Безусловная сходимость рядов в банаховых и гильбертовых пространствах

$\sum c_{n} e_{n}$ сходится.

$\sum c_{n} e_{n}$ сходится безусловно.

$\sum \left|c_{n}\right|^{2} < \infty$.

Пусть $\left(p_{n}\right)$ — последовательность неотрицательных членов $\left(c_{n}\right)$ в порядке следования, и пусть $\left(q_{n}\right)$ — последовательность отрицательных членов $\left(c_{n}\right)$ в порядке следования. Покажите, что оба ряда $\sum p_{n}$ и $\sum q_{n}$ должны расходиться.

Для $x \in \mathbb {R}$ покажите, что существует перестановка $\sigma$ множества $\mathbb {N}$, такая что $\sum c_{\sigma (n)}$ сходится и равна $x$.

Покажите, что существует перестановка $\sigma$ множества $\mathbb {N}$, такая что $\sum c_{\sigma (n)}$ расходится к $\infty$, то есть $\lim_{N \rightarrow \infty } \sum_{n = 1}^{N} c_{\sigma (n)} = \infty$, и другая перестановка $\tau$, такая что $\sum c_{\tau (n)}$ расходится к $-\infty$.

Покажите, что существует перестановка $\sigma$ множества $\mathbb {N}$, такая что $\sum c_{\sigma (n)}$ не сходится и не расходится ни к $\infty$, ни к $-\infty$.

$X$ — банахово пространство.

Каждый абсолютно сходящийся ряд в $X$ сходится в $X$. То есть если $\left(x_{n}\right)$ — последовательность в $X$ и $\sum \left\| x_{n}\right\| < \infty$, то ряд $\sum x_{n}$ сходится в $X$.

Для данного $x \in X$ покажите, что ряд $e^{A}(x) = \sum_{k = 0}^{\infty } \frac{A^{k} x}{k!}$ сходится абсолютно в $X$, и покажите, что $e^{A}$ является линейным оператором на $X$.

Докажите, что ряд $\sum_{k = 0}^{\infty } \frac{A^{k}}{k!}$ сходится абсолютно в $\mathcal{B}(X)$ и равен оператору $e^{A}$, определённому в пункте (a). Заключите, что $e^{A} \in \mathcal{B}(X)$ и $\left\| e^{A}\right\| \leq e^{\left\| A\right\| }$.

Докажите, что если $A, B \in \mathcal{B}(X)$ и $A B = B A$, то $e^{A} e^{B} = e^{A+B} = e^{B} e^{A}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Покажите, что если $A \in \mathcal{B}(H)$ самосопряжён, то $e^{i A}$ унитарен.

Если $x \in H$, то $\left\langle x, x_{i} \right\rangle \neq 0$ не более чем для счётного числа $i \in I$.

Для каждого $x \in H, \sum_{i \in I}\left|\left\langle x, x_{i} \right\rangle \right|^{2} \leq \left\| x\right\|^{2}$.

Для каждого $x \in H$ ряд $p = \sum_{i \in I}\left\langle x, x_{i} \right\rangle x_{i}$ сходится относительно сети конечных подмножеств $I$, и $p$ является ортогональной проекцией $x$ на $\overline{\operatorname {span}}\left\{ x_{i}\right\}_{i \in I}$.

$\left\{ x_{i}\right\}_{i \in I}$ полно.

Для каждого $x \in H$ имеем $x = \sum_{i \in I}\left\langle x, x_{i} \right\rangle x_{i}$, где ряд сходится относительно сети конечных подмножеств $I$.

Для каждого $x \in H,\left\| x\right\|^{2} = \sum_{i \in I}\left|\left\langle x, x_{i} \right\rangle \right|^{2}$.

$T: X^{*} \rightarrow \ell^{p^{\prime }}$ ограничен и линеен.

Если $1 \leq p < \infty$, то ряд $\sum c_{n} x_{n}$ сходится безусловно для каждого $\left(c_{n}\right) \in \ell^{p}$, и оператор синтеза $U c = \sum c_{n} x_{n}$ является ограниченным отображением $\ell^{p}$ в $X$.

Если $p = \infty$ и $\left(c_{n}\right) \in \ell^{1}$, то ряд $\sum c_{n} x_{n}$ сходится слабо, т.е. $\sum c_{n}\left\langle x_{n}, \mu \right\rangle$ сходится для каждого $\mu \in X^{*}$. Однако $\sum c_{n} x_{n}$ не обязательно сходится по норме $X$.

Если $1 \leq p < \infty$, то $T = U^{*}$.

Если $1 < p < \infty$ и $X$ рефлексивно, то $U = T^{*}$.

Пусть $X = \ell^{\infty }$, и пусть $\left\{ \delta_{n}\right\}$ — последовательность стандартных базисных векторов (которая содержится в $\ell^{\infty }$, но не образует для него базис). Покажите, что $\mathcal{R} = \mathcal{R}_{\mathcal{E}} = \mathcal{R}_{\Lambda } = 1$, но $\sum \delta_{n}$ не сходится в $\ell^{\infty }$.

Приведите последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ в сепарабельном банаховом пространстве $X$, такую что $\mathcal{R}$, $\mathcal{R}_{\Lambda }$ и $\mathcal{R}_{\mathcal{E}}$ конечны, но $\sum x_{n}$ не сходится.