Банк задач по математике

Задача 7.1

Пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство. Для каждого из следующих пунктов постройте последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ , обладающую указанным свойством.

?

(a)

Ограниченная последовательность, не являющаяся бесселевой последовательностью.

(b)

Бесселева последовательность, являющаяся неортогональным базисом для $H$ .

(c)

Бесселева последовательность, не являющаяся базисом для $H$ , но имеющая фреймовый оператор $S = I$ .

(d)

Бесселева последовательность, такая что $\left\{ x_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N} \backslash F}$ полна для каждого конечного $F \subseteq \mathrm{~ N}$ .

(e)

Безусловный базис, не являющийся бесселевой последовательностью.

(f)

Нормализованный условный базис, являющийся бесселевой последовательностью.

(g)

Нормализованный условный базис, не являющийся бесселевой последовательностью.

(h)

Базис, являющийся бесселевым, но чья биортогональная последовательность не является бесселевой.

Задача 7.2

Дайте прямое доказательство теоремы 7.2.

?

Задача 7.3

Докажите теорему 7.4.

?

Задача 7.4

Докажите теорему 7.5.

?

Задача 7.5

(a)(b)

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — бесселева последовательность в гильбертовом пространстве $H$ , и пусть $B$ — бесселева граница.

?

(a)

Покажите, что $\left\| x_{n}\right\|^{2} \leq B$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ . Таким образом, бесселевы последовательности ограничены по норме сверху.

(b)

Покажите, что если $\left\| x_{m}\right\|^{2} = B$ для некоторого конкретного $m$ , то $x_{n} \perp x_{m}$ для всех $n \neq m$ .

Задача 7.6

Пусть $H, K$ — гильбертовы пространства. Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — бесселева последовательность в $H$ и $L \in \mathcal{B}(H, K)$ , то $\left\{ L x_{n}\right\}$ — бесселева последовательность в $K$ .

?

Задача 7.7

Предположим, что $H$ — гильбертово пространство, содержащееся в другом гильбертовом пространстве $K$ . Для данной последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ в $H$ покажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ является бесселевой последовательностью в $H$ тогда и только тогда, когда она является бесселевой последовательностью в $K$ .

?

Задача 7.8

(a)(b)

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве $H$ .

?

(a)

Если $\sum \left|\left\langle x, x_{n} \right\rangle \right|^{2} < \infty$ для всех $x$ из плотного множества $E \subseteq H$ , обязана ли $\left\{ x_{n}\right\}$ быть бесселевой последовательностью?

(b)

Если существует такая константа $B > 0$ , что $\sum \left|\left\langle x, x_{n} \right\rangle \right|^{2} \leq B\left\| x\right\|^{2}$ для всех $x$ из полного множества $E \subseteq H$ , обязана ли $\left\{ x_{n}\right\}$ быть бесселевой последовательностью?

Задача 7.9

(a)(b)

Покажите, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ в гильбертовом пространстве $H$ является бесселевой последовательностью, если выполняется одно из следующих двух условий:

?

(a)

$\sum_{m} \sum_{n}\left|\left\langle x_{m}, x_{n} \right\rangle \right|^{2} < \infty$ , или

(b)

$\sup_{m} \sum_{n}\left|\left\langle x_{m}, x_{n} \right\rangle \right| < \infty$ .

Заметим, что гипотеза (a) весьма ограничительна, например, ей не удовлетворяет ни одна бесконечная ортонормированная последовательность.

Задача 7.10

(a)(b)

Предположим, что $\left\{ x_{n}\right\}$ — бесселева последовательность, являющаяся базисом для гильбертова пространства $H$ . Пусть $\left\{ y_{n}\right\}$ — биортогональная последовательность, и пусть $B$ — бесселева граница.

?

(a)

Покажите, что

\forall x \in H, \quad \frac{1}{B}\left\| x\right\| ^{2} \leq \sum _{n}\left|\left\langle x, y_{n} \right\rangle \right|^{2}

Говорят, что $\left\{ y_{n}\right\}$ обладает нижней фреймовой границей $B^{-1}$ ; сравните с определением 8.2. Заметим, что $\left\{ y_{n}\right\}$ не обязана быть бесселевой последовательностью; см. упражнение 7.1(h).

(b)

Покажите, что для всех $N \in \mathbb {N}$ и $c_{1}, \ldots , c_{N} \in \mathbf{F}$ имеем

\frac{1}{B} \sum _{n = 1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2} \leq \left\| \sum _{n = 1}^{N} c_{n} y_{n}\right\| ^{2}

Задача 7.11

Пусть $\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\}$ — бесселевы последовательности в сепарабельных гильбертовых пространствах $H, K$ соответственно. Покажите, что последовательность тензорных произведений $\left\{ x_{m} \otimes y_{n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}}$ является бесселевой последовательностью в $H \otimes K = \mathcal{B}_{2}(H, K)$ (см. приложение B для определений).

?

Задача 7.12

(a)(b)(c)(d)

Матрица Гильберта — это

\mathcal{H} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & \cdots \\ 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 & \\ 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 & 1 / 6 & \\ 1 / 4 & 1 / 5 & 1 / 6 & 1 / 7 & \\ \vdots & & & & \ddots \end{smallmatrix}\right]

Определим

C = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 & \\ 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 3 & 0 & \\ 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & \\ \vdots & & & & \ddots \end{smallmatrix}\right] \quad \text{ и } \quad L = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & \cdots \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & \\ 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 4 & \\ 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 4 & \\ \vdots & & & & \ddots \end{smallmatrix}\right]

и докажите следующие утверждения.

?

(a)

$L = C C^{*}$ , так что $L \geq 0$ (т.е. $L$ является положительным оператором).

(b)

$I-(I-C)(I-C)^{*} = \operatorname {diag}(1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, \ldots )$ , диагональная матрица с элементами $1,1 / 2, \ldots$ на диагонали.

(c)

$\left\| (I-C)\right\|^{2} = \left\| (I-C)(I-C)^{*}\right\| \leq 1$ .

(d)

$\left\| C\right\| \leq 2$ и $\left\| L\right\| \leq 4$ .

Замечание Это факт (хотя его не так легко доказать), что если $A, B$ — симметричные матрицы, и $a_{i j} \leq b_{i j}$ для всех $i, j \in \mathbb {N}$ , то $\left\| A\right\| \leq \left\| B\right\|$ . Следовательно, $\left\| \mathcal{H}\right\| \leq \left\| L\right\| \leq 4$ .

Задача 7.13

(a)(b)(c)

Для данного базиса Рисса $\left\{ x_{n}\right\}$ в гильбертовом пространстве $H$ докажите, что следующие утверждения эквивалентны.

?

(a)

$\sum c_{n} x_{n}$ сходится.

(b)

$\sum c_{n} x_{n}$ сходится безусловно.

(c)

$\sum \left|c_{n}\right|^{2} < \infty$ .

Задача 7.14

Покажите, что каждый базис конечномерного векторного пространства $V$ является базисом Рисса для $V$ (относительно любого скалярного произведения на $V$ ).

?

Задача 7.15

Приведите пример безусловного базиса гильбертова пространства $H$ , не являющегося базисом Рисса для $H$ .

?

Задача 7.16

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — полная последовательность в гильбертовом пространстве $H$ , удовлетворяющая $\left\| \sum_{n = 1}^{N} c_{n} x_{n}\right\|^{2} = \sum_{n = 1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}$ для любого $N \in \mathbb {N}$ и $c_{1}, \ldots , c_{N} \in \mathbf{F}$ , то $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированный базис для $H$ .

?

Задача 7.17

Пусть $\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\}$ — базисы Рисса гильбертовых пространств $H, K$ соответственно. Покажите, что последовательность тензорных произведений $\left\{ x_{m} \otimes y_{n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}}$ является базисом Рисса для $H \otimes K = \mathcal{B}_{2}(H, K)$ (см. приложение B для определений).

?

Задача 7.18

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $H$ . Предположим, что $\left\{ y_{n}\right\}$ — последовательность в $H$ , и существует $0 < \lambda < 1$ , такое что

\left\| \sum _{n = 1}^{N} c_{n}\left(x_{n}-y_{n}\right)\right\| ^{2} \leq \lambda \sum _{n = 1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}, \quad N \in \mathbb {N}, c_{1}, \ldots , c_{N} \in \mathbf{F}

Покажите, что $\left\{ y_{n}\right\}$ — базис Рисса для $H$ .

?

Задача 7.19

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $H$ . Пусть $T_{k} \in \mathcal{B}(H)$ и $a_{n k} \in \mathbf{F}$ таковы, что

\lambda = \sum _{k = 1}^{\infty }\left\| T_{k}\right\| \left(\sup _{n}\left|a_{n k}\right|\right) < 1.

Предположим, что ряд

y_{n} = x_{n}+\sum _{k = 1}^{\infty } a_{n k} T_{k} e_{n}

сходится для каждого $n \in \mathbb {N}$ . Покажите, что $\left\{ y_{n}\right\}$ — базис Рисса для $H$ .

?

Задача 7.20

(a)(b)(c)

В этом упражнении мы будем использовать сокращение $e_{b}(x) = e^{2 \pi i b x}$ , где $b \in \mathbb {R}$ . Также мы отождествляем гильбертово пространство $L^{2}(\mathbf{T})$ с $L^{2}\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ .

Зафиксируем $\lambda_{n} \in \mathbb {C}$ и предположим, что

\delta = \sup _{n \in \mathbb {Z}}\left|n-\lambda _{n}\right| < \infty

?

(a)

Определим ограниченные линейные операторы $T_{k}$ на $L^{2}\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ формулой

T_{k} f(x) = x^{k} f(x)

Покажите, что операторная норма $T_{k}$ равна $\left\| T_{k}\right\| = 2^{-k}$ .

(b)

Определим

a_{n k} = -\frac{\left(2 \pi i\left(\lambda _{n}-n\right)\right)^{k}}{k!}

Покажите, что

e_{n}-e_{\lambda _{n}} = \sum _{k = 1}^{\infty } a_{n k} T_{k} e_{n}, \quad n \in \mathbb {Z}

где ряд сходится абсолютно в $L^{2}\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ .

(c)

Покажите, что если

\delta < (\ln 2) / \pi \approx 0.22 \ldots

то $\left\{ e^{2 \pi i \lambda_{n} x}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ является базисом Рисса для $L^{2}\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ .

Замечание Этот результат принадлежит Даффину и Ичусу [DE42], но он не является наилучшим из возможных. Теорема Кадеца о $\frac{1}{4}$ [Kad64] утверждает, что если $\delta < \frac{1}{4}$ , то $\left\{ e^{2 \pi i \lambda_{n} x}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ является базисом Рисса для $L^{2}\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ , и известно, что $\frac{1}{4}$ — оптимальное значение. Для более подробного обсуждения см. [You01].

Бесселевы последовательности и базисы в гильбертовых пространствах