Базисы и фреймы в прикладном гармоническом анализе

Докажите, что каждая функция $f \in C_{0}(\mathbb {R})$ равномерно непрерывна, и покажите, что равномерная непрерывность эквивалентна утверждению

Покажите, что уравнение (9.21) может не выполняться, если предполагать лишь $f \in C_{b}(\mathbb {R})$.

Покажите, что если $1 \leq p < \infty$ и $f \in L^{p}(\mathbb {R})$, то

В связи с этим говорят, что сдвиг сильно непрерывен на $L^{p}(\mathbb {R})$ при конечном $p$.

Преобразование Фурье инволюции $\widetilde{f}(x) = \overline{f(-x)}$ равно

Свёртка

существует для почти всех $x$, причём $f * g \in L^{1}(\mathbb {R})$ и $\left\| f * g\right\|_{L^{1}} \leq \left\| f\right\|_{L^{1}}\left\| g\right\|_{L^{1}}$. Кроме того, $f * g = g * f$.

Преобразование Фурье $f * g$ равно

Если $f, g$ имеют компактный носитель, то и $f * g$ имеет компактный носитель.

Если $g$ дифференцируема и $g^{\prime }$ интегрируема и ограничена, то $f * g$ дифференцируема и $(f * g)^{\prime } = f * g^{\prime }$.

Покажите, что уравнения (9.3) и (9.4) выполняются для каждой $f \in C_{c}^{2}(\mathbb {R})$.

Используя пункт (a), а также тот факт, что $L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R})$ плотно в $L^{2}(\mathbb {R})$, покажите, что уравнения (9.3) и (9.4) выполняются для каждой $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ в смысле поточечного равенства функций почти всюду.

Докажите, что если $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ вещественна и чётна, то $\widehat{f}$ вещественна и чётна.

Покажите, что пункт (a) верен также, если предположить $f \in L^{2}(\mathbb {R})$.

Докажите, что если $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ и $\widehat{f} \in L^{1}(\mathbb {R})$, то $f^{\wedge \wedge }(\xi ) = f(-\xi )$ и $f^{\wedge \wedge \wedge \wedge }(\xi ) = f(\xi )$ для всех $\xi \in \mathbb {R}$.

Докажите, что если $f \in L^{2}(\mathbb {R})$, то $f^{\wedge \wedge }(\xi ) = f(-\xi )$ и $f^{\wedge \wedge \wedge \wedge }(\xi ) = f(\xi )$ для почти всех $\xi \in \mathbb {R}$.

Докажите утверждение (a) теоремы 10.4.

Покажите, что $\mathrm{PW}(\mathbb {R}) \subseteq C^{\infty }(\mathbb {R})$, обосновав утверждения, сделанные в доказательстве теоремы 10.4(d).

$n$-я производная $f$ может быть записана в виде

$\left\| f^{(n)}\right\|_{\infty } \leq \pi^{n}\left\| \widehat{f}\right\|_{L^{1}}$ для каждого $n \geq 0$.

Для $a \in \mathbb {R}$ ряд Тейлора функции $f$ в точке $a$ сходится к $f(x)$ при всех $x$, т.е.

Замечание: Это означает, что $f$ является вещественно-аналитической функцией на $\mathbb {R}$. Теорема Пэли–Винера утверждает больше: в частности, $f$ продолжается до функции, комплексно-аналитической на $\mathbb {C}$.

Используя пункт (c), дайте другое доказательство следствия 10.6.

$\mathcal{E}(\varphi )$ полна в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $\varphi (x) \neq 0$ п.в.

$\mathcal{E}(\varphi )$ минимальна в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $1/\varphi \in L^{2}(\mathbf{T})$ (в этом случае $\mathcal{E}(\varphi )$ точна, биортогональна $\mathcal{E}(\widetilde{\varphi })$, где $\widetilde{\varphi } = 1/\varphi$).

$\mathcal{E}(\varphi )$ — бесселева последовательность в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $\varphi \in L^{\infty }(\mathbf{T})$.

$\mathcal{E}(\varphi )$ — фреймовая последовательность в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда существуют $A, B > 0$, такие что $A \leq |\varphi (x)|^{2} \leq B$ для п.в. $x \notin Z_{\varphi }$ (с замкнутым линейным пространством $H_{\varphi } = \left\{ f: f = 0\text{ п.в. на }Z_{\varphi }\right\}$).

$\mathcal{E}(\varphi )$ — безусловный базис для $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда существуют $A, B > 0$, такие что $A \leq |\varphi (x)|^{2} \leq B$ п.в. (в этом случае это базис Рисса).

$\mathcal{E}(\varphi )$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $|\varphi (x)| = 1$ п.в.

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является бесселевой последовательностью в $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда $\Phi_{g} \in L^{\infty }(\mathbf{T})$, и в этом случае $\Phi_{g} \leq B$ п.в., где $B$ — бесселева граница.

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является фреймом для $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда существуют такие $A, B > 0$, что $A \leq \Phi_{g}(\xi ) \leq B$ п.в. при $\xi \notin Z_{\Phi_{g}}$. В этом случае $A, B$ — границы фрейма для $\mathcal{T}(g)$.

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ минимальна в $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда $1 / \Phi_{g} \in L^{1}(\mathbf{T})$, и в этом случае $\mathcal{T}(g)$ точна в $V_{0}(g)$.

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является безусловным базисом для $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда существуют такие $A, B > 0$, что $A \leq \Phi_{g} \leq B$ п.в., и в этом случае она является базисом Рисса для $V_{0}(g)$.

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда $\Phi_{g}(t) = 1$ п.в.

Покажите, что относительно упорядочения $\left\{ 0,-1,1,-2,2, \ldots \right\}$ индексного множества $\mathbb {Z}$, $\mathcal{T}(g)$ является базисом Шаудера для $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда $\Phi_{g} \in \mathcal{A}_{2}(\mathbf{T})$.

Покажите, что $S\left(T_{k} f\right) = T_{k}(S f)$ для каждой $f \in V_{0}(g)$. Используя это, покажите, что канонический дуальный фрейм в $V_{0}(g)$ — это $\mathcal{T}(h)$, где $h = S^{-1} g$.

Покажите, что

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $\widehat{g}$ отлична от нуля почти всюду. Покажите, что если $f \in V_{0}(g)$, то существует 1-периодическая функция $p$ такая, что $\widehat{f} = p \widehat{g}$ п.в.

Для произвольной функции $g$ из $L^{2}(\mathbb {R})$ покажите, что $\mathcal{T}(g)$ не полна в $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что $\mathcal{T}(f)$ и $\mathcal{T}(g)$ имеют одинаковые замкнутые линейные оболочки тогда и только тогда, когда $\widehat{f}(\xi ) = \alpha (\xi ) \widehat{g}(\xi )$ п.в., где $\alpha$ 1-периодична и $\left|\alpha (\xi )\right| = 1$ п.в.

Покажите, что если $f$ и $g$ каждая имеет компактный носитель, то $\overline{\operatorname {span}}(\mathcal{T}(f)) = \overline{\operatorname {span}}(\mathcal{T}(g))$ тогда и только тогда, когда $f = \alpha T_{k} g$, где $k \in \mathbb {Z}$, а $\alpha$ — скаляр с $\left|\alpha \right| = 1$.

Покажите, что если $g$ имеет компактный носитель (равна нулю почти всюду вне некоторого конечного интервала), то $\mathcal{T}(g)$ — бесселева последовательность, но не может быть избыточным фреймом для своей замкнутой линейной оболочки $V_{0}(g)$ (ср. упражнение 10.22).

Покажите, что если $\widehat{g}$ непрерывна и имеет компактный носитель, то $\mathcal{T}(g)$ — бесселева последовательность, но не может быть избыточным фреймом для $V_{0}(g)$.

Найдите функцию $g \in L^{2}(\mathbb {R})$, для которой $\mathcal{T}(g)$ — избыточный фрейм для $V_{0}(g)$.

Используя то, что $T_{a} M_{b} = e^{-2 \pi i a b} M_{b} T_{a}$, покажите, что множество $\left\{ T_{a} M_{b}\right\}_{a, b \in \mathbb {R}}$ операторов сдвига по времени-частоте не замкнуто относительно композиции, а значит, не образует группу.

Определим

и покажите, что $\mathbb {H}_{1}$ — неабелева группа относительно композиции операторов.

Определим

Покажите, что $\mathbb {H}_{2}$ — неабелева группа относительно операции

Покажите далее, что $\mathbb {H}_{2}$ изоморфна $\mathbb {H}_{1}$.

Определим

Покажите, что $\mathbb {H}_{3}$ — неабелева группа относительно умножения матриц и что $\mathbb {H}_{3}$ изоморфна $\mathbb {H}_{1}$.

Покажите, что $a \mathbb {Z} \times b \mathbb {Z} \times \left\{ 0\right\} = \left\{ (a k, b n, 0)\right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ не является подгруппой $\mathbb {H}_{2}$, но счётное подмножество $a \mathbb {Z} \times b \mathbb {Z} \times a b \mathbb {Z} = \left\{ (a k, b n, a b j)\right\}_{k, n, j \in \mathbb {Z}}$ является подгруппой.

Как множество, $\mathbb {H}_{2} = \mathbb {R}^{3}$, и потому обладает естественной топологией. Фактически, $\mathbb {H}_{2}$ является примером локально компактной группы (ЛКГ). У каждой ЛКГ есть ассоциированные левая и правая меры Хаара (единственные с точностью до скалярного множителя). Покажите, что левой мерой Хаара для $\mathbb {H}_{2}$ является $d a d b d t$, что означает, что для каждого $(c, d, u) \in \mathbb {H}_{2}$ выполняется

для каждой интегрируемой функции $F$ на $\mathbb {H}_{2} = \mathbb {R}^{3}$. Покажите, что правой мерой Хаара также является $d a d b d t$. Таким образом, хотя $\mathbb {H}_{2}$ неабелева, её левая и правая меры Хаара совпадают (такую ЛКГ называют унимодулярной).

Покажите, что оператор фрейма $S$ коммутирует с $M_{b n}$ и $T_{a k}$ при всех $k, n \in \mathbb {Z}$, и используйте это, чтобы показать, что $S^{-1}$ также коммутирует с $M_{b n}$ и $T_{a k}$.

Покажите, что канонический дуальный фрейм $\mathcal{G}(g, a, b)$ — это фрейм Габора $\mathcal{G}(\widetilde{g}, a, b)$, где $\widetilde{g} = S^{-1} g$.

Предположим, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$. Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — базис Рисса тогда и только тогда, когда $\left\langle g, \widetilde{g} \right\rangle = 1$.

Покажите, что канонический фрейм Парсеваля решётчатого фрейма Габора является другим решётчатым фреймом Габора. А именно, если $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ и мы полагаем $g^{\sharp } = S^{-1 / 2} g$, где $S$ — оператор фрейма, то $\mathcal{G}\left(g^{\sharp }, a, b\right)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что $\mathcal{G}\left(\chi_{[0,1]}, 1,1\right)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что $\mathcal{G}\left(\chi_{[0,1]}, a, 1\right)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $0 < a \leq 1$.

Оператор фрейма является поточечным умножением на $b^{-1} G_{0}$, т.е. $S f = b^{-1} G_{0} f$ для $f \in L^{2}(\mathbb {R})$.

Канонический дуальный фрейм — это $\mathcal{G}(\widetilde{g}, a, b)$, где $\widetilde{g} = b g / G_{0}$.

Если $a b = 1$, то $\mathcal{G}(g, a, b)$ — базис Рисса для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Если $0 < a b < 1$, то $\mathcal{G}(g, a, b)$ — избыточный фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что для каждого $n \in \mathbb {N}$ существует многочлен $p_{n}$ степени $3 n$ такой, что

Заключите, что $f$ бесконечно дифференцируема, каждая производная $f$ ограничена, и $f^{(n)}(x) = 0$ для всех $x \leq 0$ и $n \geq 0$.

Покажите, что если $a < b$, то $g(x) = f(x-a) f(b-x)$ бесконечно дифференцируема, равна нулю вне $(a, b)$ и строго положительна на $(a, b)$.

Положим $F_{0}(x) = \sum_{k \in \mathbb {Z}}|f(x-a k)|^{2}$ и покажите, что $g = f / F_{0}^{1 / 2}$ бесконечно дифференцируема, имеет компактный носитель и удовлетворяет $\sum_{k \in \mathbb {Z}}|g(x-a k)|^{2} = 1$ всюду.

Покажите, что существует функция $g \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$, для которой $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — базис Рисса для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда это фрейм и $a b = 1$.

Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда это тесный фрейм, $a b = 1$ и $\left\| g\right\|_{L^{2}} = 1$.

$W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right) \subseteq L^{p}(\mathbb {R})$ при $1 \leq p \leq \infty$, и $W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ плотно в $L^{p}(\mathbb {R})$ при $1 \leq p < \infty$.

$W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ замкнуто относительно сдвигов: $\left\| T_{b} f\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})} \leq 2\left\| f\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})}$.

$W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ является идеалом в $L^{\infty }(\mathbb {R})$ относительно поточечного произведения: если $f \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ и $g \in W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$, то $f g \in W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ и $\left\| f g\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})} \leq \left\| f\right\|_{L^{\infty }}\left\| g\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})}$.

$\displaystyle \frac{1}{C_{1/a}}\lvert \lvert \lvert f\rvert \rvert \rvert_{a} \leq \left\| f\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})}$, где $\lvert \lvert \lvert f\rvert \rvert \rvert_{a} = \sum_{k \in \mathbb {Z}}\left\| f \cdot \chi_{[a k, a(k+1)]}\right\|_{L^{\infty }}$.

Обоснуйте переход от равенства $\int f(x) e^{-2 \pi i b n x} \overline{g(x-a k)} \, d x$ к его периодизированной форме двойной суммы.

Обоснуйте равенство, полученное интегрированием $f(x) \overline{g(x-a k)} F_{k}(x)$ периодически, по сравнению с интегрированием по всему $\mathbb {R}$.

Обоснуйте перестановку суммы по $k$ с суммой по $j$ и интегралом.

Обоснуйте перестановку суммы по $j$ с внешним интегралом.

Пусть $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $a, b > 0$ таковы, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$. Покажите, что существует $\delta > 0$ такое, что если $h \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $\left\| g-h\right\|_{W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)} < \delta$, то $\mathcal{G}(h, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Останется ли пункт (a) верным, если заменить амальгамную норму $\left\| \cdot \right\|_{W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)}$ на норму $L^{2}$ $\left\| \cdot \right\|_{L^{2}}$?