Банк задач по математике

Задача 16.1

(a)(b)

13.9 ↑ Предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$ , а $f_{n}$ равномерно ограничены.

?

(a)

Предположим $f_{n} \rightarrow f$ равномерно и выведите $\int f_{n} d \mu \rightarrow \int f d \mu$ из (16.5).

(b)

Используйте часть (a) и теорему Егорова, чтобы дать ещё одно доказательство теоремы 16.5.

Задача 16.2

Докажите, что если $0 \leq f_{n} \rightarrow f$ почти всюду и $\int f_{n} d \mu \leq A<\infty$ , то $f$ интегрируема и $f f d \mu \leq A$ . (Это по существу то же самое, что и лемма Фату, и иногда её так и называют.)

?

Задача 16.3

Предположим, что $f_{n}$ интегрируемы и $\sup_{n} / f_{n} d \mu <\infty$ . Покажите, что если $f_{n} \uparrow f$ , то $f$ интегрируема и $f f_{n} d \mu \rightarrow \int f d \mu$ . Это теорема Беппо Леви.

?

Задача 16.4

(a)(b)

?

(a)

Предположим, что функции $a_{n}, b_{n}, f_{n}$ сходятся почти всюду к функциям $a, b, f$ соответственно. Предположим, что первые две последовательности можно интегрировать до предела — то есть все функции интегрируемы и $\int a_{n} d \mu \rightarrow f a d \mu$ , $\int b_{n} d \mu \rightarrow f b d \mu$ . Наконец, предположим, что первые две последовательности заключают в себе третью: $a_{n} \leq f_{n} \leq b_{n}$ почти всюду. Покажите, что третью также можно интегрировать до предела.

(b)

Выведите теорему Лебега о мажорируемой сходимости из части (a).

Задача 16.5

(a)(b)

О теореме 16.8:

?

(a)

Часть (i) локальна: для каждого $t_{0}$ может быть своё множество $A$ . Часть (ii) можно переформулировать как локальную теорему. Предположим, что для $\omega \in A$ , где $A$ удовлетворяет (16.9), $f(\omega , t)$ имеет производную $f^{\prime }\left(\omega , t_{0}\right)$ в точке $t_{0}$ ; предположим далее, что

\left|\frac{f\left(\omega , t_{0}+h\right)-f\left(\omega , t_{0}\right)}{h}\right| \leq g_{1}(\omega ) \tag {16.32}

для $\omega \in A$ и $0<\left|h\right|<\delta$ , где $\delta$ не зависит от $\omega$ , а $g_{1}$ интегрируема. Тогда $\phi^{\prime }\left(t_{0}\right)=\int f^{\prime }\left(\omega , t_{0}\right) \mu (d \omega )$ .

Естественный способ проверить (16.32), однако, состоит в применении теоремы о среднем значении, а это требует (для $\omega \in A$ ) наличия производной во всей окрестности $t_{0}$ .

(b)

Если $\mu$ — мера Лебега на единичном интервале $\Omega ,(a, b)=(0,1)$ , и $f(\omega , t)=I_{(0, t)}(\omega )$ , то часть (i) применима, а часть (ii) — нет. Почему? Что можно сказать о (16.32)?

Задача 16.6

Предположим, что $f(\omega , \cdot )$ при каждом $\omega$ является функцией на открытом множестве $W$ на комплексной плоскости, и что $f(\cdot , z)$ при $z$ из $W$ измерима $\mathscr {F}$ и интегрируема. Предположим, что $A$ удовлетворяет (16.9), что $f(\omega , \cdot )$ аналитична в $W$ для $\omega$ из $A$ , и что для каждого $z_{0}$ из $W$ найдётся интегрируемая $g\left(\cdot , z_{0}\right)$ , такая что $\left|f^{\prime }(\omega , z)\right| \leq g\left(\omega , z_{0}\right)$ для всех $\omega \in A$ и всех $z$ в некоторой окрестности $z_{0}$ . Покажите, что $\int f(\omega , z) \mu (d \omega )$ аналитична в $W$ .

?

Задача 16.7

(a)(b)(c)

?

(a)

Покажите, что если $\left|f_{n}\right| \leq g$ и $g$ интегрируема, то $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно интегрируема. Сравните с условиями теорем 16.4 и 16.14.

(b)

На единичном интервале с мерой Лебега пусть $f_{n}=(n / \log n) I_{0, n^{-1}}$ для $n \geq 3$ . Покажите, что $f_{n}$ равномерно интегрируемы (и $f f_{n} d \mu \rightarrow 0$ ), хотя не мажорируются никакой интегрируемой $g$ .

(c)

Покажите для $f_{n}=n I_{\left(0, n^{-1} 0\right)}-n I_{\left(n^{-1}, 2 n^{-1}\right)}$ , что $f_{n}$ можно интегрировать до предела (мера Лебега), даже несмотря на то, что $f_{n}$ не равномерно интегрируемы.

Задача 16.8

Покажите, что если $f$ интегрируема, то для каждого $\epsilon$ найдётся такое $\delta$ , что из $\mu (A)<\delta$ следует $\int_{A}\left|f\right| d \mu <\epsilon$ .

?

Задача 16.9

↑ Предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$ . Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда (i) $\left|\left|f_{n}\right| d \mu \right.$ ограничен и (ii) для каждого $\epsilon$ найдётся такое $\delta$ , что из $\mu (A)<\delta$ следует $\int_{A}\left|f_{n}\right| d \mu <\epsilon$ для всех $n$ .

?

Задача 16.10

(a)(b)

2.19 16.9 ↑ Предположим $\mu (\Omega )<\infty$ .

?

(a)

Покажите на примерах, что ни одно из условий (i) и (ii) предыдущей задачи не влечёт другого.

(b)

Покажите, что (ii) влечёт (i) для всех последовательностей $\left\{ f_{n}\right\}$ тогда и только тогда, когда $\mu$ неатомична.

Задача 16.11

Пусть $f$ — комплекснозначная функция, интегрирующаяся до $r e^{i \theta }, r \geq 0$ . Из $f(\left|f(\omega )\right|- \left.e^{-i \theta } f(\omega )\right) \mu (d \mu )=f\left|f\right| d \mu -r$ выведите (16.30).

?

Задача 16.12

(a)(b)

$11.5 \uparrow$ Рассмотрим векторную решётку $\mathscr {L}$ и функционал $\Lambda$ из задач 11.4 и 11.5. Пусть $\mu$ — продолжение (теорема 11.3) на $\mathscr {F}=\sigma \left(\mathscr {F}_{0}\right)$ функции множества $\mu_{0}$ на $\mathscr {F}_{0}$ .

?

(a)

Покажите с помощью (11.7), что для положительных $x, y_{1}, y_{2}$ имеет место $\nu ([f>1] \times (0, x])= x \mu_{0}[f>1]=x \mu [f>1]$ и $\nu \left(\left[y_{1}<f \leq y_{2}\right] \times (0, x]\right)=x \mu \left[y_{1}<f \leq y_{2}\right]$ .

(b)

Покажите, что если $f \in \mathscr {L}$ , то $f$ интегрируема и

\Lambda (f)=\int f d \mu

(Рассмотрите сначала случай $f \geq 0$ .) Это теорема представления Даниэля–Стоуна.

Свойства интеграла