Банк задач по математике

Задача 51.1

(а)(б)

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данный набор из $\binom {n}{2}$ неотрицательных вещественных чисел служил набором расстояний между:

?

(а)

$n$ аффинно независимыми точками евклидова пространства;

(б)

$n$ произвольными точками евклидова пространства.

Задача 51.2

(а)(б)(в)(г)

Существует ли в евклидовом пространстве набор точек $a_{1}$ , $a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ , для которого матрица $A$ есть матрица расстояний $(\rho \left(a_{i}, a_{j}\right))$ , и какова наименьшая размерность пространства, в которое такой набор можно поместить:

?

(а)

$A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 2 & 2 & 2 \sqrt{2} \\ 1 & 0 & \sqrt{5} & \sqrt{5} & 3 \\ 2 & \sqrt{5} & 0 & 2 \sqrt{2} & 2 \\ 2 & \sqrt{5} & 2 \sqrt{2} & 0 & 2 \sqrt{3} \\ 2 \sqrt{2} & 3 & 2 & 2 \sqrt{3} & 0\end{array}\right)$ ;

(б)

$A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 3 & \sqrt{5} & \sqrt{5} & 2 \sqrt{2} \\ 3 & 0 & \sqrt{14} & \sqrt{14} & \sqrt{17} \\ \sqrt{5} & \sqrt{14} & 0 & \sqrt{2} & \sqrt{17} \\ \sqrt{5} & \sqrt{14} & \sqrt{2} & 0 & 3 \\ 2 \sqrt{2} & \sqrt{17} & \sqrt{17} & 3 & 0\end{array}\right)$ ;

(в)

$A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 2 & \sqrt{5} & 1 \\ 1 & 0 & \sqrt{5} & 2 & \sqrt{2} \\ 2 & \sqrt{5} & 0 & \sqrt{17} & 1 \\ \sqrt{5} & 2 & \sqrt{17} & 0 & \sqrt{10} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 & \sqrt{10} & 0\end{array}\right)$ ;

(г)

$A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & \sqrt{5} & \sqrt{5} & \sqrt{5} & \sqrt{5} \\ \sqrt{5} & 0 & 2 \sqrt{5} & 2 \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{5} & 2 \sqrt{5} & 0 & 2 & 2 \sqrt{2} \\ \sqrt{5} & 2 \sqrt{2} & 2 & 0 & 2 \sqrt{5} \\ \sqrt{5} & 2 & 2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{5} & 0\end{array}\right)$ .

Задача 51.3

(а)(б)

Доказать эквивалентность следующих двух свойств пары плоскостей $\left\{ P, Q\right\}$ в евклидовом пространстве:

?

(а)

любая прямая, лежащая в одной из этих плоскостей, перпендикулярна любой прямой, лежащей в другой плоскости;

(б)

плоскости $P, Q$ перпендикулярны и либо скрещиваются, либо пересекаются в одной точке.

Задача 51.4

Пусть $Q \subset P$ — плоскости в $n$ -мерном евклидовом пространстве $E$ . Доказать, что любая плоскость $P^{\prime } \subset E$ , перпендикулярная $P$ , для которой $P \cap P^{\prime }=Q$ , имеет размерность $\leqslant n-\operatorname {dim} P+\operatorname {dim} Q$ и существует единственная такая плоскость размерности $n-\operatorname {dim} P+\operatorname {dim} Q$ .

?

Задача 51.5

(а)(б)(в)

Пусть $P$ — плоскость в евклидовом пространстве и точка $a$ не принадлежит $P$ . Доказать, что:

?

(а)

существует единственная прямая, проходящая через точку $a$ , пересекающая $P$ и перпендикулярная $P$ ;

(б)

если $c$ — любая точка в $P$ и $z$ — ортогональная составляющая вектора $\overline{a c}$ относительно направляющего подпространства плоскости $P$ , то $a+\langle z\rangle$ — прямая, указанная в а); $a+z$ — точка пересечения этой прямой с $P$ ;

(в)

$\rho (a, P)=\left|z\right|$ .

Задача 51.6

(а)(б)

В евклидовом пространстве найти прямую, проходящую через точку $a$ , пересекающую плоскость $P$ и перпендикулярную $P$ , если:

?

(а)

$a=(5,-4,4,0), \quad P=(2,-1,2,3)+\langle (1,1,1,2),(2,2,1,1)\rangle$ ;

(б)

$a=(5,0,2,11), \quad P: \begin{cases} x_{1}+5 x_{2}+x_{4}=10, \\ 5 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+8 x_{4}=-1. \end{cases}$

Задача 51.7

(а)(б)(в)(г)

В евклидовом пространстве найти расстояние от точки $a$ до плоскости $P$ , если:

?

(а)

$a=(4,1,-4,-5), \quad P=(3,-2,1,5)+\langle (2,3,-2,-2),(4,1,3,2)\rangle$ ;

(б)

$a=(1,1,-2,-3,-2), \quad P=(3,7,-5,4,1)+\langle (1,1,2,0,1),(2,2,1,3,1)\rangle ;$

(в)

$a=(2,1,-3,4), \quad P: \begin{cases} 2 x_{1}-4 x_{2}-8 x_{3}+13 x_{4}=-19, \\ x_{1}+x_{2}-x_{3}+2 x_{4}=1 ; \end{cases}$

(г)

$a=(1,-3,-2,9,-4), \quad P: \begin{cases} x_{1}-2 x_{2}-3 x_{3}+3 x_{4}+2 x_{5}=-2, \\ x_{1}-2 x_{2}-7 x_{3}+5 x_{4}+3 x_{5}=1. \end{cases}$

Задача 51.8

В $n$ -мерном евклидовом пространстве найти расстояние от точки $\left(b_{1}, \ldots , b_{n}\right)$ до гиперплоскости $\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}=c$ .

?

Задача 51.9

В пространстве многочленов со скалярным произведением $(f, g)=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$ найти расстояние от многочлена $x^{n}$ до подпространства многочленов степени меньше $n$ .

?

Задача 51.10

В пространстве тригонометрических многочленов со скалярным произведением $(f, g)=\int_{-\pi }^{\pi } f(x) g(x) d x$ найти расстояние от функции $\cos^{n+1} x$ до подпространства

\langle 1, \cos x, \sin x, \ldots , \cos n x, \sin n x\rangle

?

Задача 51.11

Пусть $P$ — плоскость в $n$ -мерном евклидовом пространстве $E$ . Доказать, что через всякую точку $a \in E$ проходит единственная плоскость $Q$ размерности $n-\operatorname {dim} P$ , перпендикулярная $P$ и пересекающая её в одной точке.

?

Задача 51.12

(а)(б)

Найти в евклидовом пространстве плоскость наибольшей размерности, проходящую через точку $a$ , перпендикулярную плоскости $P$ и пересекающую её в одной точке, если:

?

(а)

$a=(2,-1,3,5), \quad P=(7,2,-3,4)+\langle (-1,3,2,1),(1,2,3,-1)\rangle$ ;

(б)

$a=(3,-2,1,4), \quad P: \begin{cases} 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}-2 x_{4}=4, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+x_{4}=5. \end{cases}$

Задача 51.13

(а)(б)(в)(г)

Пусть $P_{1}=c_{1}+L_{1}$ и $P_{2}=c_{2}+L_{2}$ — две непересекающиеся плоскости в евклидовом пространстве, $y$ и $z$ — соответственно ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора $\overline{c_{1} c_{2}}$ относительно подпространства $L_{1}+L_{2}$ , и пусть $y=y_{1}+y_{2}$ , где $y_{1} \in L_{1}$ , $y_{2} \in L_{2}$ .

?

(а)

Доказать, что прямая $c_{1}+y_{1}+\langle z\rangle$ перпендикулярна плоскостям $P_{1}, P_{2}$ и пересекает $P_{1}$ в точке $c_{1}+y_{1}$ , а $P_{2}$ в точке $c_{2}-y_{2}$ .

(б)

Найти расстояние $\rho \left(P_{1}, P_{2}\right)$ .

(в)

Установить биективное соответствие между $L_{1} \cap L_{2}$ и множеством всех прямых, перпендикулярных $P_{1}$ и $P_{2}$ и пересекающих обе плоскости.

(г)

Показать, что все прямые, описанные в в), параллельны между собой и что их объединение представляет собой плоскость размерности $\operatorname {dim}\left(L_{1} \cap L_{2}\right)+1$ .

Задача 51.14

(а)(б)(в)(г)

В евклидовом пространстве найти расстояние между плоскостями $P_{1}$ и $P_{2}$ , если:

?

(а)

$P_{1}: \begin{cases} x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}=3, \\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}=6, \end{cases}$ $P_{2}=(0,2,6,-5)+\langle (-7,1,1,1),(-10,1,2,3)\rangle ;$

(б)

$P_{1}: \begin{cases} -x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3, \\ -3 x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}=4, \end{cases}$ $P_{2}=(1,3,-3,-1)+\langle (1,0,1,1)\rangle ;$

(в)

$P_{1}: \begin{cases} x_{1}+x_{3}+x_{4}-2 x_{5}=2, \\ x_{2}+x_{3}-x_{4}-x_{5}=3, \\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{5}=3, \end{cases}$ $P_{2}=(1,-2,5,8,2)+\langle (0,1,2,1,2),(2,1,2,-1,1)\rangle ;$

(г)

$P_{1}: \begin{cases} x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-x_{4}+3 x_{5}=6, \\ x_{1}-x_{3}-x_{4}+3 x_{5}=0, \end{cases}$ $P_{2}=(-4,3,-3,2,4)+\langle (2,0,1,1,1),(-5,1,0,1,1)\rangle$ .

Задача 51.15

Точки $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ в евклидовом пространстве расположены на одинаковом расстоянии $d$ друг от друга. Найти расстояние между плоскостями $\left\langle a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{k}\right\rangle$ и $\left\langle a_{k+1}, \ldots , a_{n}\right\rangle$ .

?

Задача 51.16

Доказать, что конфигурации из двух плоскостей

\left\{ a_{1}+L_{1}, a_{2}+L_{2}\right\} \quad \text{ и } \quad \left\{ a_{1}^{\prime }+L_{1}^{\prime }, a_{2}^{\prime }+L_{2}^{\prime }\right\}

в евклидовом пространстве метрически конгруэнтны тогда и только тогда, когда $\rho \left(a_{1}+L_{1}, a_{2}+L_{2}\right)=\rho \left(a_{1}^{\prime }+L_{1}^{\prime }, a_{2}^{\prime }+L_{2}^{\prime }\right)$ , и конфигурации подпространств $L_{1}, L_{2}, L_{1}^{\prime }, L_{2}^{\prime }$ ортогонально конгруэнтны в соответствующем евклидовом векторном пространстве.

?

Задача 51.17

(а)(б)(в)

Выяснить, являются ли метрически конгруэнтными в евклидовом пространстве заданные пары плоскостей:

?

(а)

$P_{1}=(0,9,8,-12,11)+\langle (0,2,2,2,1),(3,1,1,1,-1)\rangle$ , $P_{2}=(-3,-4,-5,11,-12)+\langle (7,5,-5,-1,-5),(3,5,-1,11,13)\rangle ;$

(б)

$Q_{1}=(2,-5,-11,-8,-10)+\langle (2,-1,1,-1,1),(2,-2,1,0,1)\rangle$ , $Q_{2}=(8,8,10,9,11)+\langle (0,3,4,-4,-3),(14,-2,-5,3,4)\rangle ;$

(в)

$R_{1}=(7,-3,-9,-14,5)+\langle (0,0,0,1,2),(2,-1,2,0,-6)\rangle$ , $R_{2}=(0,10,9,14,-5)+\langle (1,7,2,0,6),(4,-1,0,2,-2)\rangle$ .

Задача 51.18

(а)(б)

Найти в евклидовом пространстве геометрическое место точек, через которые можно провести прямую, пересекающую плоскости $P_{1}, P_{2}$ и перпендикулярную этим плоскостям:

?

(а)

$P_{1}=(1,2,-1,-9,-13)+\langle (2,3,7,10,13),(3,5,11,16,21)\rangle$ , $P_{2}: \begin{cases} 3 x_{1}-5 x_{2}+2 x_{3}-x_{4}+x_{5}=-22, \\ 2 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}-x_{4}-3 x_{5}=-4, \\ 9 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}-2 x_{5}=-138 ; \end{cases}$

(б)

$P_{1}=(3,7,2,4,-3)+\langle (2,5,4,5,3),(4,5,6,3,3)\rangle$ , $P_{2}: \begin{cases} -3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}+x_{5}=-14, \\ 6 x_{1}-x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}-x_{5}=16, \\ 2 x_{1}-x_{2}+2 x_{4}-3 x_{5}=26. \end{cases}$

Задача 51.19

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

если движение евклидова пространства имеет две скрещивающиеся инвариантные плоскости, то оно обладает неподвижной точкой;

(б)

движение $f n$ -мерного евклидова пространства, имеющее неподвижную точку, имеет две скрещивающиеся инвариантные плоскости положительной размерности, если $f$ собственное, $n \geqslant 5$ и нечётно или $f$ несобственное, $n \geqslant 4$ и чётно.

Задача 51.20

Пусть $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{s}$ и $b_{0}, b_{1}, \ldots , b_{s}$ — два набора точек в евклидовом пространстве. Доказать, что движение, переводящее каждую из точек $a_{i}$ в точку $b_{i}$ , существует тогда и только тогда, когда $\rho \left(a_{i}, a_{j}\right)=\rho \left(b_{i}, b_{j}\right)(i, j=1, \ldots , s)$ .

?

Задача 51.21

Доказать, что для всякого движения $f$ евклидова пространства совокупность точек $a$ , на которых достигается минимум расстояния $\rho (a, f(a))$ , является плоскостью, инвариантной относительно $f$ , и что ограничение $f$ на эту плоскость есть параллельный перенос.

?

Задача 51.22

Доказать, что если у двух тетраэдров в трехмерном евклидовом пространстве соответствующие двугранные углы равны, то эти тетраэдры подобны.

?

Задача 51.23

Дать геометрическое описание собственного движения $f$ евклидово пространства, если:

?

(а)

$D f=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right), \quad f(O)=(-2,4) ;$

(б)

$D f=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right), \quad f(O)=(1,1)$ ;

(в)

$D f=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2\end{array}\right), \quad f(O)=(1,0,-1)$ ;

(г)

$D f=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{rrr}4 & 1 & -8 \\ 7 & 4 & 4 \\ 4 & -8 & 1\end{array}\right), \quad f(O)=(-1,-7,2)$ ;

(д)

$D f=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{rrr}-2 & 3 & 6 \\ 6 & -2 & 3 \\ 3 & 6 & -2\end{array}\right), \quad f(O)=(-2,4,1)$ .

Задача 51.24

Дать геометрическое описание несобственного движения $f$ евклидово пространства, если:

?

(а)

$D f=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad f(O)=(1,0)$ ;

(б)

$D f=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1\end{array}\right), \quad f(O)=(1,-\sqrt{3})$ .

(в)

$D f=-\frac{1}{9}\left(\begin{array}{rrr}4 & 1 & -8 \\ 7 & 4 & 4 \\ 4 & -8 & 1\end{array}\right), \quad f(O)=(1,1,-2)$ ;

(г)

$D f=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2\end{array}\right), \quad f(O)=(4,0,2)$ ;

(д)

$D f=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1\end{array}\right), \quad f(O)=(2,0,0)$ ;

(е)

$D f=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{rrr}-2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & -2 \\ 6 & -2 & 3\end{array}\right), \quad f(O)=(-3,1,2)$ .

Евклидовы пространства