Пространства $L^p$*

Предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$ и $f \in L^{\infty }$. Покажите, что $\left\| f\right\|_{p} \uparrow \left\| f\right\|_{\infty }$.

Покажите, что Теорема 19.3 не выполняется для $L^{\infty }((0,1], \mathscr {B}, \lambda )$. Указание: Возьмите в качестве $\gamma (f)$ банахов предел $n \int_{0}^{1 / n} f(x) d x$.

Рассмотрите слабую сходимость в $L^{p}((0,1], \mathscr {B}, \lambda )$.

Покажите, что единичный шар в $\left.L^{1}(0,1], \mathscr {B}, \lambda \right)$ не является слабо компактным.

Покажите, что байесовское правило, соответствующее $p=\left(p_{1}, ., p_{k}\right)$, может не быть допустимым, если $p_{i}=0$ для некоторого $i$. Однако найдётся лучшее байесовское правило, являющееся допустимым.

Лемма Неймана—Пирсона. Предположим, что $f_{1}$ и $f_{2}$ — конкурирующие плотности и $L(J \mid i)$ равно 0 или 1 при $j=i$ или $j \neq i$ соответственно, так что $R_{i}(\delta )$ — вероятность выбора противоположной плотности, когда $f_{i}$ верна. Предположим относительно $\delta$, что $\delta_{2}(\omega )=1$, если $f_{2}(\omega )>t f_{1}(\omega )$, и $\delta_{2}(\omega )=0$, если $f_{2}(\omega )<t f_{1}(\omega )$, где $t>0$. Покажите, что $\delta$ допустимо: для любого правила $\delta^{\prime }$, $\int \delta_{2}^{\prime } f_{1} d \mu <\int \delta_{2} f_{1} d \mu$ влечёт $\int \delta_{1}^{\prime } f_{2} d \mu >\int \delta_{1} f_{2} d \mu$. Указание. $\quad \int \left(\delta_{2}-\delta_{2}^{\prime }\right) \left(f_{2}-t f_{1}\right) d \mu \geq 0$, поскольку подынтегральное выражение неотрицательно.

Классический ортонормированный базис для $L^{2}[0,2 \pi ]$ с мерой Лебега — тригонометрическая система (19.17) $(2 \pi )^{-1}, \quad \pi^{-1 / 2} \sin n x, \quad \pi^{-1 / 2} \cos n x, \quad n=1,2, \ldots$

Докажите ортонормированность. Указание: Выразите синусы и косинусы через $e^{i n x} \pm e^{-i n x}$, перемножьте произведения и используйте тот факт, что $\int_{0}^{2 \pi } e^{i m x} d x$ равно $2 \pi$ или 0 при $m=0$ или $m \neq 0$ соответственно. (О полноте тригонометрической системы см. Задачу 26.26.)

Откажитесь от предположения, что $L^{2}$ сепарабельно. Упорядочите по включению ортонормированные системы в $L^{2}$ и пусть (по лемме Цорна) $\Phi =\left[\varphi_{\gamma }: \gamma \in \Gamma \right]$ будет максимальной.