Безусловные базисы в банаховых пространствах

Докажите лемму 6.1.

Докажите лемму 6.2: пусть $T: X \rightarrow Y$ — топологический изоморфизм банаховых пространств, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — базис для $X$.

Докажите теорему 6.4.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — безусловный базис банахова пространства $X$ с ассоциированными коэффициентными функционалами $\left\{ a_{n}\right\}$.

(См. главу 14 для доказательства того, что $\left\{ e^{2 \pi i n t}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ является базисом для $L^{p}(\mathbf{T})$ при $1 < p < \infty$, но не является базисом для $L^{1}(\mathbf{T})$ или $C(\mathbf{T})$.)

Пусть $X$ — вещественное банахово пространство, и предположим, что $\left\{ x_{n}\right\}$ — безусловный базис для $X$ с константой безусловного базиса $\mathcal{K}_{\mathcal{E}} = 1$. Для данных $x = \sum a_{n} x_{n}$ и $y = \sum b_{n} y_{n}$ в $X$ будем говорить, что $x \leq y$, если $a_{n} \leq b_{n}$ для каждого $n$. Покажите, что $\leq$ является частичным порядком на $X$, и что $X$ является банаховой решёткой в смысле определения 3.35. Используя обозначения этого определения, покажите, что $x \vee y = \sum \max \left\{ a_{n}, b_{n}\right\} x_{n}$, $x \wedge y = \sum \min \left\{ a_{n}, b_{n}\right\} x_{n}$, и $\left|x\right| = \sum \left|a_{n}\right| x_{n}$.

Положим $F = \mathbb {R}$. Система Хаара является ортонормированным базисом для $L^{2}[0,1]$, так что по упражнению 6.6 существует частичный порядок $\leq$ на $L^{2}[0,1]$, индуцированный этим безусловным базисом. Существует также обычный частичный порядок $\leq$ на $L^{2}[0,1]$, определённый как $f \leq g$, если $f(t) \leq g(t)$ для п.в. $t$. Совпадают ли эти два порядка?