Фреймы в гильбертовых пространствах

Покажите, что $\left\| x_{n}\right\|^{2} \leq A$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Покажите, что если $\left\| x_{m}\right\|^{2} < A$ для некоторого $m$, то $\left\{ x_{n}\right\}_{n \neq m}$ — фрейм для $H$, и оптимальная нижняя фреймовая граница для $\left\{ x_{n}\right\}_{n \neq m}$ равна $A-\left\| x_{m}\right\|^{2}$ (заметим, что этот новый фрейм может не быть жёстким).

Покажите, что если $\left\| x_{m}\right\|^{2} = A$ для некоторого $m$, то $x_{m} \perp x_{n}$ для всех $n \neq m$.

$\left\| x_{n}\right\|^{2} = A$ для каждого $n$.

$\left\{ x_{n}\right\}$ является ортогональной (но не обязательно ортонормированной) последовательностью без нулевых элементов.

$\left\{ x_{n}\right\}$ — базис для $H$.

$\left\{ x_{n}\right\}$ $\omega$-независима.

$\left\{ x_{n}\right\}$ — точный фрейм.

Используйте эти эквивалентности, чтобы показать, что $\left\{ x_{n}\right\}$ является точным фреймом Парсеваля для $H$ тогда и только тогда, когда это ортонормированный базис для $H$.

Покажите, что если $b > 1$, то $\overline{\operatorname {span}}\left\{ e_{b n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ является собственным подпространством $L^{2}(\mathbf{T})$. В частности, найдите ненулевую функцию из $L^{2}(\mathbf{T})$, ортогональную $e_{b n}$ для каждого $n \in \mathbb {Z}$.

Покажите, что если $0 < b < 1$, то $\left\{ e_{b n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ — жёсткий фрейм для $L^{2}(\mathbf{T})$, и найдите фреймовую границу. Покажите непосредственно, что эта последовательность не ортогональна, и продемонстрируйте, что она не является базисом, найдя два различных способа записи постоянной функции как $1 = \sum c_{n} e_{b n}$, где ряд сходится по норме $L^{2}$. Покажите, что $\left\{ e_{b n}\right\}_{n \neq 0}$ — фрейм для $L^{2}(\mathbf{T})$, и, следовательно, $\left\{ e_{b n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ неточен.

Докажите следующий результат о возмущениях для фреймов. Предположим, что $\left\{ x_{n}\right\}$ — фрейм для гильбертова пространства $H$ с фреймовыми границами $A, B$, и $\left\{ y_{n}\right\} \subseteq H$ таково, что $\left\{ f_{n}-g_{n}\right\}$ является бесселевой последовательностью с бесселевой границей $K$. Покажите, что $\left\{ g_{n}\right\}$ — фрейм, если $K < A$.

Покажите, что если $\left\{ h_{n}\right\}$ — последовательность в $H$, удовлетворяющая $K = \sum \left\| h_{n}\right\|^{2} < \infty$, то $\left\{ h_{n}\right\}$ является бесселевой последовательностью с бесселевой границей $K$.

Упражнение 8.9 показало, что $\left\{ e^{2 \pi i b n t}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ — фрейм для $L^{2}(\mathbf{T})$ при $0 < b \leq 1$. Объедините это с пунктами (a) и (b) этого упражнения, чтобы сформулировать и доказать теорему, устанавливающую достаточное условие на числа $\lambda_{n} \in \mathbb {R}$, при котором $\left\{ e^{2 \pi i \lambda_{n} t}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ является фреймом для $L^{2}(\mathbf{T})$. Считаете ли вы свой результат оптимальным?

$\left\{ v_{1}, \ldots , v_{n}\right\}$ — бесселева последовательность в $\mathbf{F}^{d}$, её оператор синтеза соответствует умножению на матрицу $R$, имеющую $v_{1}, \ldots , v_{n}$ в качестве столбцов, а её оператор анализа есть $C = R^{*}$, эрмитово сопряжённая к матрице $R$.

Следующие утверждения эквивалентны: (i) $\left\{ v_{1}, \ldots , v_{n}\right\}$ порождает $\mathbf{F}^{d}$, (ii) $S = C^{*} C$ положительно определена, (iii) $\left\{ v_{1}, \ldots , v_{n}\right\}$ — фрейм для $\mathbf{F}^{d}$. Более того, в случае, когда они выполняются, оптимальные фреймовые границы для $\left\{ v_{1}, \ldots , v_{n}\right\}$ равны $\lambda_{1}, \lambda_{d}$, где $\lambda_{1}$ — наименьшее собственное значение $S$, а $\lambda_{d}$ — наибольшее собственное значение.

Следующие утверждения эквивалентны: (i) $\left\{ v_{1}, \ldots , v_{n}\right\}$ линейно независимы, (ii) $G = C C^{*}$ положительно определена, (iii) $\left\{ v_{1}, \ldots , v_{n}\right\}$ — последовательность Рисса в $\mathbf{F}^{d}$.

Покажите, что $\left\{ v_{1}, \ldots , v_{N}\right\}$ — фреймовая последовательность, т.е. это фрейм для $\operatorname {span}\left\{ v_{1}, \ldots , v_{N}\right\}$.

Предположим, что $\left\{ v_{1}, \ldots , v_{N}\right\}$ линейно независимы, и пусть $A, B$ — фреймовые границы для $\left\{ v_{1}, \ldots , v_{N}\right\}$ как фрейма для своей линейной оболочки. Покажите, что

Покажите, что если $U, V \in \mathcal{B}(H)$ положительны и $U \leq V$, то $\left\| U\right\| \leq \left\| V\right\|$.

Пусть $S$ — фреймовый оператор для фрейма $\left\{ x_{n}\right\}$ с фреймовыми границами $A, B$. Докажите операторные неравенства

и

и используйте любое из них, чтобы показать, что $S$ является топологическим изоморфизмом.

Если $\left\{ y_{n}\right\}$ — бесселева последовательность в $H$, являющаяся альтернативным двойственным для $\left\{ x_{n}\right\}$, то $\left\{ y_{n}\right\}$ — фрейм, и $\left\{ x_{n}\right\}$ — альтернативный двойственный фрейм для $\left\{ y_{n}\right\}$.

Бесселева последовательность $\left\{ y_{n}\right\}$ является каноническим двойственным фреймом для $\left\{ x_{n}\right\}$ тогда и только тогда, когда она является альтернативным двойственным и $\operatorname {range}(C) = \operatorname {range}(\widetilde{C})$, где $\widetilde{C}$ — анализирующий оператор $\left\{ y_{n}\right\}$.

$\left\{ P x_{n}\right\}$ — фрейм для $M$ с теми же фреймовыми границами, что и $\left\{ x_{n}\right\}$, и $\left\{ P \widetilde{x}_{n}\right\}$ — альтернативный двойственный фрейм для $\left\{ P x_{n}\right\}$.

$\left\{ P \widetilde{x}_{n}\right\}$ является каноническим двойственным фреймом для $\left\{ P x_{n}\right\}$ тогда и только тогда, когда $PS = SP$, где $S$ — фреймовый оператор для $\left\{ x_{n}\right\}$.

Покажите, что $\widetilde{C} = C S^{-1}$ и $\widetilde{R} = S^{-1} R$.

Покажите, что ортогональная проекция $P$ пространства $\ell^{2}$ на $\operatorname {range} (C)$ есть $P c = C \widetilde{R} c = C S^{-1} R c = \left\{ \left\langle \sum_{n} c_{n} \widetilde{x}_{n}, x_{k} \right\rangle \right\}_{k \in \mathbb {N}}, \quad c = \left(c_{n}\right) \in \ell^{2}$.

$\left\{ y_{n}\right\}$ — альтернативный двойственный фрейм для $\left\{ x_{n}\right\}$.

Существует ограниченный левый обратный $V$ оператора $C$, такой что $y_{n} = V \delta_{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$ (т.е. $V: \ell^{2} \rightarrow H$ ограничен, $V C = I$, и $y_{n} = V \delta_{n}$).

$\left\{ x_{n}\right\}$ ограничена по норме сверху: $\left\| x_{n}\right\|^{2} \leq B$ для каждого $n$.

Если $\left\{ x_{n}\right\}$ точна, то она ограничена по норме снизу: $A \leq \left\| x_{n}\right\|^{2}$ для каждого $n$.

Покажите, что $\operatorname {range}(C) = \operatorname {range}(\widetilde{C})$.

Покажите, что псевдообратный $R^{\dagger }$ оператора синтеза $R$ есть $R^{\dagger } = \widetilde{C}$, так что

Покажите, что оптимальные фреймовые границы для $\left\{ x_{n}\right\}$ равны

Покажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ полна тогда и только тогда, когда $R$ имеет плотный образ.

Покажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ является $\ell^{2}$-независимой тогда и только тогда, когда $R$ инъективен.

Теперь предположим, что $\left\{ x_{n}\right\}$ — бесселева последовательность, являющаяся условным базисом Шаудера для $H$ (см. упражнение 7.1 для примера). Покажите, что существует такой $x \in H$, что $\left(\left\langle x, \widetilde{x}_{n} \right\rangle \right) \notin \ell^{2}$, где $\left(\widetilde{x}_{n}\right)$ — двойственный базис к $\left\{ x_{n}\right\}$. Покажите, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\} \cup \left\{ x\right\}$ является $\ell^{2}$-независимой, но не $\omega$-независимой.

$\left\{ x_{n}\right\}$ — фрейм для $H$ тогда и только тогда, когда существует замкнутое подпространство $M \subseteq \ell^{2}$ и топологический изоморфизм $T: M \rightarrow H$, такие что $x_{n} = T P_{M} \delta_{n}$ для каждого $n$.

$\left\{ x_{n}\right\}$ — фрейм Парсеваля для $H$ тогда и только тогда, когда оператор $T$ из пункта (a) можно выбрать изометрическим изоморфизмом.

$\left\{ x_{n}\right\}$ — фрейм для $H$ тогда и только тогда, когда существует гильбертово пространство $K \supseteq H$ и базис Рисса $\left\{ e_{n}\right\}$ для $K$, такие что $P_{H} e_{n} = x_{n}$ для каждого $n$.

$\left\{ x_{n}\right\}$ — фрейм Парсеваля для $H$ тогда и только тогда, когда существует гильбертово пространство $K \supseteq H$ и ортонормированный базис $\left\{ e_{n}\right\}$ для $K$, такие что $P_{H} e_{n} = x_{n}$ для каждого $n$.

Приведите пример фрейма для $\mathbf{F}^{d}$, содержащего бесконечно много ненулевых векторов.

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}_{n \in I}$ — фрейм для $\mathbf{F}^{d}$ и $\inf_{n \in I}\left\| x_{n}\right\| > 0$, то $I$ конечно.

Покажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ и $\left\{ y_{n}\right\}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда range $\left(C_{X}\right) =$ range $\left(C_{Y}\right)$, где $C_{X}, C_{Y}$ — операторы анализа для $\left\{ x_{n}\right\}$ и $\left\{ y_{n}\right\}$.

Покажите, что пункт (a) эквивалентен следующему:

Приведите пример фрейма $\left\{ x_{n}\right\}$ и перестановки $\sigma$ множества $\mathbb {N}$, оставляющей на месте все элементы $\mathbb {N}$, кроме конечного числа, такой что $\left\{ x_{n}\right\}$ не эквивалентен $\left\{ x_{\sigma (n)}\right\}$. Покажите, что этого не может произойти, если $\left\{ x_{n}\right\}$ — точный фрейм.

Приведите пример фрейма $\left\{ x_{n}\right\}$ и последовательности знаков $\varepsilon_{n} = \pm 1$, таких что $\left\{ x_{n}\right\}$ не эквивалентен $\left\{ \varepsilon_{n} x_{n}\right\}$. Покажите, что этого не может произойти, если $\left\{ x_{n}\right\}$ — точный фрейм.

Покажите, что если $\operatorname {range}\left(C_{X}\right) \perp \operatorname {range}\left(C_{Y}\right)$, то $\left\{ \left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ — фрейм для $H \times K$, причём он является фреймом Парсеваля тогда и только тогда, когда оба фрейма $\left\{ x_{n}\right\}$ и $\left\{ y_{n}\right\}$ — фреймы Парсеваля. (Когда $\operatorname {range}\left(C_{X}\right) \perp \operatorname {range}\left(C_{Y}\right)$, говорят, что $\left\{ x_{n}\right\}$ и $\left\{ y_{n}\right\}$ — ортогональные фреймы.)

Предположим дополнительно, что $\operatorname {range}\left(C_{X}\right) \oplus \operatorname {range}\left(C_{Y}\right) = \ell^{2}$. Покажите, что $\left\{ \left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ — базис Рисса для $H \times K$, причём он является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда каждый из фреймов $\left\{ x_{n}\right\}$ и $\left\{ y_{n}\right\}$ — фрейм Парсеваля (в этом случае $\left\{ \left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ называется суперфреймом).

Приведите примеры фреймов $\left\{ x_{n}\right\}$ и $\left\{ y_{n}\right\}$, не являющихся базисами Рисса, но таких, что $\left\{ \left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ — базис Рисса для $H \times H$.

Для данного фрейма $\left\{ x_{n}\right\}$ для $H$ покажите, что существует фрейм $\left\{ y_{n}\right\}$ для $H$ такой, что $\left\{ \left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ — базис Рисса для $H \times H$.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\}$ — фреймы для гильбертовых пространств $H, K$ соответственно. Покажите, что последовательность тензорных произведений $\left\{ x_{m} \otimes y_{n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}}$ — фрейм для $H \otimes K = \mathcal{B}_{2}(H, K)$ (определения см. в приложении B).

Пусть $E, F$ — измеримые подмножества $\mathbb {R}$. Покажите, что если $\left\{ f_{n}\right\}$ — фрейм для $L^{2}(E)$, а $\left\{ g_{n}\right\}$ — фрейм для $L^{2}(F)$, то $\left\{ \overline{f_{m}(x)} g_{n}(y)\right\}_{m, n \in \mathbb {N}}$ — фрейм для $L^{2}(E \times F)$.

$\left\{ x_{n}\right\}_{n \neq n_{k}}$ полна (и, следовательно, является фреймом) для каждого $k \in \mathbb {N}$, и существует единая константа $L > 0$, являющаяся нижней границей фрейма для каждого фрейма $\left\{ x_{n}\right\}_{n \neq n_{k}}$.

$\sup_{k}\left\langle x_{n_{k}}, \widetilde{x}_{n_{k}} \right\rangle < 1$.

Далее покажите, что если эти утверждения выполнены, то существует бесконечная подпоследовательность $\mathcal{G}_{\varepsilon }$ последовательности $\mathcal{G}$ такая, что $\mathcal{F} \backslash \mathcal{G}_{\varepsilon }$ — фрейм для $H$ с границами фрейма $L(A / B)-\varepsilon , 1$.

$U\left(\operatorname {ker}(C)\right) \subseteq \operatorname {ker}(C)$.

$V^{*}\left(\operatorname {ker}(R)\right) \subseteq \operatorname {ker}(R)$.

$V\left(\operatorname {range}(C)\right) \subseteq \operatorname {range}(C)$.

$U^{*}\left(\operatorname {range}(R)\right) \subseteq \operatorname {range}(R)$.

Докажите, что операторы $U, V, U^{*}$ и $V^{*}$, встречающиеся в примере 8.49, не имеют собственных значений.

Покажите, что если $0 < b < 1$, то существует бесконечное множество $J \subseteq \mathbb {Z}$ такое, что $\left\{ e^{2 \pi i b n t}\right\}_{n \notin J}$ — фрейм для $L^{2}(\mathbf{T})$.