Вейвлет-базисы и фреймы

Покажите, что $\mathbb {A}_{1}, \mathbb {A}_{2}, \mathbb {A}_{3}$ являются изоморфными группами относительно этих операций.

При заданных $a > 1, b > 0$ покажите, что $\left\{ D_{a^{n}} T_{b k}\right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ не является подгруппой $\mathbb {A}_{1}$.

При фиксированных $a > 1$ и $b > 0$ пусть $G$ — подгруппа $\mathbb {A}_{1}$, порождённая $D_{a}$ и $T_{b}$, т.е. пересечение всех подгрупп $\mathbb {A}_{1}$, содержащих как $D_{a}$, так и $T_{b}$. Покажите, что $G$ содержит $D_{a^{n}} T_{\left(a^{m} j+k\right) b}$ для всех $m, n, j, k \in \mathbb {Z}$. Поскольку $\left\{ \left(a^{m} j+k\right) b\right\}_{m, j, k \in \mathbb {Z}}$ плотно в $\mathbb {R}$, заключаем, что не существует дискретных «разделённых» подгрупп $\mathbb {A}_{1}$, содержащих одновременно растяжения и сдвиги.

Как множество, $\mathbb {A}_{3} = (0, \infty ) \times \mathbb {R}$, и потому обладает естественной топологией. На самом деле $\mathbb {A}_{3}$ — пример локально компактной группы (ЛКГ). Каждая ЛКГ обладает соответствующими левой и правой мерами Хаара (единственными с точностью до скалярного множителя). Покажите, что левая мера Хаара для $\mathbb {A}_{3}$ равна $\frac{d a}{a} d b$, то есть для каждого $(u, v) \in \mathbb {A}_{3}$ мы имеем

для каждой функции $F$ на $\mathbb {A}_{3}$, интегрируемой относительно $\frac{d a}{a} d b$. Чему равна правая мера Хаара?

Покажите, что $\widehat{\mathcal{W}}(\psi , a, b)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}[0, \infty )$, а $\mathcal{W}(\psi , a, b)$ — фрейм Парсеваля для $H_{+}^{2}(\mathbb {R}) = \left\{ f \in L^{2}(\mathbb {R}): \operatorname {supp}(\widehat{f}) \subseteq [0, \infty )\right\}$.

Покажите, что при правильном выборе $a, b$ можно выбрать $\psi$ так, чтобы $\widehat{\psi }$ было непрерывно. Можно ли выбрать $\psi$ так, чтобы $\widehat{\psi }$ было бесконечно дифференцируемо?

Найдите $\psi_{1}, \psi_{2}$ с непрерывными преобразованиями Фурье такие, что $\mathcal{W}\left(\psi_{1}\right) \cup \mathcal{W}\left(\psi_{2}\right)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Докажите, что если $E$ замощает пространство сдвигами, то $\left\{ e^{2 \pi i k x}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис для $L^{2}(E)$.

Покажите, что если $E$ замощает пространство и сдвигами, и растяжениями, и $\widehat{\psi } = \chi_{E}$, то $\left\{ D_{a^{n}} T_{k} \psi \right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$. Следовательно, в этом случае $E$ — вейвлет-множество.

Пусть $\left\{ D_{a^{n}} T_{k} \psi \right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$, где $\widehat{\psi } = \chi_{E}$. Покажите, что $E$ замощает пространство и сдвигами, и растяжениями.

Покажите, что $E = \left[-1,-\frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ — вейвлет-множество, если взять $a = 2$. Проверьте явную формулу для вейвлета Шеннона $\psi$, приведённую в уравнении (12.6).

Пусть $\left\{ V_{n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ — КМА для $L^{2}(\mathbb {R})$ с масштабирующей функцией $\varphi$. Покажите, что $\left\{ D_{2^{n}} T_{k} \varphi \right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ полна в $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что $\left\{ D_{2^{n}} T_{k} \chi_{[0,1]}\right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ полна в $L^{2}(\mathbb {R})$.

$\left\{ T_{k} \varphi \right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — бесселева последовательность, или

$\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$, то $\varphi$ уточняема.

Свёрткой последовательностей $c = \left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ и $d = \left(d_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ в $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ называется последовательность $c * d$ с компонентами

Покажите, что этот ряд сходится при каждом $k$, и $c * d \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$. Покажите далее, что если $c$ и $d$ — обе конечные последовательности, то и $c * d$ конечна.

Свёрткой функций $\varphi , \psi \in L^{1}(\mathbb {R})$ называется функция $\varphi * \psi$, заданная как

Покажите, что этот интеграл существует для почти всех $x$, и что $\varphi * \psi \in L^{1}(\mathbb {R})$. Покажите также, что если $\varphi$ и $\psi$ имеют компактные носители, то и $\varphi * \psi$ имеет компактный носитель.

Пусть $\varphi , \psi \in L^{1}(\mathbb {R})$ удовлетворяют уточняющим уравнениям

где $c = \left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ и $d = \left(d_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$. Покажите, что их свёртка $\varphi * \psi$ уточняема. Пусть $m_{c}(x) = \frac{1}{2} \sum c_{k} e^{-2 \pi i k \xi }$ — символ для $\varphi$, а $m_{d}(x) = \frac{1}{2} \sum c_{k} e^{-2 \pi i k \xi }$ — символ для $\psi$; покажите, что символ для $\varphi * \psi$ равен $m_{c * d}(\xi ) = m_{c}(\xi ) m_{d}(\xi )$.

Покажите, что $B_{1} = \chi_{[0,1]} * \chi_{[0,1]}$ — шапочная функция на интервале $[0,2]$, и найдите явные формулы для $B_{2}$ и $B_{2}^{\prime }$.

Покажите, что $B_{n}$ уточняема, интегрируема и имеет компактный носитель. Покажите, что символ этого уточняющего уравнения равен

Найдите явную формулу для $\widehat{B_{n}}$ и покажите, что $\widehat{B_{n}} \in L^{1}(\mathbb {R})$ при всех $n > 0$.

Докажите, что $B_{n}^{\prime }(x) = B_{n-1}(x-1)-B_{n-1}(x)$ при $n > 1$.

Покажите, что $B_{n} \in C^{n-1}(\mathbb {R})$ при $n > 0$, и что $B_{n}^{(n-1)}$ кусочно линейна.

$\operatorname {supp}(\varphi ) \subseteq [0, N]$, т.е. $\varphi (x) = 0$ для почти всех $x \notin [0, N]$.

Если $\varphi$ непрерывна, то вектор $(\varphi (1), \ldots , \varphi (N-1))$ является собственным вектором матрицы $(N-1) \times (N-1)$

для собственного значения 1. Обратите внимание на двойной сдвиг в строках матрицы $M$; по этой причине $M$ называется дважды скошенной (two-slanted) матрицей.

Если $\varphi$ дифференцируема, то $\varphi^{\prime }$ уточняема.

Если $\varphi \in C^{1}(\mathbb {R})$, то 1 и $1 / 2$ являются собственными значениями $M$.

$\varphi$ не может быть бесконечно дифференцируемой, и на самом деле может иметь не более $N-2$ непрерывных производных.

Покажите, что $\widehat{\chi }(\xi ) = e^{\pi i \xi } \frac{\sin \pi \xi }{\pi \xi }$.

Покажите, что $\left|m_{0}(\xi )\right|^{2}+\left|m_{0}\left(\xi +\frac{1}{2}\right)\right|^{2} = 1$.

Дайте прямое доказательство формулы Виета:

Объясните, как формула Виета связана с теоремой 12.29.

Покажите, что если $\sum_{k \in \mathbb {Z}}\left|k^{j} c_{k}\right| < \infty$, то $m_{0}$ $j$ раз дифференцируема, и её $j$-я производная является непрерывной функцией

Заключите, что

и сопоставьте это с условиями точности, данными в уравнении (12.46).

Пусть $B_{n}$ — $n$-й $B$-сплайн, определённый в упражнении 12.20. Покажите, что условие точности $m_{0}^{(j)}(1 / 2) = 0$ выполняется при $j = 0, \ldots , n$.

Покажите, что преобразование Гильберта — унитарное отображение $L^{2}(\mathbb {R})$ на себя, но оно не отображает $L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R})$ на себя. В частности, если $f \in L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R})$ удовлетворяет $\widehat{f}(0) \neq 0$, то $H f \notin L^{1}(\mathbb {R})$.

Пусть $\varphi \in L^{2}(\mathbb {R})$ удовлетворяет уточняющему уравнению с коэффициентами $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$. Покажите, что $H \varphi$ удовлетворяет тому же уточняющему уравнению.

Покажите, что функция $1 / x$ удовлетворяет одночленному уточняющему уравнению $\varphi (x) = 2 \varphi (2 x)$. Однако $1 / x$ не является интегрируемой функцией и не определяет умеренного распределения.

Распределение $\delta$ — это линейный функционал на $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$, определённый как $\left\langle f, \delta \right\rangle = f(0)$ для $f \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$. Покажите, что $\delta$ удовлетворяет уравнению $\varphi (x) = 2 \varphi (2 x)$ в смысле распределений.

$j$-я производная распределения $\delta^{(j)}$ от $\delta$ определяется как $\left\langle f, \delta^{(j)} \right\rangle = (-1)^{j} f^{(j)}(0)$ для $f \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$. Покажите, что $\delta^{(j)}$ удовлетворяет $\varphi (x) = 2^{j+1} \varphi (2 x)$ в смысле распределений.

Главное значение $1 / x$ — это линейный функционал $\operatorname {pv}(1 / x)$ на $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$, заданный как

Покажите, что $\operatorname {pv}(1 / x)$ удовлетворяет $\varphi (x) = 2 \varphi (2 x)$ в смысле распределений.

Покажите, что если выполнены предположения теоремы 12.25, то $\mu = \stackrel{\vee }{P}$ (обратное преобразование Фурье $P$ в смысле распределений) — умеренное распределение, удовлетворяющее уточняющему уравнению в смысле распределений.

Покажите, что с точностью до масштаба $\mu$ — единственное умеренное распределение, удовлетворяющее уточняющему уравнению и имеющее преобразование Фурье, являющееся непрерывной функцией.

Пусть $\theta$ — произвольная ограниченная функция такая, что $\theta (2 \xi ) = \theta (\xi )$ при всех $\xi$. Покажите, что $\widehat{\nu }(\xi ) = P(\xi ) \theta (\xi )$ определяет умеренное распределение, удовлетворяющее уточняющему уравнению в смысле распределений.

Покажите, что функция $\theta$, удовлетворяющая $\theta (2 \xi ) = \theta (\xi )$ и непрерывная в точке $\xi = 0$, — постоянная функция. Приведите примеры непостоянных функций $\theta$ таких, что $\theta (2 \xi ) = \theta (\xi )$ при всех $\xi$.

Пусть $\delta_{k}$ — распределение точечной массы в $k$, т.е. $\left\langle f, \delta_{k} \right\rangle = f(k)$ для $f \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$. Положим $\nu = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{N} c_{k} \delta_{k}$, и покажите, что преобразование Фурье $\nu$ в смысле распределений равно $\widehat{\nu } = m_{0}$.

Положим

Покажите, что

и

По упражнению 12.35(a) существует решение $\mu$ уточняющего уравнения в смысле распределений, удовлетворяющее $\widehat{\mu } = P$. По теореме 12.25, $\widehat{\mu_{n}} = P_{n}$ сходится к $P = \widehat{\mu }$ равномерно на компактных множествах. Покажите, что $\mu_{n} \xrightarrow {\mathrm{w}^{*}} \varphi$, т.е.

и используйте это, чтобы показать, что $\operatorname {supp}(\varphi ) \subseteq [0, N]$.

Покажите, что если существует интегрируемое решение $\varphi$ уточняющего уравнения (12.47), то $\varphi$ имеет компактный носитель и $\operatorname {supp}(\varphi ) \subseteq [0, N]$.

Покажите, что если также выполнено условие устранения наложения спектров, то существует решение $\varphi \in L^{2}(\mathbb {R})$ с компактным носителем уточняющего уравнения (которое поэтому интегрируемо по неравенству Коши-Буняковского-Шварца).

Докажите утверждение (a) теоремы 12.33.

Докажите утверждение (b) теоремы 12.33.

Обоснуйте уравнения (12.63) и (12.64) в доказательстве утверждения (c) этой теоремы.

$|\widehat{\varphi }(\xi )|^{2}+|\widehat{\psi }(\xi )|^{2} = |\widehat{\varphi }(\xi / 2)|^{2}$ п.в.

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left|\widehat{\psi }\left(2^{n} \xi \right)\right|^{2} = |\widehat{\varphi }(\xi )|^{2}$ п.в.

$\sum_{n \in \mathbb {Z}}\left|\widehat{\psi }\left(2^{n} \xi \right)\right|^{2} = 1$ п.в. (попробуйте сделать это, не прибегая к теореме 12.6).

Покажите, что множество Журне $E$, определённое в уравнении (12.65), является вейвлет-множеством (используйте упражнение 12.4).

Определим $\widehat{\psi } = \chi_{E}$ и предположим, что $\psi$ связана с некоторым КМА. Пусть $\varphi$ — масштабирующая функция этого КМА. Используя упражнение 12.38, покажите, что $\left|\widehat{\varphi }\right| = \chi_{F}$, где

Используя уравнение $\widehat{\varphi }(\xi ) = m_{0}(\xi / 2) \widehat{\varphi }(\xi / 2)$, покажите, что $\left|m_{0}(\xi )\right| = 1$ при $\xi \in \left[-\frac{2}{7}, \frac{2}{7}\right]$. Поскольку $m_{0}$ 1-периодична, это также показывает, что $\left|m_{0}(\xi )\right| = 1$ при $\xi \in \left[\frac{5}{7}, \frac{9}{7}\right]$. Покажите, что если $\xi \in \left[1, \frac{8}{7}\right]$, то $\varphi (2 \xi ) = 0$, но $\left|m_{0}(\xi ) \varphi (\xi )\right| = 1$. Заключите, что $\psi$ не может быть связана с КМА.

Для альтернативного доказательства того, что $\psi$ не может быть связана с КМА, вычислите $\Phi_{\varphi }(\xi ) = \sum_{k \in \mathbb {Z}}|\widehat{\varphi }(\xi +k)|^{2}$ и используйте это, чтобы получить противоречие.

Определим

Покажите, что $\nu \in C^{3}(\mathbb {R})$ и $0 \leq \nu (x) \leq 1$ при всех $x$. Мы называем $\nu$ функцией $C^{3}$-сигмоидой.

Определим

Покажите, что $\widehat{\varphi }$ — колокольная функция в смысле примера 12.39.