны:
диагонализируемо
в существует базис из собственных векторов преобразования
объединение базисов собственных подпространств является базисом в
кратность каждого корня характеристического уравнения равна размерности собственного подпространства
является прямой суммой собственных подпространств.
Доказать, что:
в комплексном линейном пространстве каждое характеристическое число матрицы линейного преобразования является собственным значением, так что произвольное линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор
в вещественном пространстве каждое вещественное характеристическое число является собственным значением.
Доказать, что линейное преобразование нечетномерного (например, трехмерного) вещественного линейного пространства имеет хотя бы один собственный вектор.
Доказать, что характеристический многочлен, определитель и след матрицы линейного преобразования не зависят от выбора базиса.
Найти выражение коэффициентов характеристического многочлена, в частности следа и определителя матрицы порядка , через характеристические числа.
Найти собственные векторы и собственные значения каждого из следующих преобразований:
нулевого
тождественного
гомотетии.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе -мерного линейного пространства матрицей . .
Пусть матрица линейного преобразования в некотором базисе — верхняя или нижняя треугольная с диагональными элементами . Найти все собственные значения этого преобразования.
Пусть , где — ненулевые подпространства. Найти собственные значения и собственные подпространства линейного преобразования ; доказать, что имеет базис из собственных векторов, и указать диагональный вид его матрицы, если есть:
проектирование на подпространство параллельно
отражение в подпространстве параллельно .
Найти собственные значения и собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицы линейных преобразований, определенных в задаче 23. 65.
отражение плоскости в прямой параллельно прямой
проектирование плоскости на прямую параллельно прямой
сжатие с коэффициентом к прямой параллельно прямой .
Найти собственные значения, собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицу линейного преобразования, определенного в задаче:
23.9(1): ортогональное проектирование пространства на подпространство , если есть прямая ;
23.9(2): ортогональное проектирование пространства на подпространство , если есть прямая ;
23.9(3): ортогональное проектирование пространства на подпространство , если есть плоскость ;
23.9(4): ортогональное проектирование пространства на подпространство , если есть плоскость, натянутая на векторы и ;
23.10(1): проектирование пространства на подпространство параллельно подпространству , если: определено уравнением , — уравнениями ;
23.10(2): проектирование пространства на подпространство параллельно подпространству , если: имеет уравнение , определяется системой уравнений ;
23.10(3): проектирование пространства на подпространство параллельно подпространству , если: определено уравнениями , — уравнением ;
23.10(4): проектирование пространства на подпространство параллельно подпространству , если: определено системой уравнений , — уравнением ;
23.12(1): линейное преобразование , если — ортогональное отражение пространства относительно плоскости ;
23.12(2): линейное преобразование , если — ортогональное отражение пространства относительно прямой ;
23.12(3): линейное преобразование , если — ортогональное отражение пространства относительно линейной оболочки векторов и ;
23.13(1): отражение пространства в плоскости параллельно прямой ;
23.13(2): отражение пространства в прямой параллельно плоскости .
Линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, определенного в задаче:
.
Можно ли из собственных векторов преобразования составить базис?
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования , заданного матрицей
Найти необходимое и достаточное условие диагонализируемости преобразования .
Выяснить, диагонализируемы ли преобразования, заданные матрицами:
(1) ;
(2) . .
Пусть — натуральные числа, . Привести пример линейного преобразования -мерного линейного пространства, для которого данное число является корнем характеристического многочлена кратности , а отвечающее ему собственное подпространство имеет размерность .
Пусть линейное преобразование трехмерного комплексного линейного пространства в некотором базисе имеет вещественную матрицу и по крайней мере одно характеристическое число этой матрицы не является вещественным. Доказать, что диагонализируемо.
Пусть — собственный вектор линейного преобразования , отвечающий собственному значению , a — многочлен. Доказать, что вектор является собственным для преобразования и принадлежит собственному значению .
Пусть — характеристические числа линейного преобразования в -мерном линейном пространстве. Чему равны характеристические числа (с учетом кратностей) преобразования:
;
(р) — натуральное число)
(при условии, что обратимо)
, где — произвольный многочлен (при условии, что различны)?
Пусть характеристические многочлены квадратных матриц и имеют простые корни и соответственно. Найти характеристические числа кронекеровского произведения матриц . (См. введение к § 15.)
Пусть линейное преобразование линейного пространства диагонализируемо. Доказать утверждения:
есть линейная оболочка множества всех собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям
.
Привести пример линейного преобразования пространства , для которого .
Линейное преобразование вещественного -мерного линейного пространства задано своей матрицей. Вычислить собственные значения и найти максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования. Если найденная система векторов образует базис, записать в нем матрицу преобразования и выяснить геометрический смысл преобразования (в пунктах 1-10 , в пунктах 11-30 , в пунктах 31-40 ):
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Линейное преобразование комплексного -мерного линейного пространства задано своей матрицей. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования в этом базисе:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов линейного преобразования, заданного своей матрицей. Объяснить, почему преобразование не диагонализируемо:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Найти характеристические числа линейного преобразования, заданного своей матрицей. Выяснить, диагонализируемо ли преобразование:
(1) в вещественном пространстве,
(2) в комплексном пространстве. Если да, то найти базис из собственных векторов и записать в нем матрицу преобразования; в противном случае указать, какое из необходимых условий диа — гонализуемости не выполнено:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Решить задачу на собственные значения и собственные векторы и указать диагональный вид матрицы линейного преобразования, заданного в стандартном базисе (вещественное -мерное арифм. пр — во в пунктах 1 - 10, комплекное -мерное арифм. пр — во в пунктах 11 - 13):
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
; . .
. .
. .
Найти характеристические числа матрицы:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
— нечетно). .
Вычислить:
, где
, где .
Одна из матриц подобна матрице . Какая именно? Ответ обосновать, не находя собственных векторов и характеристических чисел. .
Матрица подобна одной из матриц . Выяснить, какой именно, не находя собственных значений и собственных векторов. .
Из двух матриц одна подобна матрице , а другая — матрице . Выяснить, какая именно, без вычисления собственных значений и собственных векторов. .
Матрица подобна одной из матриц: , . Какой именно? .
Одна из матриц подобна матрице . Какая именно? .
Треугольники и подобны (с коэффициентом подобия ). Если длины сторон треугольника равны , то соответствующие стороны треугольника имеют длины . Доказать, что треугольники правильные, и найти .
Сумма различных натуральных чисел равна 18. После того как их увеличили в одинаковое число раз, получились числа , . Найти .
Последовательность задана рекуррентной формулой: . Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел.
Найти собственные значения и собственные векторы (собственные функции) дифференцирования как линейного преобразования каждого из следующих линейных пространств вешественных функций — фиксированное натуральное число):
пространство всех многочленов степени не выше
пространство всех тригонометрических многочленов вида
линейная оболочка системы функций , где — попарно различные числа.
пространство всех функций вида , где — любой многочлен степени не выше — фиксированное число .
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования в пространствах функций задачи 24. 42:
пространство всех многочленов степени не выше
пространство всех тригонометрических многочленов вида
линейная оболочка системы функций , где — попарно различные числа.
пространство всех функций вида , где — любой многочлен степени не выше — фиксированное число .
Проверить, что функции вида , где — многочлен не выше второй степени, образуют линейное пространство . Убедиться в том, что — линейное преобразование пространства , и решить для задачу на собственные значения и собственные векторы:
, т. е.
.
Проверить, что функции вида образуют линейное пространство и что преобразование , где — данный многочлен, — дифференцирование, является линейным преобразованием пространства . Решить для задачу на собственные значения и собственные векторы, если:
В линейной оболочке функций , задано линейное преобразование , где — многочлен, — дифференцирование. Решить для задачу на собственные значения и собственные векторы, если:
.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования пространства вещественных многочленов не выше второй степени, если:
; 1
.
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования дифференцирования в пространстве функший, бесконечно дифференцируемых на всей числовой прямой.
Пусть — множество функций , бесконечно дифференцируемых на отрезке и таких, что .
Проверить, что — линейное пространство.
Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования пространства , заданного формулой .
Пусть — квадратные матрицы, и матрица диагонализируема. Доказать, что матрицы диагонализируемы. Показать на примере, что обратное утверждение неверно.
Зафиксируем вещественный многочлен степени . Любой многочлен можно разделить на с остатком, т. е. однозначно представить в виде
(степень остатка меньше степени ). Преобразование пространства всех вещественных многочленов определим формулой .
Показать, что преобразование линейно и .
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования .
Доказать, что формула (4) дает разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств.
Пусть — операция взятия остатка от деления на многочлен (см. задачу 24. 51) в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования в этом базисе, если:
.
В пространстве квадратных матриц порядка рассматривается операция транспонирования . Проверить, что — линейное преобразование и . Найти собственные значения и собственные векторы преобразования . Разложить пространство в прямую сумму собственных подпространств преобразования .
Множество комплексных матриц порядка — сматривается как вещественное линейное пространство размерности .
Проверить, что операция эрмитова сопряжения матрицы является линейным преобразованием пространства , причем .
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования .
Показать, что преобразование не является линейным преобразованием комплексного пространства .
Пусть — матрица второго порядка. Формула определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка (задача 23. 47). Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования . В случае, когда эта система является базисом, записать в нем матрицу преобразования :
. .
. .
(в пространстве комплексных матриц). .
Решить задачу на собственные значения и собственные векторы для преобразования пространства матриц второго порядка, если:
. .
(пространство вещественное). .
(пространство комплексное). .
Преобразование пространства матриц второго порядка определено формулой , где — фиксированная матрица.
Показать, что преобразование линейно, и найти его матрицу в стандартном базисе.
Решить для преобразования задачу на собственные значения и собственные векторы, если:
(1)
(2) (пространство вещественное);
(3) (пространство комплексное). .
Пусть — невырожденная матрица второго порядка. Показать, что формула определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка. Решить для преобразования задачу на собственные значения и собственные векторы, если:
. .
. .
Найти собственные векторы и собственные значения преобразования сдвига в пространстве многочленов от двух переменных, определенного в задаче 23. 50, если:
.
Решить задачу о собственных значениях и собственных векторах для линейных преобразований пространства однородных многочленов степени от двух переменных, определенных в задаче 23. 51:
;
;
.
Пусть — матрица второго порядка, . Преобразование пространства многочленов степени не выше определим формулой . Показать, что — линейное преобразование. Найти его собственные векторы и собственные значения, если и
Пусть , где , — непрерывные функции на отрезке . Показать, что преобразование , определяемое формулой
является линейным преобразованием пространства многочленов степени не выше 2. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования , если:
.
Показать, что формула
определяет линейное преобразование пространства тригонометрических многочленов вида:
, если
, если . Найти собственные значения и собственные векторы преобразования .
Найти собственные значения и собственные векторы оператора Лапласа в пространстве многочленов с вещественными коэффициентами.
Пусть — подобные преобразования линейного пространства (см. формулу (5) введения к ). Доказать, что:
характеристические многочлены преобразований и совпадают
если — собственный вектор преобразования , то — собственный вектор преобразования , отвечающий тому же собственному значению
если в существует базис, в котором матрица преобразования диагональна (треугольна), то аналогичный базис существует и для .
Показать на примере, что совпадение характеристических многочленов двух линейных преобразований не влечет подобия этих преобразований.
Доказать, что
ядро и
множество значений линейного преобразования являются инвариантными подпространствами.
Доказать, что собственное подпространство линейного преобразования инвариантно.
Пусть — линейное преобразование линейного пространства — подпространство в , инвариантное относи — тельно , и — многочлен. Доказать, что данное подпространство в инвариантно относительно :
;
(если обратимо)
.
Доказать, что
сумма двух (и вообще любого конечного множества) и
пересечение двух (и вообще любого множества) инвариантных подпространств линейного преобразования — инвариантные подпространства.
Пусть — линейное преобразование линейного пространства. Доказать, что любое подпространство, содержащее , инвариантно.
Доказать, что если линейное преобразование невырождено, то и имеют одни и те же инвариантные подпространства.
Какой вид имеет матрица линейного преобразования -мерного линейного пространства, если базис инвариантного подпространства образован:
первыми базисными векторами
последними базисными векторами?
Пусть линейное пространство является прямой суммой двух инвариантных подпространств линейного преобразования. Доказать, что тогда в некотором базисе матрица преобразования имеет вид , где — квадратные матрицы.
Сформулировать и доказать обратное утверждение.
Доказать, что:
характеристический многочлен линейного преобразования делится на характеристический многочлен его ограничения на инвариантном подпространстве
если все корни характеристического многочлена линейного преобразования линейного пространства принадлежат полю, над которым определено , то всякое подпространство в , инвариантное относительно , содержит собственный вектор этого преобразования
если линейное пространство является прямой суммой инвариантных подпространств линейного преобразования , то характеристический многочлен равен произведению характеристических многочленов ограничений на этих инвариантных подпространствах.
Найти все подпространства, инвариантные относительно гомотетии линейного пространства.
Найти подпространства, инвариантные относительно поворота плоскости вокруг начала координат на угол .
Найти подпространства трехмерного геометрического векторного пространства, инвариантные относительно поворота на угол вокруг прямой .
Пусть линейное преобразование -мерного линейного пространства имеет попарно различных собственных значений. Найти все инвариантные подпространства и подсчитать их количество.
Пусть — диагонализируемое линейное преобразование -мерного линейного пространства . Найти все подпространства в , инвариантные относительно преобразования .
Найти все подпространства в , инвариантные относительно , если в базисе линейного пространства линейное преобразование имеет матрицу:
Пусть . Найти инвариантные подпространства данного линейного преобразовакия пространства :
проектирования на параллельно
отражения в параллельно .
Показать, что преобразование проектирования линейного пространства обладает свойством: .
Доказать, что ненулевое линейное преобразование , для которого , есть проектирование на параллельно .
Показать, что преобразование отражения линейного пространства в подпространстве обладает свойством .
Доказать, что линейное преобразование , отличное от , для которого , есть отражение пространства в подпространстве неподвижных векторов параллельно некоторому дополнительному подпространству.
Пусть — линейное преобразование пространства . Доказать, что при любом каждое подпространство, содержащее , инвариантно относительно .
Доказать утверждения:
Если линейное преобразование -мерного линейного пространства имеет собственный вектор, то для него существует и -мерное инвариантное подпространство.
Пусть — матрица линейного преобразования в некотором базисе — собственное значение и строка а определена уравнением . Тогда уравнение в базисе определяет -мерное подпространство, инвариантное относительно преобразования . Справедливо ли обратное утверждение?
Всякое -мерное инвариантное подпространство линейного преобразования комплексного пространства содержит -мерное инвариантное подпространство.
Линейное преобразование арифметического пространства в стандартном базисе задано матрицей . Найти подпространства, инвариантные относительно , если:
. .
. .
. .
. .
. .
, . .
. .
Найти -мерные подпространства в , инвариантные относительно линейного преобразования, заданного своей матрицей , если:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Пусть — характеристическое число вещественной матрицы порядка — собственный вектор линейного преобразования пространства с матрицей (x, у — вещественные векторы). Доказать, что и образуют базис двумерного инвариантного подпространства линейного преобразования пространства , заданного матрицей .
Найти двумерные инвариантные подпространства для линейного преобразования пространства , заданного в стандартном базисе матрицей . .
Пусть — линейное преобразование вещественного линейного пространства, — пара его комплексно сопряженных характеристических чисел, и . Доказать, что квазисобственное подпространство — ненулевое и инвариантно относительно .
Найти квазисобственные подпространства преобразования , заданного матрицей :
. .
. .
Доказать, что квазисобственное подпространство не содержит собственных векторов, и через каждый его вектор проходит двумерное инвариантное подпространство.
Доказать, что размерность квазисобственного подпространства — четное число.
Доказать, что квазисобственное подпространство можно разложить в прямую сумму двумерных инвариантных подпространств.
Доказать, что размерность квазисобственного пространства не превосходит удвоенной кратности соответствующего характеристического числа.
Доказать, что в двумерном инвариантном подпространстве преобразования , не содержащем собственных векторов, можно выбрать базис так, что матрица ограничения будет иметь вид .
Доказать, что любое двумерное инвариантное подпространство, не содержащее собственньх векторов, лежит в некотором квазисобственном подпространстве.
Доказать, что любые два квазисобственные подпространства имеют нулевое пересечение.
Доказать, что собственные и квазисобственные подпространства линейного преобразования расположены так, что сумма их — прямая сумма.
Для каждого из преобразований задачи 24. 90:
. .
. .
найти матрицу перехода к такому базису, в котором его матрица — клеточно диагональная, и найти матрицу преобразования в этом базисе. (В каждом случае найти хотя бы одно решение.)
Пусть линейное преобразование -мерного линейного пространства обладает цепочкой вложенных друг в друга попарно различных инвариантных подпространств: . Доказать, что в существует базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная.
Пусть в базисе матрица линейного преобразования пространства верхняя треугольная. Доказать, что подпространства инвариантны относительно и .
Линейное преобразование пространства задано матрицей в стандартном базисе. Привести матрицу преобразования к треугольному виду, если:
. .
. .
. .
. .
Пусть — цепочка подпространств линейного пространства , инвариантных относительно линейного преобразования . Допустим, что базис выбран так, что векторы принадлежат . Показать, что матрица — верхняя блочно треугольная с диагональными блоками размеров , где , .
Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования — верхняя блочно треугольная. Доказать, что преобразование обладает цепочкой инвариантных подпространств. Выразить их размерности через порядки диагональных блоков.
Пусть — линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций — целое неотрицательное число, — фиксированное действительное число. Доказать, что данное множество функций образует подпространство в , инвариантное относительно дифференцирования :
множество всех многочленов
множество всех многочленов степени не выше
множество всех тригонометрических многочленов порядка не выше
множество всех линейных комбинаций функций
множество всех функций , где — произвольный многочлен
множество всех функций , где — произвольный тригонометрический многочлен
множество всех функций , где — произвольный многочлен.
Пусть — линейное пространство функций задачи 24.103, . Доказать, что данное множество функций является подпространством в , инвариантным относительно преобразования . Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования на этом подпространстве:
множество всех четных многочленов степени не выше
множество всех нечетных многочленов степени не выше
множество всех четных тригонометрических многочленов
множество всех нечетных тригонометрических многочленов .
Найти все подшространства линейного пространства всех многочленов, инвариантные относительно дифференцирования.
Показать, что линейное преобразование пространства всех многочленов, состоящее в умножении многочленов на , не имеет ни собственных векторов, ни инвариантных подпространств (кроме нулевого подпространства и всего пространства).
Найти подпространства, инвариантные относительно операции взятия остатка (см. задачу 24. 51) в пространстве всех многочленов.
Пусть — линейное преобразование пространства многочленов , определенное в задаче 24. 61. Доказать, что подпространства однородных многочленов степени инвариантны относительно преобразования .
Найти подпространства линейного пространства матриц порядка , инвариантные относительно транспонирования.
В пространстве рассматривается преобразование , где — фиксированная матрица. Доказать, что является прямой суммой подпространств, инвариантных относительно .
В пространстве рассматривается преобразование , где — фиксированная матрица. До — казать, что данное множество образует инвариантное относительно подпространство:
множество всех матриц с нулевым следом
множество всех верхних треугольных матриц (если матрица верхняя треугольная)
множество всех кососимметрических матриц (если матрица кососимметрическая)
множество всех диагональных матриц (если матрица диагональная).
Линейное преобразование пространства вещественных матриц порядка определено формулой , где — фиксированная матрица.
Доказать, что кососимметрические матрицы образуют подпространство в , инвариантное относительно преобразования
выразить характеристические числа ограничения на этом подпространстве через характеристические числа матрицы .
Линейное преобразование пространства матриц порядка определено формулой , где — невырожденная матрица. Доказать, что данное множество матриц является подпространством, инвариантным относительно преобразования :
множество всех матриц с нулевым следом
множество всех скалярных матриц
множество всех верхних треугольных матриц (если матрица верхняя треугольная)
(1) множество всех симметрических матриц;
(2) множество всех кососимметрических матриц (если матрица ортогональная).
(1) множество всех эрмитовых матриц;
(2) множество всех косоэрмитовых матриц (если — унитарная матрица и если эти множества — подпространства -мерного вещественного пространства комплексных матриц порядка ).
Линейное преобразование комплексного пространства матриц второго порядка задано формулой , где — вещественное число. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования на подпространстве:. .
симметрических матриц
матриц с нулевым следом.
Привести пример матрицы порядка , имеющей характеристическое число кратности , и собственное подпространство размерности . Сколько жордановых клеток отвечает этому , и чему равна сумма порядков этих клеток?
Проверить прямым вычислением теорему Гамильтона - Кэли для данной матрицы и определить ее минимальный многочлен:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Может ли минимальный многочлен матрицы порядка
быть многочленом первой степени
иметь вид . Привести примеры.
Показать, что собственный вектор является корневым. Чему равна высота собственного вектора?
Доказать, что матрица линейного преобразования тогда и только тогда диагонализуема, когда высота каждого корневого вектора равна 1.
Доказать, что корневые векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.
Пусть и корневые подпространства, отвечающие собственным значениям . Доказать, что инвариантно относительно , и ограничение на невырождено.
Доказать, что размерность корневого подпространства равна кратности соответствующего собственного значения как корня характеристического многочлена.
Доказать линейную независимость векторов жордановой цепочки.
Доказать, что начальные векторы жордановых цепочек, составляющих базис корневого подпространства, образуют базис соответствующего собственного подпространства.
Пусть размерность собственного подпространства, соответствующего характеристическому числу , меньше кратности . Каждый ли собственный вектор имеет присоединенный вектор?
Найти базисы корневых подпространств линейного преобразования, заданного матрицей :
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Проверить, что линейное преобразование, заданное матрицей , нильпотентно и найти для него жорданов базис и жорданову форму матрицы:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Привести к жордановой форме матрицу:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
(р) . .
. .
. .
(р) . .
. .
. .
. .
Приводятся ли к жордановой форме следующие матрицы линейных преобразований вещественного пространства? Найти их жорданову форму как матриц линейных преобразований комплексного пространства:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Привести к жордановой форме матрицу линейного преобразования комплексного арифметического пространства:
. .
. .
. .
. .
Вычислить значение следующих многочленов от матрицы :
произвольный многочлен .
Найти жорданову форму матрицы:
натуральное
.
Что можно сказать о матрице порядка , если ее минимальный многочлен удовлетворяет следуюшему условию:
имеет все корни кратности 1
с точностью до знака совпадает с характеристическим многочленом.
Пусть для некоторого натурального числа m. Доказать, что жорданова форма матрицы диагональна. Какие числа стоят на диагонали этой матрицы?
Найти жорданову форму линейного преобразования комплексного арифметического пространства с матрицей:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Не находя жордановых базисов, установить жордановы формы матриц, зная, что их характеристические многочлены равны :
. .
. .
. .
Проверить, что матрицы и имеют одинаковые характеристические многочлены. Найти их минимальные многочлены и жордановы формы. .
Определить жорданову форму матрицы по заданному характеристическому многочлену , зная, что .
Найти экспоненту матрицы:
. .
.
Пусть линейные преобразования перестановочны. Доказать, что:
ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого
собственные подпространства преобразования инвариантны относительно .
Пусть — собственное значение линейного преобразования .
Доказать, что подпространства инвариантны относительно .
Показать, что . Может ли включение быть строгим?
Доказать, что:
любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор
то же утверждение верно для вещественного пространства, если все характеристические числа преобразований вещественны.
Пусть — вырожденное линейное преобразование конечномерного линейного пространства. Доказать, что существует такое , что для всех , преобразование невырождено.
Доказать, что для любых двух линейных преобразований одного и того же линейного пространства характеристические многочлены преобразований и совпадают.
Пусть — перестановочные линейные преобразования -мерного пространства, причем имеет различных собственных значений. Доказать, что все собственные векторы преобразования являются собственными и для , так что матрицы и диагональны в общем для них базисе.
Пусть линейное преобразование диагонализируемо и каждое его собственное подпространство инвариантно относительно линейного преобразования . Доказать, что .
Пусть , где — ненулевые линейные подпространства в .
Пусть — проектирование пространства на параллельно , а — некоторое линейное преобразование в . Доказать, что тогда и только тогда, когда подпространства и инвариантны относительно .
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для отражения пространства в параллельно .
Пусть — линейные преобразования -мерного линейного пространства. Дано, что и . Доказать, что имеет собственных значений вида , где — некоторое число.
Пусть и — линейные преобразования пространства , причем взаимно однозначно. Найдите такое , что для любого линейное преобразование взаимно однозначно.