Биортогональность, минимальность и другие свойства базисов

Покажите, что $\left\{ x^{k}\right\}_{k \geq 0}$ полна в $L^{p}[0,1]$.

Покажите, что $\left\{ x^{k}\right\}_{k \geq 0}$ не минимальна в $L^{p}[0,1]$.

Покажите, что $\left\{ x^{k}\right\}_{k \geq 0}$ не полна в $L^{\infty }[0,1]$.

$\left\{ e_{1}\right\} \cup \left\{ e_{n}+e_{n+1}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$.

$\left\{ e_{1}\right\} \cup \left\{ e_{1}+\frac{1}{n} e_{n}\right\}_{n \geq 2}$.

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — базис для $X$, то $\left\{ S_{N}\right\}$ является семейством проекций частичных сумм.

Предположим, что $\left\{ P_{N}\right\}$ — семейство проекций частичных сумм. Покажите, что если существуют ненулевые векторы $x_{1} \in \operatorname {range}\left(P_{1}\right)$ и $x_{n} \in \operatorname {range}\left(P_{n}\right) \cap \operatorname {ker}\left(P_{n-1}\right)$ для $n > 1$, то $\left\{ x_{n}\right\}$ — базис для $X$.

Покажите, что $\left\{ x_{m} \otimes y_{n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}}$ точна в $H \otimes K$, и её биортогональная система есть $\left\{ a_{m} \otimes b_{n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}}$.

Докажите следующие соотношения между операторами частичных сумм (где мы полагаем $S_{0}^{X}$ и $S_{0}^{Y}$ нулевыми операторами):

Покажите, что $\left\| S_{N}^{Z}\right\| \leq 3 \mathcal{C}_{X} \mathcal{C}_{Y}$ для каждого $N \in \mathbb {N}$, и заключите, что $\left\{ z_{k}\right\}$ — базис для $H \otimes K$.

Докажите, что $\left\{ e^{2 \pi i n t} \varphi (t)\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ точна в $L^{2}(\mathbf{T})$, и её биортогональная система $\left\{ e^{2 \pi i n t} \widetilde{\varphi }(t)\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ также точна (сравните с упражнением 10.9).

Докажите, что $|\varphi |^{2} \in \mathcal{A}_{2}(\mathbf{T})$.

$(1+t)^{p} \leq 2^{p-1}\left(1+t^{p}\right)$ для всех $t \geq 1$.

Если $a, b \in \mathbf{F}$, то $|a+b|^{p} \leq 2^{p-1}\left(|a|^{p}+|b|^{p}\right)$.

Величина, фигурирующая в уравнении (5.10), неотрицательна.

Какова биортогональная система для $\left\{ h_{n}\right\}$ как базиса для $L^{p}[0,1]$?

Покажите, что $\left\{ h_{n}\right\}$ является базисной последовательностью в $L^{\infty }[0,1]$.

Покажите, что $C[0,1] \subseteq \overline{\operatorname {span}}\left\{ h_{n}\right\}$ (замыкание по норме $L^{\infty }$). Более того, покажите, что если $f \in C[0,1]$, то ряд $\sum \left\langle f, h_{n} \right\rangle h_{n}$ сходится равномерно к $f$.

Предположим, что $f \in C(\mathbb {R})$ гёльдерова с показателем $\alpha$, т.е. существует такая константа $K > 0$, что $\left|f(x)-f(y)\right| \leq K|x-y|^{\alpha }$ для всех $x$, $y \in [0,1]$ (сравните с упражнением 1.23). Покажите, что существует такая константа $C > 0$, что

Как изменится заключение, если предположить лишь, что $f$ гёльдерова в точке $x$, т.е. существуют такие $K, \delta > 0$, что $\left|f(x)-f(y)\right| \leq K|x-y|^{\alpha }$ для всех $y$ с $\left|x-y\right| < \delta$?

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — ограниченный базис для $X$, то $\left\{ a_{n}\right\}$ — ограниченный базис для $\overline{\operatorname {span}}\left\{ a_{n}\right\}$ в $X^{*}$.

Если $\left\{ x_{n}\right\}$ — нормализованный базис для $X$, обязан ли $\left\{ a_{n}\right\}$ быть нормализованным базисом для $\overline{\operatorname {span}}\left\{ a_{n}\right\}$?

Докажите следствие 5.25.

Остаётся ли справедливой теорема 5.24 или следствие 5.25, если $\lambda = 1$?

Докажите теорему Крейна—Мильмана—Рутмана: если $\left\{ x_{n}\right\}$ — базис банахова пространства $X$, то существуют такие константы $\varepsilon_{n}$, что если $\left\{ y_{n}\right\}$ — последовательность в $X$, удовлетворяющая $\left\| x_{n}-y_{n}\right\| < \varepsilon_{n}$ для всех $n$, то $\left\{ y_{n}\right\}$ — базис для $X$, эквивалентный $\left\{ x_{n}\right\}$.

Предположим, что $X$ — банахово пространство, обладающее базисом. Покажите, что любое плотное подмножество $E$ пространства $X$ содержит базис для $X$.

Покажите, что существует базис $\left\{ p_{n}\right\}$ для $C[0,1]$, такой что каждый $p_{n}$ — многочлен. Сравните это с тем фактом, что $\left\{ x^{k}\right\}_{k \geq 0}$ не является базисом для $C[0,1]$, а система Шаудера является базисом для $C[0,1]$, не состоящим из многочленов.

Определим $x \sim y$, если $x-y \in M$. Покажите, что $\sim$ является отношением эквивалентности на $V$, и класс эквивалентности $x$ есть $[x] = M+x = \left\{ m+x: m \in M\right\}$.

Факторпространство есть $V / M = \left\{ M+x: x \in V\right\}$. Покажите, что

являются корректно определёнными операциями на $V / M$, и $V / M$ является векторным пространством относительно этих операций.

Докажите теорему об изоморфизме для векторных пространств: если $V, X$ — векторные пространства и $T: V \rightarrow W$ линеен и сюръективен с ядром $M = \operatorname {ker}(T)$, то $\psi (x+M) = T x$ является корректно определённой линейной биекцией $V / M$ на $W$.

Если существует подпространство $N \subseteq V$, такое что $M \cap N = \left\{ 0\right\}$ и $M+N = \left\{ m+n: m \in M, n \in N\right\} = V$, то определим коразмерность $M$ как $\operatorname {codim}(M) = \operatorname {dim}(N)$. Покажите, что коразмерность не зависит от выбора подпространства $N$, и $\operatorname {codim}(M) = \operatorname {dim}(V / M)$.