Интегрирование

Предположим, что $f$ измерима и неотрицательна. Покажите, что $\int^{*} f d \mu =\infty$, если $\mu [\omega$ : $f(\omega )>0]=\infty$ или если $\mu [\omega : f(\omega )>a]>0$ для всех $a$.

Есть много функций, знакомых из курса анализа, которые, казалось бы, должны быть интегрируемыми, но относятся к типам из предыдущей задачи и потому имеют бесконечный верхний интеграл. Примерами служат $x^{-2} I_{(1, \infty )}(x)$ и $x^{-1 / 2} I_{(0,1)}(x)$. Следовательно, (15.10) непригодно в качестве определения $\int f d \mu$ для неотрицательной $f$. Единственная проблема с (15.10), однако, состоит в том, что оно неправильно обращается с бесконечностью. Чтобы убедиться в этом и сосредоточиться на сути дела, предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$ и что $f$ ограничена, хотя не обязательно неотрицательна или измерима $\mathscr {F}$.

3.2 15.2 ↑ Для $A \subset \Omega$ определим $\mu^{*}(A)$ и $\mu_{*}(A)$ формулами (3.9) и (3.10), заменив $P$ на $\mu$. Покажите, что $\int^{*} I_{A} d \mu =\mu^{*}(A)$ и $\int_{*} I_{A} d \mu =\mu_{*}(A)$ для любого $A$. Следовательно, (15.12) может нарушаться, если $f$ не измерима $\mathscr {F}$. (Где в доказательстве (15.12) использовалась измеримость?)

Определения (15.3) и (15.6) всегда формально имеют смысл (при конечной $\mu (\Omega )$ и sup над D), но они разумны — согласуются с интуицией — лишь если выполняется (15.12). При каких условиях оно выполняется?

$10.515 .3 \uparrow$

↑ Покажите, что для положительного $\epsilon$ существует конечное разбиение $\left\{ A_{i}\right\}$, такое что если $\left\{ B_{j}\right\}$ — любое более мелкое разбиение и $\omega_{j} \in B_{j}$, то

↑ Покажите, что

Предел, стоящий здесь справа, — это определение интеграла по Лебегу.

↑ Предположим, что интеграл определён для простых неотрицательных функций формулой $\int \left(\sum_{i} x_{i} I_{A}\right) d \mu =\sum_{i} x_{i} \mu \left(A_{i}\right)$. Предположим, что $f_{n}$ и $g_{n}$ просты и неубывающи и имеют общий предел: $0 \leq f_{n} \uparrow f$ и $0 \leq g_{n} \uparrow f$. Адаптируйте рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 15.1(iii), и покажите, что $\lim_{n} \int f_{n} d \mu =\lim_{n} \int g_{n} d \mu$. Таким образом, в неотрицательном случае $f f d \mu$ можно (теорема 13.5) непротиворечиво определить как $\lim_{n} \int f_{n} d \mu$ для простых функций, для которых $0 \leq f_{n} \uparrow f$.

13.9 ↑ Предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$, а $f_{n}$ равномерно ограничены.

Докажите, что если $0 \leq f_{n} \rightarrow f$ почти всюду и $\int f_{n} d \mu \leq A<\infty$, то $f$ интегрируема и $f f d \mu \leq A$. (Это по существу то же самое, что и лемма Фату, и иногда её так и называют.)

Предположим, что $f_{n}$ интегрируемы и $\sup_{n} / f_{n} d \mu <\infty$. Покажите, что если $f_{n} \uparrow f$, то $f$ интегрируема и $f f_{n} d \mu \rightarrow \int f d \mu$. Это теорема Беппо Леви.

О теореме 16.8:

Предположим, что $f(\omega , \cdot )$ при каждом $\omega$ является функцией на открытом множестве $W$ на комплексной плоскости, и что $f(\cdot , z)$ при $z$ из $W$ измерима $\mathscr {F}$ и интегрируема. Предположим, что $A$ удовлетворяет (16.9), что $f(\omega , \cdot )$ аналитична в $W$ для $\omega$ из $A$, и что для каждого $z_{0}$ из $W$ найдётся интегрируемая $g\left(\cdot , z_{0}\right)$, такая что $\left|f^{\prime }(\omega , z)\right| \leq g\left(\omega , z_{0}\right)$ для всех $\omega \in A$ и всех $z$ в некоторой окрестности $z_{0}$. Покажите, что $\int f(\omega , z) \mu (d \omega )$ аналитична в $W$.

Покажите, что если $f$ интегрируема, то для каждого $\epsilon$ найдётся такое $\delta$, что из $\mu (A)<\delta$ следует $\int_{A}\left|f\right| d \mu <\epsilon$.

↑ Предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда (i) $\left|\left|f_{n}\right| d \mu \right.$ ограничен и (ii) для каждого $\epsilon$ найдётся такое $\delta$, что из $\mu (A)<\delta$ следует $\int_{A}\left|f_{n}\right| d \mu <\epsilon$ для всех $n$.

2.19 16.9 ↑ Предположим $\mu (\Omega )<\infty$.

Пусть $f$ — комплекснозначная функция, интегрирующаяся до $r e^{i \theta }, r \geq 0$. Из $f(\left|f(\omega )\right|- \left.e^{-i \theta } f(\omega )\right) \mu (d \mu )=f\left|f\right| d \mu -r$ выведите (16.30).

$11.5 \uparrow$ Рассмотрим векторную решётку $\mathscr {L}$ и функционал $\Lambda$ из задач 11.4 и 11.5. Пусть $\mu$ — продолжение (теорема 11.3) на $\mathscr {F}=\sigma \left(\mathscr {F}_{0}\right)$ функции множества $\mu_{0}$ на $\mathscr {F}_{0}$.

Докажите:

Обобщите теорему 17.1 на $R^{k}$.

Покажите, что если $f$ интегрируема, то

Используйте теорему 17.1.

Предположим, что $\mu$ — конечная мера на $\mathscr {R}^{k}$, а $A$ замкнуто. Покажите, что $\mu (x+A)$ полунепрерывна сверху по $x$ и, следовательно, измерима.

Предположим, что $\int_{0}^{\infty }\left|f(x)\right| d x<\infty$. Покажите, что для каждого $\epsilon$, $\lambda [x: x>\alpha ,\left|f(x)\right|>\epsilon ] \rightarrow 0$ при $\alpha \rightarrow \infty$. Покажите на примере, что $f(x)$ не обязана стремиться к 0 при $x \rightarrow \infty$ (даже если $f$ непрерывна).

Пусть $f_{n}(x)=x^{n-1}-2 x^{2 n-1}$. Вычислите и сравните $\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty } f_{n}(x) d x$ и $\sum_{n=1}^{\infty } \int_{0}^{1} f_{n}(x) d x$. Свяжите это с теоремой 16.6 и со следствием теоремы 16.7.

Покажите, что $\left(1+y^{2}\right)^{-1}$ имеет равные интегралы по $(-\infty ,-1),(-1,0),(0,1),(1, \infty )$. Заключите из (17.9), что $\int_{0}^{1}\left(1+y^{2}\right)^{-1} d y=\pi / 4$. Разложите подынтегральное выражение в геометрический ряд и выведите формулу Лейбница

с помощью теоремы 16.7 (заметьте, что её следствие здесь неприменимо).

Покажите, что если $f$ интегрируема, то существуют непрерывные интегрируемые функции $g_{n}$, такие что $g_{n}(x) \rightarrow f(x)$ всюду, кроме множества лебеговой меры 0. (Используйте теорему 17.1(ii) при $\epsilon =n^{-2}$.)

13.9 17.9 ↑ Пусть $f$ — конечнозначная борелевская функция на $[0,1]$. Следующими шагами докажите теорему Лузина: для каждого $\epsilon$ существует непрерывная функция $g$, такая что $\lambda [x \in (0,1): f(x) \neq g(x)]<\epsilon$.

Предположим в (17.7), что $T^{\prime }$ существует и непрерывна, а $f$ — борелевская функция, и предположим, что $\int_{a}^{b}\left|f(T x) T^{\prime }(x)\right| d x<\infty$. Покажите пошагово, что $\int_{T(a, b)}\left|f(y)\right| d y<\infty$ и что выполняется (17.8). Докажите это для

16.12 ↑ Пусть $\mathscr {L}$ состоит из непрерывных функций на $R^{1}$ с компактным носителем. Покажите, что $\mathscr {L}$ является векторной решёткой в смысле задачи 11.4 и обладает свойством, что из $f \in \mathscr {L}$ следует $f \wedge 1 \in \mathscr {L}$ (заметьте, что $1 \notin \mathscr {L}$ ). Покажите, что $\sigma$-алгебра $\mathscr {F}$, порождённая $\mathscr {L}$, равна $\mathscr {R}^{1}$. Предположим, что $\Lambda$ — положительный линейный функционал на $\mathscr {L}$; покажите, что $\Lambda$ обладает требуемым свойством непрерывности тогда и только тогда, когда из $f_{n}(x) \downarrow 0$ равномерно по $x$ следует $\Lambda \left(f_{n}\right) \rightarrow 0$. Покажите при этом предположении о $\Lambda$, что существует мера $\mu$ на $\mathscr {R}^{1}$, такая что

Покажите, что $\mu$ $\sigma$-конечна и единственна. Это вариант теоремы представления Рисса.

↑ Пусть $\Lambda (f)$ — интеграл Римана от $f$, который действительно существует для $f$ из $\mathscr {L}$. Используя самые элементарные факты о риманова интегрировании, покажите, что $\mu$, определяемая формулой (17.25), — это мера Лебега. Это даёт ещё один способ построения меры Лебега.

↑ Распространите идеи двух предыдущих задач на $R^{k}$.

Покажите с помощью теоремы 18.1, что если $A \times B$ непусто и лежит в $\mathscr {X} \times \mathscr {Y}$, то $A \in \mathscr {X}$ и $B \in \mathscr {Y}$.

$2.9 \uparrow$ Предположим, что $X=Y$ несчётно и $\mathscr {X}=\mathscr {Y}$ состоит из счётных и косчётных множеств. Покажите, что диагональ $E=[(x, y): x=y]$ не лежит в $\mathscr {X} \times \mathscr {Y}$, хотя $[y:(x, y) \in E] \in \mathscr {Y}$ и $[x:(x, y) \in E] \in \mathscr {X}$ для всех $x$ и $y$.

$10.518 .1 \uparrow$ Пусть $(X, \mathscr {X}, \mu )=(Y, \mathscr {Y}, \nu )$ — пополнение $\left(R^{!}, \mathscr {R}^{!}, \lambda \right)$. Покажите, что $(X \times Y, \mathscr {X} \times \mathscr {Y}, \mu \times \nu )$ не полно.

Предположение о $\sigma$-конечности в теореме 18.2 существенно: пусть $\mu$ — мера Лебега на прямой, $\nu$ — считающая мера на прямой, и возьмём $E=[(x, y): x=y]$. Тогда (18.1) и (18.2) не согласуются.

Пример 18.2 фактически связывает $\pi$ как площадь единичного круга $D_{1}$ с $\pi$ из тригонометрии.

Предположим, что $f$ неотрицательна на $\sigma$-конечном пространстве с мерой $(\Omega , \mathscr {F}, \mu )$. Покажите, что

Докажите, что множество справа измеримо. Это даёт «площадь под кривой». Если предполагается существование $\mu \times \lambda$ на $\Omega \times R^{1}$, можно использовать правую часть этого равенства как альтернативное определение интеграла.

Вернитесь к задаче 12.12.

Предположим, что $\nu [y:(x, y) \in E]=\nu [y:(x, y) \in F]$ для всех $x$, и покажите, что $(\mu \times \nu )(E)=(\mu \times \nu )(F)$. Это общая версия принципа Кавальери.

Приведите пример, в котором (18.12) не выполняется из-за того, что $F$ и $G$ имеют общую точку разрыва.

Докажите (18.16) для случая, когда все функции непрерывны, дифференцируя по верхнему пределу интегрирования.

Докажите для функций распределения $F$, что $\int_{-\infty }^{\infty }(F(x+c)-F(x)) d x=c$.

Докажите для непрерывных функций распределения, что $\int_{-\infty }^{\infty } F(x) d F(x)=\frac{1}{2}$.

Предположим, что число $f_{n}$ определено для каждого $n \geq n_{0}$, и положим $F(x)= \Sigma_{n_{0} \leq n \leq x} f_{n}$. Выведите из (18.15), что

если $G(y)-G(x)=\int_{x}^{y} g(t) d t$, что будет выполняться, если $G$ имеет непрерывную производную $g$. Сначала предположите, что $f_{n}$ неотрицательны.

$\uparrow$ Возьмите $n_{0}=1, f_{7}=1$ и $G(x)=1 / x$, и выведите $\sum_{n \leq x} n^{-1}=\log x+\gamma + O(1 / x)$, где $\gamma =1-\int_{1}^{\infty }(t-\lfloor t\rfloor ) t^{-2} d t$ — постоянная Эйлера.

$5.2018 .15 \uparrow$ Используя (18.17) и (5.51), докажите, что существует константа $c$, такая что

Гамма-функция Эйлера определяется для положительных $t$ формулой $\Gamma (t)=\int_{0}^{\infty } x^{t-1} e^{-x} d x$.

Интегрированием по частям докажите, что $\left.\int_{0}^{\infty }(\sin x) / x\right)^{2} d x=\pi / 2$ и $\int_{-\infty }^{\infty }(1- \cos x) x^{-2} d x=\pi$.

Предположим, что $\mu$ — вероятностная мера на $(X, \mathscr {X})$, и что для каждого $x$ из $X$ величина $\nu_{x}$ — вероятностная мера на $(Y, \mathscr {Y})$. Предположим далее, что для каждого $B$ из $\mathscr {Y}$ величина $\nu_{x}(B)$ как функция от $x$ измерима $\mathscr {X}$. Будем рассматривать $\mu (A)$ как начальные вероятности, а $\nu_{x}(B)$ — как переходные вероятности.

Предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$ и $f \in L^{\infty }$. Покажите, что $\left\| f\right\|_{p} \uparrow \left\| f\right\|_{\infty }$.

Покажите, что Теорема 19.3 не выполняется для $L^{\infty }((0,1], \mathscr {B}, \lambda )$. Указание: Возьмите в качестве $\gamma (f)$ банахов предел $n \int_{0}^{1 / n} f(x) d x$.

Рассмотрите слабую сходимость в $L^{p}((0,1], \mathscr {B}, \lambda )$.

Покажите, что единичный шар в $\left.L^{1}(0,1], \mathscr {B}, \lambda \right)$ не является слабо компактным.

Покажите, что байесовское правило, соответствующее $p=\left(p_{1}, ., p_{k}\right)$, может не быть допустимым, если $p_{i}=0$ для некоторого $i$. Однако найдётся лучшее байесовское правило, являющееся допустимым.

Лемма Неймана—Пирсона. Предположим, что $f_{1}$ и $f_{2}$ — конкурирующие плотности и $L(J \mid i)$ равно 0 или 1 при $j=i$ или $j \neq i$ соответственно, так что $R_{i}(\delta )$ — вероятность выбора противоположной плотности, когда $f_{i}$ верна. Предположим относительно $\delta$, что $\delta_{2}(\omega )=1$, если $f_{2}(\omega )>t f_{1}(\omega )$, и $\delta_{2}(\omega )=0$, если $f_{2}(\omega )<t f_{1}(\omega )$, где $t>0$. Покажите, что $\delta$ допустимо: для любого правила $\delta^{\prime }$, $\int \delta_{2}^{\prime } f_{1} d \mu <\int \delta_{2} f_{1} d \mu$ влечёт $\int \delta_{1}^{\prime } f_{2} d \mu >\int \delta_{1} f_{2} d \mu$. Указание. $\quad \int \left(\delta_{2}-\delta_{2}^{\prime }\right) \left(f_{2}-t f_{1}\right) d \mu \geq 0$, поскольку подынтегральное выражение неотрицательно.

Классический ортонормированный базис для $L^{2}[0,2 \pi ]$ с мерой Лебега — тригонометрическая система (19.17) $(2 \pi )^{-1}, \quad \pi^{-1 / 2} \sin n x, \quad \pi^{-1 / 2} \cos n x, \quad n=1,2, \ldots$

Докажите ортонормированность. Указание: Выразите синусы и косинусы через $e^{i n x} \pm e^{-i n x}$, перемножьте произведения и используйте тот факт, что $\int_{0}^{2 \pi } e^{i m x} d x$ равно $2 \pi$ или 0 при $m=0$ или $m \neq 0$ соответственно. (О полноте тригонометрической системы см. Задачу 26.26.)

Откажитесь от предположения, что $L^{2}$ сепарабельно. Упорядочите по включению ортонормированные системы в $L^{2}$ и пусть (по лемме Цорна) $\Phi =\left[\varphi_{\gamma }: \gamma \in \Gamma \right]$ будет максимальной.