Базисы и фреймы

$\sum c_{n} e_{n}$ сходится.

$\sum c_{n} e_{n}$ сходится безусловно.

$\sum \left|c_{n}\right|^{2} < \infty$.

Пусть $\left(p_{n}\right)$ — последовательность неотрицательных членов $\left(c_{n}\right)$ в порядке следования, и пусть $\left(q_{n}\right)$ — последовательность отрицательных членов $\left(c_{n}\right)$ в порядке следования. Покажите, что оба ряда $\sum p_{n}$ и $\sum q_{n}$ должны расходиться.

Для $x \in \mathbb {R}$ покажите, что существует перестановка $\sigma$ множества $\mathbb {N}$, такая что $\sum c_{\sigma (n)}$ сходится и равна $x$.

Покажите, что существует перестановка $\sigma$ множества $\mathbb {N}$, такая что $\sum c_{\sigma (n)}$ расходится к $\infty$, то есть $\lim_{N \rightarrow \infty } \sum_{n = 1}^{N} c_{\sigma (n)} = \infty$, и другая перестановка $\tau$, такая что $\sum c_{\tau (n)}$ расходится к $-\infty$.

Покажите, что существует перестановка $\sigma$ множества $\mathbb {N}$, такая что $\sum c_{\sigma (n)}$ не сходится и не расходится ни к $\infty$, ни к $-\infty$.

$X$ — банахово пространство.

Каждый абсолютно сходящийся ряд в $X$ сходится в $X$. То есть если $\left(x_{n}\right)$ — последовательность в $X$ и $\sum \left\| x_{n}\right\| < \infty$, то ряд $\sum x_{n}$ сходится в $X$.

Для данного $x \in X$ покажите, что ряд $e^{A}(x) = \sum_{k = 0}^{\infty } \frac{A^{k} x}{k!}$ сходится абсолютно в $X$, и покажите, что $e^{A}$ является линейным оператором на $X$.

Докажите, что ряд $\sum_{k = 0}^{\infty } \frac{A^{k}}{k!}$ сходится абсолютно в $\mathcal{B}(X)$ и равен оператору $e^{A}$, определённому в пункте (a). Заключите, что $e^{A} \in \mathcal{B}(X)$ и $\left\| e^{A}\right\| \leq e^{\left\| A\right\| }$.

Докажите, что если $A, B \in \mathcal{B}(X)$ и $A B = B A$, то $e^{A} e^{B} = e^{A+B} = e^{B} e^{A}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Покажите, что если $A \in \mathcal{B}(H)$ самосопряжён, то $e^{i A}$ унитарен.

Если $x \in H$, то $\left\langle x, x_{i} \right\rangle \neq 0$ не более чем для счётного числа $i \in I$.

Для каждого $x \in H, \sum_{i \in I}\left|\left\langle x, x_{i} \right\rangle \right|^{2} \leq \left\| x\right\|^{2}$.

Для каждого $x \in H$ ряд $p = \sum_{i \in I}\left\langle x, x_{i} \right\rangle x_{i}$ сходится относительно сети конечных подмножеств $I$, и $p$ является ортогональной проекцией $x$ на $\overline{\operatorname {span}}\left\{ x_{i}\right\}_{i \in I}$.

$\left\{ x_{i}\right\}_{i \in I}$ полно.

Для каждого $x \in H$ имеем $x = \sum_{i \in I}\left\langle x, x_{i} \right\rangle x_{i}$, где ряд сходится относительно сети конечных подмножеств $I$.

Для каждого $x \in H,\left\| x\right\|^{2} = \sum_{i \in I}\left|\left\langle x, x_{i} \right\rangle \right|^{2}$.

$T: X^{*} \rightarrow \ell^{p^{\prime }}$ ограничен и линеен.

Если $1 \leq p < \infty$, то ряд $\sum c_{n} x_{n}$ сходится безусловно для каждого $\left(c_{n}\right) \in \ell^{p}$, и оператор синтеза $U c = \sum c_{n} x_{n}$ является ограниченным отображением $\ell^{p}$ в $X$.

Если $p = \infty$ и $\left(c_{n}\right) \in \ell^{1}$, то ряд $\sum c_{n} x_{n}$ сходится слабо, т.е. $\sum c_{n}\left\langle x_{n}, \mu \right\rangle$ сходится для каждого $\mu \in X^{*}$. Однако $\sum c_{n} x_{n}$ не обязательно сходится по норме $X$.

Если $1 \leq p < \infty$, то $T = U^{*}$.

Если $1 < p < \infty$ и $X$ рефлексивно, то $U = T^{*}$.

Пусть $X = \ell^{\infty }$, и пусть $\left\{ \delta_{n}\right\}$ — последовательность стандартных базисных векторов (которая содержится в $\ell^{\infty }$, но не образует для него базис). Покажите, что $\mathcal{R} = \mathcal{R}_{\mathcal{E}} = \mathcal{R}_{\Lambda } = 1$, но $\sum \delta_{n}$ не сходится в $\ell^{\infty }$.

Приведите последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ в сепарабельном банаховом пространстве $X$, такую что $\mathcal{R}$, $\mathcal{R}_{\Lambda }$ и $\mathcal{R}_{\mathcal{E}}$ конечны, но $\sum x_{n}$ не сходится.

Любой базис Гамеля для $X$ должен быть несчётным.

Любое бесконечномерное подпространство $X$, имеющее счётный базис Гамеля, является тощим подмножеством $X$ и не может быть замкнутым подпространством $X$.

По упражнению 2.26, $C_{c}(\mathbb {R})$ является тощим плотным подпространством $C_{0}(\mathbb {R})$. Покажите, что $C_{c}(\mathbb {R})$ не имеет счётного базиса Гамеля.

Приведите пример, показывающий, что некоторый конкретный функционал $a_{i}$ может быть непрерывным.

Покажите, что $a_{i}\left(x_{j}\right) = \delta_{i j}$ для $i, j \in I$, где $\delta_{i j}$ — символ Кронекера.

Пусть $J = \left\{ i \in I: a_{i} \text{ непрерывен}\right\}$. Покажите, что $\sup_{j \in J}\left\| a_{j}\right\| < \infty$.

Покажите, что не более чем конечное число функционалов $a_{i}$ могут быть непрерывными, т.е. $J$ конечно.

Приведите пример бесконечномерного нормированного линейного пространства, обладающего базисом Гамеля $\left\{ x_{i}\right\}_{i \in I}$, для которого каждый из ассоциированных координатных функционалов $a_{i}$, $i \in I$, непрерывен.

Покажите, что $(Y,\left\| \cdot \right\|_{Y})$ — банахово пространство.

Покажите, что хотя $Y \subseteq X_{1}$, нормированное пространство $(Y,\left\| \cdot \right\|_{Y})$ не является непрерывно вложенным в $(X_{1},\left\| \cdot \right\|_{X_{1}})$, т.е. отображение $I:\left(Y,\left\| \cdot \right\|_{Y}\right) \rightarrow (X_{1},\left\| \cdot \right\|_{X_{1}})$, заданное как $I(z) = z$, не является непрерывным.

Покажите, что $\left\{ \lambda_{n} x_{n}\right\}$ — базис для $X$. В частности, $\left\{ x_{n} /\left\| x_{n}\right\| \right\}$ — нормированный базис для $X$.

Если $\left\{ x_{n}\right\}$ — безусловный базис, будет ли $\left\{ \lambda_{n} x_{n}\right\}$ безусловным базисом?

Если $\left\{ x_{n}\right\}$ — абсолютно сходящийся базис, будет ли $\left\{ \lambda_{n} x_{n}\right\}$ абсолютно сходящимся базисом?

Покажите, что ортонормированный базис для $H$ является нормированным безусловным базисом для $H$.

Приведите пример базиса $\left\{ x_{n}\right\}$ для $H$, не являющегося ортогональной последовательностью.

Приведите пример базиса $\left\{ x_{n}\right\}$ для $H$, не содержащего ортогональных подпоследовательностей (эквивалентно, $\left\langle x_{m}, x_{n} \right\rangle \neq 0$ для всех $m \neq n$).

Покажите, что стандартный базис $\left\{ \delta_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ является нормированным безусловным базисом для $\ell^{p}$ при каждом $1 \leq p < \infty$, а также нормированным безусловным базисом для $c_{0}$.

По упражнению 1.20, $c = \left\{ x = \left(x_{n}\right) \in \ell^{\infty }: \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} \text{ существует}\right\}$ является замкнутым подпространством $\ell^{\infty }$, а $c_{0}$ — собственным замкнутым подпространством $c$. Найдите вектор $\delta_{0} \in c$, такой что $\left\{ \delta_{n}\right\}_{n \geq 0}$ является нормированным безусловным базисом для $c$.

Покажите, что $c^{*}$ изометрически изоморфно $\ell^{1}$. Сравните с упражнением 1.75, которое показывает, что также $c_{0}{ }^{*} \cong \ell^{1}$, и с упражнением 4.22, которое показывает, что $c$ и $c_{0}$ топологически изоморфны, но не изометрически изоморфны.

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — абсолютно сходящийся базис для банахова пространства $X$, то

является топологическим изоморфизмом $\ell^{1}$ на $X$.

Обратно, покажите, что каждое банахово пространство, топологически изоморфное $\ell^{1}$, обладает абсолютно сходящимся базисом.

Покажите, что $|||\cdot |||$ является нормой на $X$ и что $\left\| x\right\| \leq |||x|||$ для всех $x \in X$.

Предположим, что $\left\{ y_{n}\right\}$ — последовательность Коши в $X$ относительно $|||\cdot |||$. При фиксированном $N$ покажите, что $\left\{ S_{N} y_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ является последовательностью Коши относительно $\left\| \cdot \right\|$. Пусть $z_{N}$ таково, что $\left\| z_{N}-S_{N} y_{n}\right\| \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, и заметьте, что $z_{N} \in \operatorname {span}\left\{ x_{1}, \ldots , x_{N}\right\}$.

Покажите, что для каждого $N \in \mathbb {N}$ выполняется $\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\sup_{N}\left\| z_{N}-S_{N} y_{n}\right\| \right) = 0$, и используйте это, чтобы показать, что $\left\{ z_{N}\right\}_{N \in \mathbb {N}}$ является последовательностью Коши относительно $\left\| \cdot \right\|$. Пусть $y \in X$ — элемент, такой что $\left\| y-z_{N}\right\| \rightarrow 0$.

Покажите, что $S_{N}\left(z_{N+1}\right) = z_{N}$, и используйте это, чтобы показать, что $z_{N} = \sum_{n = 1}^{N} c_{n} x_{n}$, где $c_{n}$ не зависит от $N$.

Покажите, что $y = \sum_{n = 1}^{\infty } c_{n} x_{n}$, и, следовательно, $z_{N} = S_{N} y$. Используйте это, чтобы показать, что $|||y-y_{n}||| \rightarrow 0$, и заключите, что $X$ полно относительно $|||\cdot |||$.

Покажите, что $\left\| \cdot \right\|$ и $|||\cdot |||$ — эквивалентные нормы на $X$, и используйте это, чтобы показать, что $\mathcal{C} = \sup_{N}\left\| S_{N}\right\| < \infty$. Заключите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ — базис Шаудера для $X$.

Покажите, что если $X$ обладает базисом, то $X$ обладает свойством аппроксимации.

Предположим, что $Y$ — банахово пространство, обладающее свойством аппроксимации, и $X$ — произвольное банахово пространство. Покажите, что если $T: X \rightarrow Y$ — компактный оператор, то существуют непрерывные операторы конечного ранга $T_{N}: X \rightarrow Y$, такие что $\left\| T-T_{N}\right\| \rightarrow 0$ при $N \rightarrow \infty$.

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — базис для $X$, то единственный возможный вектор $y \in X$, такой что $x_{n} \xrightarrow {\mathrm{w}} y$, — это $y = 0$ (слабая сходимость определена в разделе 2.10).

Используйте теорему 2.39, чтобы показать, что пункт (a) остаётся справедливым, если мы предполагаем лишь, что $\left\{ x_{n}\right\}$ — базисная последовательность в $X$.

Приведите пример базиса $\left\{ x_{n}\right\}$ для банахова пространства $X$, такого что $x_{n} \xrightarrow {\mathrm{w}} 0$.

Приведите пример базиса $\left\{ x_{n}\right\}$ для банахова пространства $X$, такого что $\left\{ x_{n}\right\}$ не сходится слабо ни к какому вектору из $X$.

Покажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ является ограниченным базисом для $X$ тогда и только тогда, когда $\left\{ y_{n}\right\}$ является ограниченным базисом для $Y$.

Покажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ является безусловным базисом для $X$ тогда и только тогда, когда $\left\{ y_{n}\right\}$ является безусловным базисом для $Y$.

Покажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ является абсолютно сходящимся базисом для $X$ тогда и только тогда, когда $\left\{ y_{n}\right\}$ является абсолютно сходящимся базисом для $Y$.

Пусть $\left\{ \delta_{n}\right\}$ — стандартный базис для $c_{0}$. По упражнению 4.8, если положить $\delta_{0} = (1,1, \ldots )$, то $\left\{ \delta_{n}\right\}_{n \geq 0}$ — базис для $c$. Покажите, что $c$ и $c_{0}$ топологически изоморфны, и что эти два базиса эквивалентны.

Покажите, что если $x \in c_{0}$ и $\left\| x\right\|_{\infty } = 1$, то существуют такие $y \neq z \in c_{0}$ с $\left\| y\right\|_{\infty } = \left\| z\right\|_{\infty } = 1$, что $x = (y+z) / 2$. Покажите, что аналогичное утверждение для $c$ может не выполняться.

Покажите, что $c$ не изометрически изоморфно $c_{0}$ (тем не менее заметьте, что их сопряжённые пространства $c^{*}$ и $c_{0}{ }^{*}$ каждое изометрически изоморфно $\ell^{1}$ по упражнениям 1.75 и 4.8).

Докажите, что $C(\mathbf{T})$ является банаховым пространством относительно равномерной нормы.

Покажите, что $C_{\text{per }}[0,1]$ является собственным замкнутым подпространством $C[0,1]$, и что $C_{\text{per }}[0,1]$ изометрически изоморфно $C(\mathbf{T})$.

Покажите, что $L^{p}(\mathbf{T})$ изометрически изоморфно $L^{p}[0,1]$ для каждого $1 \leq p \leq \infty$.

Покажите, что если $1 \leq p < q \leq \infty$, то $L^{q}(\mathbf{T}) \subsetneq L^{p}(\mathbf{T})$.

$Y$ — банахово пространство.

Если $\left\{ x_{n}\right\}$ — слабый базис для $X$, то $Y$ топологически изоморфно $X$ посредством $\left(c_{n}\right) \mapsto \sum c_{n} x_{n}$.

$\left\{ x_{n}\right\} \subseteq \ell^{1}$ — сильный базис Шаудера для $\ell^{1}$, биортогональной системой которого является $\left\{ y_{n}\right\}$.

Представление $x = \sum \left\langle x, y_{n} \right\rangle x_{n}$ является единственным представлением $x$ в смысле слабой* сходимости, т.е. $\left\{ x_{n}\right\}$ — слабый* базис для $\ell^{1}$.

$y_{1} \notin c_{0}$, поэтому функционал, определённый $y_{1}$, не является слабо*-непрерывным на $\ell^{1}$; следовательно, $\left\{ x_{n}\right\}$ не является слабым* базисом Шаудера для $\ell^{1}$.

$\left\{ x_{n}\right\}$ — сильный базис Шаудера для $\ell^{1}$, биортогональной системой которого является $\left\{ y_{n}\right\}$.

$\sum x_{n} = 0$ в смысле слабой* сходимости, так что $\left\{ x_{n}\right\}$ не является слабо* $\omega$-независимым; следовательно, $x = \sum \left\langle x, y_{n} \right\rangle x_{n}$ не является единственным слабо*-сходящимся представлением $x$, так что $\left\{ x_{n}\right\}$ не является слабым* базисом для $\ell^{1}$.

Покажите, что $\left\{ x^{k}\right\}_{k \geq 0}$ полна в $L^{p}[0,1]$.

Покажите, что $\left\{ x^{k}\right\}_{k \geq 0}$ не минимальна в $L^{p}[0,1]$.

Покажите, что $\left\{ x^{k}\right\}_{k \geq 0}$ не полна в $L^{\infty }[0,1]$.

$\left\{ e_{1}\right\} \cup \left\{ e_{n}+e_{n+1}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$.

$\left\{ e_{1}\right\} \cup \left\{ e_{1}+\frac{1}{n} e_{n}\right\}_{n \geq 2}$.

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — базис для $X$, то $\left\{ S_{N}\right\}$ является семейством проекций частичных сумм.

Предположим, что $\left\{ P_{N}\right\}$ — семейство проекций частичных сумм. Покажите, что если существуют ненулевые векторы $x_{1} \in \operatorname {range}\left(P_{1}\right)$ и $x_{n} \in \operatorname {range}\left(P_{n}\right) \cap \operatorname {ker}\left(P_{n-1}\right)$ для $n > 1$, то $\left\{ x_{n}\right\}$ — базис для $X$.

Покажите, что $\left\{ x_{m} \otimes y_{n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}}$ точна в $H \otimes K$, и её биортогональная система есть $\left\{ a_{m} \otimes b_{n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}}$.

Докажите следующие соотношения между операторами частичных сумм (где мы полагаем $S_{0}^{X}$ и $S_{0}^{Y}$ нулевыми операторами):