24.4

Прочие задачи (24.139-24.148)

[10/80%]
Показать
LaTeX
Задача 24.139

Пусть линейные преобразования φ,ψ\varphi , \psi перестановочны. Доказать, что:

?
(1)

ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого

(2)

собственные подпространства преобразования φ\varphi инвариантны относительно ψ\psi.

Задача 24.140

Пусть λ0\lambda_{0} — собственное значение линейного преобразования φ\varphi.

?
(1)

Доказать, что подпространства Lk=Ker⁡(φ−λ0ι)k(k=1,2,…)\mathcal{L}_{k} = \operatorname {Ker}\left(\varphi - \lambda_{0} \iota \right)^{k}(k = 1, 2, \ldots ) инвариантны относительно φ\varphi.

(2)

Показать, что Lk⊆Lk+1\mathcal{L}_{k} \subseteq \mathcal{L}_{k + 1}. Может ли включение быть строгим?

Задача 24.141

Доказать, что:

?
(1)

любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор

(2)

то же утверждение верно для вещественного пространства, если все характеристические числа преобразований вещественны.

Задача 24.142

Пусть φ\varphi — вырожденное линейное преобразование конечномерного линейного пространства. Доказать, что существует такое ε0>0\varepsilon_{0} > 0, что для всех ∣ε∣⩽ε0\left|\varepsilon \right| \leqslant \varepsilon_{0}, преобразование φ+ει\varphi + \varepsilon \iota невырождено.

?
Задача 24.143

Доказать, что для любых двух линейных преобразований φ,ψ\varphi , \psi одного и того же линейного пространства характеристические многочлены преобразований φψ\varphi \psi и ψφ\psi \varphi совпадают.

?
Задача 24.144

Пусть φ,ψ\varphi , \psi — перестановочные линейные преобразования nn-мерного пространства, причем φ\varphi имеет nn различных собственных значений. Доказать, что все собственные векторы преобразования φ\varphi являются собственными и для ψ\psi, так что матрицы φ\varphi и ψ\psi диагональны в общем для них базисе.

?
Задача 24.145

Пусть линейное преобразование φ\varphi диагонализируемо и каждое его собственное подпространство инвариантно относительно линейного преобразования ψ\psi. Доказать, что φψ=ψφ\varphi \psi = \psi \varphi.

?
Задача 24.146

Пусть L=L′⊕L′′\mathcal{L} = \mathcal{L}^{\prime } \oplus \mathcal{L}^{\prime \prime }, где L′,L′′\mathcal{L}^{\prime }, \mathcal{L}^{\prime \prime } — ненулевые линейные подпространства в L\mathcal{L}.

?
(1)

Пусть φ\varphi — проектирование пространства L\mathcal{L} на L′\mathcal{L}^{\prime } параллельно L′′\mathcal{L}^{\prime \prime }, а ψ\psi — некоторое линейное преобразование в L\mathcal{L}. Доказать, что φψ=ψφ\varphi \psi = \psi \varphi тогда и только тогда, когда подпространства L′\mathcal{L}^{\prime } и L′′\mathcal{L}^{\prime \prime } инвариантны относительно ψ\psi.

(2)

Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для отражения пространства L\mathcal{L} в L′\mathcal{L}^{\prime } параллельно L′′\mathcal{L}^{\prime \prime }.

Задача 24.147

Пусть φ,ψ\varphi , \psi — линейные преобразования nn-мерного линейного пространства. Дано, что φn=θ,dim⁡Ker⁡φ=1\varphi^{n} = \theta , \operatorname {dim} \operatorname {Ker} \varphi = 1 и [ψ,φ]=ψφ−φψ=φ\left[\psi , \varphi \right] = \psi \varphi - \varphi \psi = \varphi. Доказать, что ψ\psi имеет nn собственных значений вида λ,λ−1,…,λ−(n−1)\lambda , \lambda - 1, \ldots , \lambda - (n - 1), где λ\lambda — некоторое число.

?
Задача 24.148

Пусть φ\varphi и ψ\psi — линейные преобразования пространства L\mathcal{L}, причем φ\varphi взаимно однозначно. Найдите такое ε>0\varepsilon > 0, что для любого δ∈(−ε,ε)\delta \in (- \varepsilon , \varepsilon ) линейное преобразование φ+δψ\varphi + \delta \psi взаимно однозначно.

?