Аффинная, евклидова и проективная геометрия

Доказать, что для любых точек $a, b, c$ аффинного пространства $\overline{a b}+\overline{b c}=\overline{a c}$.

Доказать, что если $\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i}=0$, то для любых точек $a_{1}, \ldots , a_{k}$ аффинного пространства вектор $\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \overline{a a_{i}}$ не зависит от точки $a$.

Доказать, что если $\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i}=1$, то для любых точек $a_{1}, \ldots , a_{k}$ аффинного пространства точка $a+\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \overline{a a_{i}}$ (обозначаемая $\left.\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} a_{i}\right)$ не зависит от точки $a$.

Пусть $(P, U)$ — аффинное подпространство (плоскость) аффинного пространства. Доказать, что:

Доказать, что пересечение любого семейства плоскостей аффинного пространства либо пусто, либо является плоскостью.

Пусть $S$ — непустое подмножество аффинного пространства $A$. Доказать, что:

Доказать, что подмножество аффинного независимого множества аффинно независимо.

Доказать, что любое максимальное аффинно независимое подмножество множества $S$ в аффинном пространстве содержит $k+1$ точек, где $k=1+\operatorname {dim}\langle S\rangle$.

Пусть в аффинном пространстве $(A, V)$ заданы две системы аффинных координат: $\left(a, e_{i}, \ldots , e_{n}\right)$ и $\left(a^{\prime }, e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }\right)$, а $\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ координаты точки $a^{\prime }$ в первой системе и $B=\left(b_{i j}\right)$ — матрица перехода от базиса $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ к базису $\left(e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }\right)$ в векторном пространстве $V$. Выразить координаты $\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ точки $x \in A$ в первой системе через её координаты $\left(x_{1}^{\prime }, \ldots , x_{n}^{\prime }\right)$ во второй системе, и наоборот.

Найти систему уравнений и параметрические уравнения, задающие аффинную оболочку множества:

Пусть $a_{i}=\left(a_{i 1}, \ldots , a_{i n}\right)(i=1, \ldots , s)$ — точки в $n$-мерном аффинном пространстве. Доказать неравенства

и указать условия, при которых левые неравенства превращаются в равенства.

Доказать, что любые две прямые в аффинном пространстве содержатся в трехмерной плоскости.

Пусть $P_{1}=a_{1}+L_{1}, P_{2}=a_{2}+L_{2}$ — две плоскости в аффинном пространстве. Доказать, что:

Доказать, что для любых плоскостей $P_{1}, \ldots , P_{s}$ аффинного пространства

Доказать, что степень параллельности двух непересекающихся плоскостей $P_{1}, P_{2}$ равна:

Найти размерность аффинной оболочки объединения плоскостей $P_{1}$ и $P_{2}$ и размерность их пересечения или степень их параллельности, если:

Пусть $P_{1}=a_{1}+L_{1}$ и $P_{2}=a_{2}+L_{2}$ — две непересекающиеся плоскости. Доказать, что минимальная размерность плоскости, содержащей $P_{1}$ и параллельной $P_{2}$, равна

Пусть $P_{1}, P_{2}$ — две плоскости в аффинном пространстве $A$ над полем $K,\left\langle P_{1} \cup P_{2}\right\rangle =A, P_{1} \cap P_{2}=\varnothing$ и пусть $\lambda$ — фиксированный элемент из $K, \lambda \neq 0,1$. Найти геометрическое место точек $\lambda a_{1}+(1-\lambda ) a_{2}$, где $a_{1}$ и $a_{2}$ пробегают соответственно $P_{1}$ и $P_{2}$.

Пусть $P_{1}=a_{1}+L_{1}$ и $P_{2}=a_{2}+L_{2}$ — скрещивающиеся плоскости в аффинном пространстве. Доказать, что для любой точки $b \notin P_{1} \cup P_{2}$ существует не более одной прямой, проходящей через $b$ и пересекающей $P_{1}$ и $P_{2}$, причём такая прямая существует тогда и только тогда, когда $b \in \left\langle P_{1} \cup P_{2}\right\rangle$, но $\overline{a_{1} b} \notin L_{1}+L_{2}$ и $\overline{a_{2} b} \notin L_{1}+L_{2}$.

Найти прямую, проходящую через точку $b$ и пересекающую плоскости $P_{1}$ и $P_{2}$ :

Пусть $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ — аффинно независимые точки $n$-мерного аффинного пространства $A$. Доказать, что всякая точка $a \in A$ единственным образом представляется в виде $a=\sum_{i=0}^{n} \lambda_{i} a_{i}$, где $\sum_{i=0}^{n} \lambda_{i}=1$.

Пусть $\left(a_{0}, e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ — аффинная система координат в аффинном пространстве $(A, V), a_{i}=a_{0}+e_{i}(i=1, \ldots , n)$. Найти баричентрические координаты точки $x=\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ относительно системы точек $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$.

Пусть $(A, V)$ — аффинное пространство над полем $K$, $\left|K\right| \geqslant 3, P$ — непустое подмножество в $A$. Доказать, что $P$ является плоскостью тогда и только тогда, когда вместе с любыми двумя различными точками $a, b \in P$ в $P$ содержится прямая $\langle a, b\rangle$. Верно ли это утверждение, если $K$ — поле из двух элементов?

Доказать, что всякое аффинное преобразование, дифференциал которого не имеет собственного значения 1, обладает неподвижной точкой.

Доказать, что для любых двух точек $a, b$ аффинного пространства $(A, V)$ и любого невырожденного линейного оператора $\mathcal{A}$ в пространстве $V$ существует единственное аффинное преобразование $f$, удовлетворяющее условиям $f(a)=b$ и $D f=\mathcal{A}$, где $D f$ — дифференциал отображения $f$.

Доказать, что для любых аффинных преобразований $f$ и $g$

где $D f$ — дифференциал отображения $f$.

Пусть $f$ — аффинное отображение аффинного пространства $A$ в аффинное пространство $B$ над полем $K, a_{1}, \ldots , a_{s} \in A$, $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{s} \in K$. Доказать, что:

Пусть $f$ — аффинное преобразование аффинного пространства $(A, V)$ над полем $K$, имеющее конечный порядок $n$. Доказать, что если char $K \nmid n$, то $f$ имеет неподвижную точку. Верно ли это, если $\operatorname {char} K \mid n$?

Доказать, что если $G$ — конечная группа аффинных преобразований над полем $K$ и char $K \nmid \left|G\right|$, то преобразования из $G$ обладают общей неподвижной точкой.

Пусть $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ и $b_{0}, b_{1}, \ldots , b_{n}$ — два набора аффинно независимых точек в $n$-мерном аффинном пространстве $A$. Доказать, что существует единственное аффинное преобразование $f: A \rightarrow A$, при котором $f\left(a_{i}\right)=b_{i}(i=0,1, \ldots , n)$.

Найти все точки, прямые и плоскости трехмерного аффинного пространства, инвариантные относительно аффинного преобразования, переводящего точки $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ в точки $b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ соответственно:

Доказать, что две конфигурации $P_{1}, P_{2}$ и $Q_{1}, Q_{2}$ в аффинном пространстве аффинно конгруэнтны в том и только том случае, если $\operatorname {dim} P_{1}=\operatorname {dim} Q_{1}, \quad \operatorname {dim} P_{2}=\operatorname {dim} Q_{2}, \quad \operatorname {dim}\left\langle P_{1} \cup P_{2}\right\rangle =\operatorname {dim}\left\langle Q_{1} \cup Q_{2}\right\rangle$, и обе пары имеют одновременно пустое или непустое пересечение.

Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки $a, b, c$ соответственно в точки $a_{1}, b_{1}, c_{1}$, а прямую $l$ — в прямую $l_{1}$, если:

Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки $a, b, c, d$ соответственно в точки $a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}$, а прямую $l$ — в прямую $l_{1}$, если:

Пусть аффинное пространство $A$ равно $\left\langle P_{1} \cup P_{2}\right\rangle$, где $P_{1}$ и $P_{2}$ — скрещивающиеся плоскости, и $G$ — подгруппа в аффинной группе пространства $A$, состоящая из преобразований, оставляющих инвариантными $P_{1}$ и $P_{2}$. Найти орбиты действия $G$ на $A$.

Пусть $(A, V)$ — аффинное пространство над полем $K$. Биективное отображение $f: A \rightarrow A$ называется коллинеацией, если для любых трех точек $a, b, c \in A$, лежащих на одной прямой, точки $f(a)$, $f(b), f(c)$ также лежат на одной прямой. Доказать, что если $\left|K\right| \geqslant 3$, то образ и полный прообраз плоскости $P \subseteq A$ при коллинеации $f: A \rightarrow A$ являются плоскостями той же размерности, что и $P$. Верно ли утверждение, если $\left|K\right|=2$?

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $K$. Отображение $\varphi : V \rightarrow V$ называется полулинейным относительно некоторого автоморфизма $\sigma$ поля $K$, если

где $\quad x, y \in V, \alpha \in K$. Полуаффинным преобразованием аффинного пространства $(A, V)$ называется пара $(f, D f)$, где $f: A \rightarrow A, D f: V \rightarrow V$, удовлетворяющая условиям: $D f$ — биективное полулинейное отображение относительно некоторого автоморфизма поля $K$; $f(a+v)=f(a)+D f(v)$ для любых $a \in A, v \in V$. Доказать, что:

Пусть $(B, U)$ — плоскость аффинного пространства $(A, V)$ и $W$ — подпространство пространства $V$, дополнительное к $U$. Доказать, что всякая точка $a \in A$ единственным образом представляется в виде $a=b+w$, где $b \in B, w \in W$ и что отображение $a \mapsto b$ (проектирование на $B$ параллельно $W$) является аффинным отображением пространства $(A, V)$ в пространство $(B, U)$.

Доказать, что всякая плоскость аффинного пространства является пересечением конечного числа полупространств.

Доказать, что подмножество плоскости $P$ аффинного пространства $A$ является выпуклылм многогранником в $P$ тогда и только тогда, когда оно является выпуклым многогранником в $A$.

Пусть выпуклый многогранник $M$ в аффинном пространстве задается системой линейных неравенств

Доказать, что для всякого непустого подмножества $J \subseteq \left\{ 1, \ldots , k\right\}$ множество $M^{J}$, задаваемое условиями $f_{i}(x)=0$ при $i \in J, f_{i}(x) \geqslant 0$ при $i \notin J$, если оно непусто, является гранью многогранника $M$, и, обратно, всякая грань многогранника $M$ имеет вид $M^{J}$ для некоторого множества $J \subseteq \left\{ 1, \ldots , k\right\}$.

Пусть $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ — точки $n$-мерного аффинного пространства, находящиеся в общем положении, $H_{i}(i=0,1, \ldots , n)$ — гиперплоскость, проходящая через все эти точки, кроме $a_{i}$, и $H_{i}^{+}$ограничиваемое ею полупространство, содержащее точку $a_{i}$. Доказать, что

Доказать, что грани $n$-мерного симплекса

• это выпуклые оболочки всевозможных собственных подмножеств множества $\left\{ a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}\right\}$.

Найти грани $n$-мерного параллелепипеда, заданного в некоторой системе аффинных координат неравенствами $0 \leqslant x_{i} \leqslant 1(i=1$, $2, \ldots , n)$.

Найти вершины и описать форму выпуклого многогранника в трехмерном аффинном пространстве, заданного неравенствами

Найти вершины и описать форму сечений четырехмерного параллелепипеда, заданного неравенствами $0 \leqslant x_{i} \leqslant 1(i=1,2,3,4)$, плоскостями:

Доказать, что замыкание выпуклого множества выпукло.

Доказать, что открытое ядро $M^{0}$ телесного выпуклого множества $M$ выпукло и его замыкание содержит $M$.

Доказать, что образ и полный прообраз выпуклого множества при аффинном отображении являются выпуклыми множествами.

Доказать, что:

Доказать, что выпуклая оболочка множества $S$ состоит из всевозможных комбинаций вида $\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} a_{i}$, где

Пусть $M$ — выпуклое множество и $a \notin M$. Доказать, что

Пусть $S$ — подмножество $n$-мерного аффинного пространства $A$. Доказать, что если $\langle S\rangle =A$, то conv $S$ есть объединение $n$-мерных симплексов с вершинами в точках множества $S$.

Доказать, что выпуклая оболочка компактного множества компактна.

Пусть $M$ — выпуклое подмножество двумерного аффинного пространства и $a \notin M^{0}$ (см. 50.10). Доказать, что через точку $a$ можно провести прямую так, что множество $M$ будет лежать по одну сторону от неё.

Пусть $M$ — выпуклое подмножество $n$-мерного аффинного пространства $A$ и $a \notin M^{0}$ (см. 50.10). Доказать, что через точку $a$ можно провести гиперплоскость так, что множество $M$ будет лежать по одну сторону от неё.

Доказать, что через любую точку замкнутого выпуклого множества, не принадлежащую его открытому ядру, можно провести опорную гиперплоскость.

Доказать, что всякое замкнутое выпуклое множество $M$ есть пересечение (вообще говоря, бесконечного числа) полупространств.

Доказать, что всякий замкнутый выпуклый конус в векторном пространстве есть пересечение (вообще говоря, бесконечного числа) полупространств, границы которых проходят через нуль.

Пусть $f_{i}(i=1, \ldots , k)$ — аффинные линейные функции на аффинном пространстве $A$. Доказать, что система неравенств $f_{i}(x) \leqslant 0(i=1, \ldots , k)$ несовместна тогда и только тогда, когда существуют такие числа $\lambda_{i} \geqslant 0$, что $\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} f_{i}$ есть положительная константа.

Пусть $M$ — компактное выпуклое множество, содержащее окрестность нуля, в векторном пространстве $V$, рассматриваемом как аффинное пространство, и пусть

Доказать, что:

Доказать, что всякое компактное выпуклое множество совпадает с выпуклой оболочкой множества своих крайних точек.

Доказать, что максимум аффинной линейной функции на компактном выпуклом множестве достигается в некоторой крайней точке (но, может быть, достигается и в других точках).

Доказать, что крайние точки выпуклого многогранника это его вершины.

Доказать, что всякий ограниченный выпуклый многогранник совпадает с выпуклой оболочкой множества своих вершин.

Доказать, что выпуклая оболочка конечного числа точек является выпуклым многогранником.

Задать системой линейных неравенств выпуклую оболочку указанных точек четырехмерного аффинного пространства и найти трехмерные грани этого выпуклого многогранника: