Преобразование Фурье на вещественной прямой

Докажите, что каждая функция $f \in C_{0}(\mathbb {R})$ равномерно непрерывна, и покажите, что равномерная непрерывность эквивалентна утверждению

Покажите, что уравнение (9.21) может не выполняться, если предполагать лишь $f \in C_{b}(\mathbb {R})$.

Покажите, что если $1 \leq p < \infty$ и $f \in L^{p}(\mathbb {R})$, то

В связи с этим говорят, что сдвиг сильно непрерывен на $L^{p}(\mathbb {R})$ при конечном $p$.

Преобразование Фурье инволюции $\widetilde{f}(x) = \overline{f(-x)}$ равно

Свёртка

существует для почти всех $x$, причём $f * g \in L^{1}(\mathbb {R})$ и $\left\| f * g\right\|_{L^{1}} \leq \left\| f\right\|_{L^{1}}\left\| g\right\|_{L^{1}}$. Кроме того, $f * g = g * f$.

Преобразование Фурье $f * g$ равно

Если $f, g$ имеют компактный носитель, то и $f * g$ имеет компактный носитель.

Если $g$ дифференцируема и $g^{\prime }$ интегрируема и ограничена, то $f * g$ дифференцируема и $(f * g)^{\prime } = f * g^{\prime }$.

Покажите, что уравнения (9.3) и (9.4) выполняются для каждой $f \in C_{c}^{2}(\mathbb {R})$.

Используя пункт (a), а также тот факт, что $L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R})$ плотно в $L^{2}(\mathbb {R})$, покажите, что уравнения (9.3) и (9.4) выполняются для каждой $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ в смысле поточечного равенства функций почти всюду.

Докажите, что если $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ вещественна и чётна, то $\widehat{f}$ вещественна и чётна.

Покажите, что пункт (a) верен также, если предположить $f \in L^{2}(\mathbb {R})$.

Докажите, что если $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ и $\widehat{f} \in L^{1}(\mathbb {R})$, то $f^{\wedge \wedge }(\xi ) = f(-\xi )$ и $f^{\wedge \wedge \wedge \wedge }(\xi ) = f(\xi )$ для всех $\xi \in \mathbb {R}$.

Докажите, что если $f \in L^{2}(\mathbb {R})$, то $f^{\wedge \wedge }(\xi ) = f(-\xi )$ и $f^{\wedge \wedge \wedge \wedge }(\xi ) = f(\xi )$ для почти всех $\xi \in \mathbb {R}$.