52

Гиперповерхности второго порядка

[28/93%]
Показать
LaTeX
Задача 52.1

Доказать, что для любых x,y∈Vx, y \in V выполняется равенство

Q(a0+x+y)=q(y)+2f(x,y)+l(y)+Q(a0+x). Q\left(a_{0}+x+y\right)=q(y)+2 f(x, y)+l(y)+Q\left(a_{0}+x\right).
?
Задача 52.2

Доказать, что если b=a0+v(v∈V)b=a_{0}+v(v \in V) — центральная точка квадратичной функции QQ, то Q(b+x)=Q(b−x)Q(b+x)=Q(b-x) для любого x∈Vx \in V и линейная функция y↦2f(v,y)+l(y)y \mapsto 2 f(v, y)+l(y) нулевая.

?
Задача 52.3

Доказать, что множество центральных точек (центр) квадратичной функции QQ задается системой уравнений

∂Q∂xi=0(i=1,…,n). \frac{\partial Q}{\partial x_{i}}=0 \quad (i=1, \ldots , n).
?
Задача 52.4

Доказать, что при переходе от аффинной системы координат (a0,e1,…,en)\left(a_{0}, e_{1}, \ldots , e_{n}\right) к системе координат (a0,ei′,…,en′)\left(a_{0}, e_{i}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }\right) по формуле

[x1⋮xn]=T[x1′⋮xn′]+[t1⋮tn] \left[\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right]=T\left[\begin{smallmatrix} x_{1}^{\prime } \\ \vdots \\ x_{n}^{\prime } \end{smallmatrix}\right]+\left[\begin{smallmatrix} t_{1} \\ \vdots \\ t_{n} \end{smallmatrix}\right]

матрицы квадратичных форм QQ и qq в новой системе координат связаны с их матрицами в старой системе формулами

A~Q′=tT~A~QT~,Aq′=tTAqT, \widetilde{A}_{Q}^{\prime }={ }^{t} \widetilde{T} \widetilde{A}_{Q} \widetilde{T}, \quad A_{q}^{\prime }={ }^{t} T A_{q} T,

где

T~=[ccc∣ct1T⋮tn0…01] \widetilde{T}=\left[\begin{smallmatrix} {ccc|c} & & & t_{1} \\ & T & & \vdots \\ & & & t_{n} \\ \hline 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]
  • матрица аффинной замены координат.
?
Задача 52.5

Доказать, что точки пересечения аффинной прямой

xk=xk0+rkt(k=1,…,n) x_{k}=x_{k}^{0}+r_{k} t \quad (k=1, \ldots , n)

и квадрики Q(x1,…,xn)=0Q\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=0 определяются значениями tt, удовлетворяющими уравнению

At2+2Bt+C=0 A t^{2}+2 B t+C=0

где

A=q(r)=∑i,j=1naijrirj,C=Q(x10,…,xn0) A=q(r)=\sum _{i, j=1}^{n} a_{i j} r_{i} r_{j}, \quad C=Q\left(x_{1}^{0}, \ldots , x_{n}^{0}\right) B=∑i=1n∂Q∂xi(x10,…,xn0)ri=∑i,j=1n(aijxj0+bi)ri. B=\sum _{i=1}^{n} \frac{\partial Q}{\partial x_{i}}\left(x_{1}^{0}, \ldots , x_{n}^{0}\right) r_{i}=\sum _{i, j=1}^{n}\left(a_{i j} x_{j}^{0}+b_{i}\right) r_{i}.
?
Задача 52.6

Найти центр квадратичной функции над полем R\mathbb {R}, заданной в некоторой аффинной системе координат:

?
(а)

2∑1⩽i<j⩽nxixj+2∑i=1nxi+1=02 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}+2 \sum_{i=1}^{n} x_{i}+1=0;

(б)

∑i=1nxi2+2∑1⩽i<j⩽nxixj+2∑i=1nxi+1=0\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}+2 \sum_{i=1}^{n} x_{i}+1=0;

(в)

∑i=1n−1xixi+1+x1+xn+1=0\sum_{i=1}^{n-1} x_{i} x_{i+1}+x_{1}+x_{n}+1=0;

(г)

∑i=1nxi2+2∑1⩽i<j⩽nxixj+x1=0\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}+x_{1}=0.

Задача 52.7

Две квадратичные функции Qi:A→K(i=1,2)Q_{i}: A \rightarrow K(i=1,2) называются эквивалентныли, если существует такое аффинное преобразование f:A→Af: A \rightarrow A, что Q2(x)=λQ1(f(x))Q_{2}(x)=\lambda Q_{1}(f(x)) для некоторого λ∈K∗\lambda \in K^{*} и всех x∈Ax \in A. Найти число классов эквивалентных квадратичных функций над полем Z3\mathbf{Z}_{3}, если:

?
(а)

размерность AA равна двум;

(б)

размерность AA равна трем.

Задача 52.8

Найти число классов эквивалентных квадратичных функций на nn-мерном аффинном пространстве:

?
(а)

над полем C\mathbb {C};

(б)

над полем R\mathbb {R}.

Задача 52.9

Пусть точка a0a_{0} аффинного пространства (A,V)(A, V) лежит на квадрике XX и вектор u∈Vu \in V определяет асимптотическое направление. Доказать, что прямая x=a0+tux=a_{0}+t u либо целиком лежит на поверхности XX, либо пересекает её ровно в одной точке.

?
Задача 52.10

Пусть u∈Vu \in V — вектор неасимптотического направления квадрики XQX_{Q}, т.е. q(u)≠0q(u) \neq 0. Доказать, что середины хорд квадрики XQX_{Q}, параллельных вектору uu, лежат в одной гиперплоскости, и найти её уравнение.

?
Задача 52.11

Доказать, что направление uu не является асимптотическим для квадрики XX, заданной уравнением в аффинных координатах, и найти уравнение гиперплоскости, сопряжённой к этому направлению:

?
(а)

u=(1,1,1,1),X:x1x2+x2x3+x3x4−x1−x4=0u=(1,1,1,1), \quad X: x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}-x_{1}-x_{4}=0;

(б)

u=(1,0,…,0,1),∑1⩽i<j⩽nxixj+x1+xn=1u=(1,0, \ldots , 0,1), \quad \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}+x_{1}+x_{n}=1.

Задача 52.12

Доказать, что если центр квадрики непуст, то он содержится в гиперплоскости, сопряжённой к любому неасимптотическому направлению.

?
Задача 52.13

Доказать, что множество особых точек квадрики есть её пересечение со своим центром.

?
Задача 52.14

Доказать, что особые точки квадрики, если они существуют, образуют плоскость, и написать её уравнения.

?
Задача 52.15

Найти точки пересечения квадрики с прямой:

?
(а)

x32+x1x2−x2x3−5x1=0x_{3}^{2}+x_{1} x_{2}-x_{2} x_{3}-5 x_{1}=0, x1=5−x23=10−x37;x_{1}=\frac{5-x_{2}}{3}=\frac{10-x_{3}}{7} ;

(б)

5x12+9x22+9x32−12x1x2−6x1x3+12x1−36x3=05 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}+9 x_{3}^{2}-12 x_{1} x_{2}-6 x_{1} x_{3}+12 x_{1}-36 x_{3}=0, x13=x22=x3−4\frac{x_{1}}{3}=\frac{x_{2}}{2}=x_{3}-4;

(в)

x12−2x22+x32−2x1x2−x2x3+4x1x3+3x1−5x3=0x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-x_{2} x_{3}+4 x_{1} x_{3}+3 x_{1}-5 x_{3}=0, x1+32=x2,x3=0\frac{x_{1}+3}{2}=x_{2}, \quad x_{3}=0.

Задача 52.16

Найти все прямые, лежащие на квадрике

x12+x22+5x32−6x1x2+2x2x3−2x1x3−12=0 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}-6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}-12=0

и параллельные прямой

x1−12=x2+31=−x3. \frac{x_{1}-1}{2}=\frac{x_{2}+3}{1}=-x_{3}.
?
Задача 52.17

Найти прямые, проходящие через начало координат и лежащие на комплексной квадрике

x22+3x1x2+2x2x3−x1x3+3x1+2x3=0 x_{2}^{2}+3 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-x_{1} x_{3}+3 x_{1}+2 x_{3}=0
?
Задача 52.18

Найти уравнение квадрики QQ после переноса начала координат в точку O′O^{\prime } :

?
(а)

Q:x12+5x22+4x32+4x1x2−2x2x3−4x1x3−2x1−10x2+4x3=0Q: x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+4 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}-4 x_{1} x_{3}-2 x_{1}-10 x_{2}+4 x_{3}=0, O′=(3,0,1);O^{\prime }=(3,0,1) ;

(б)

Q:x12+2x22+x32−4x1x2+6x2x3−2x1x3+10x1−5=0Q: x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+6 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}+10 x_{1}-5=0, O′=(−1,1,2)O^{\prime }=(-1,1,2).

Задача 52.19

Найти аффинный тип кривой, являющейся пересечением квадрики и плоскости:

?
(а)

3x22+4x32+24x1+12x2−72x3+360=03 x_{2}^{2}+4 x_{3}^{2}+24 x_{1}+12 x_{2}-72 x_{3}+360=0, x1−x2+x3=1x_{1}-x_{2}+x_{3}=1

(б)

x12+5x22+x32+2x1x2+2x2x3+6x1x3−2x1+6x2+2x3=0x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+6 x_{1} x_{3}-2 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}=0, 2x1−x2+x3=02 x_{1}-x_{2}+x_{3}=0

(в)

x12−3x22+x32−6x1x2+2x2x3−3x2+x3−1=0x_{1}^{2}-3 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-3 x_{2}+x_{3}-1=0, 2x1−3x2−x3+2=02 x_{1}-3 x_{2}-x_{3}+2=0;

(г)

x12+x22+x32−6x1−2x2+9=0x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-6 x_{1}-2 x_{2}+9=0, x1+x2−2x3−1=0x_{1}+x_{2}-2 x_{3}-1=0.

Задача 52.20

Найти аффинный и метрический типы квадрики, заданной в евклидовом пространстве Rn+1\mathbb {R}^{n+1} уравнениями:

?
(а)

∑i=1nxi2+∑1⩽i<j⩽nxixj+x1+xn+1=0;\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}+x_{1}+x_{n+1}=0 ;

(б)

∑1⩽i<j⩽nxixj+x1+x2+…+xn=0\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}+x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=0.

Задача 52.21

Определить аффинный вид квадрики и найти её центр:

?
(а)

4x12+2x22+12x32−4x1x2+8x2x3+12x1x3+14x1−10x2+7=04 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+12 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3}+12 x_{1} x_{3}+14 x_{1}-10 x_{2}+7=0;

(б)

5x12+9x22+9x32−12x1x2−6x1x3+12x1−36x3=05 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}+9 x_{3}^{2}-12 x_{1} x_{2}-6 x_{1} x_{3}+12 x_{1}-36 x_{3}=0;

(в)

5x12+2x22+2x32−2x1x2−4x2x3+2x1x3−4x2−4x3+4=05 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}-4 x_{2}-4 x_{3}+4=0;

(г)

x12−2x22+x32+6x2x3−4x1x3−8x1+10x2=0x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+6 x_{2} x_{3}-4 x_{1} x_{3}-8 x_{1}+10 x_{2}=0;

(д)

x12+2x1x2+x22−x32+2x3−1=0x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+2 x_{3}-1=0;

(е)

3x12+3x22+3x32−6x1+4x2−1=03 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}-6 x_{1}+4 x_{2}-1=0;

(ж)

3x12+3x22−6x1+4x2−1=03 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}-6 x_{1}+4 x_{2}-1=0;

(з)

3x12+3x22−3x32−6x1+4x2+4x3+3=03 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}-6 x_{1}+4 x_{2}+4 x_{3}+3=0;

(и)

4x12+x22−4x1x2−36=04 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4 x_{1} x_{2}-36=0;

(к)

x12+4x22+9x32−6x1+8x2−36x3=0x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+9 x_{3}^{2}-6 x_{1}+8 x_{2}-36 x_{3}=0;

(л)

4x12−x22−x32+32x1−12x3+44=04 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+32 x_{1}-12 x_{3}+44=0;

(м)

3x12−x22+3x32−18x1+10x2+12x3+14=03 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}-18 x_{1}+10 x_{2}+12 x_{3}+14=0;

(н)

6x12+6x32+5x1+6x2+30x3−11=06 x_{1}^{2}+6 x_{3}^{2}+5 x_{1}+6 x_{2}+30 x_{3}-11=0.

Задача 52.22

Определить метрический тип квадрики в евклидовом пространстве и выяснить, является ли она поверхностью вращения:

?
(а)

x32=2x1x2x_{3}^{2}=2 x_{1} x_{2};

(б)

x3=x1x2x_{3}=x_{1} x_{2};

(в)

x32=3x1+4x2x_{3}^{2}=3 x_{1}+4 x_{2};

(г)

x32=3x12+4x1x2x_{3}^{2}=3 x_{1}^{2}+4 x_{1} x_{2};

(д)

x32=x12+2x1x2+x22+1x_{3}^{2}=x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}+1;

(е)

x12+4x22+5x32+4x1x2+4x3=0x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+4 x_{3}=0;

(ж)

x12+2x1+3x2+4x3+5=0x_{1}^{2}+2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}+5=0;

(з)

x3=x12+2x1x2+x22+1x_{3}=x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}+1;

(и)

x12−2x22+x32+4x1x2−8x1x3−4x2x3−14x1−14x2+14x3+18=0x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}-14 x_{1}-14 x_{2}+14 x_{3}+18=0;

(к)

5x12+8x22+5x32−4x1x2+8x1x3+4x2x3−6x1+6x2+6x3+10=05 x_{1}^{2}+8 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+8 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}-6 x_{1}+6 x_{2}+6 x_{3}+10=0;

(л)

2x1x2+2x1x3+2x2x3+2x1+2x2+2x3+1=02 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+1=0;

(м)

3x12+3x22+3x32−2x1x2−2x1x3−2x2x3−2x1−2x2−2x3−1=03 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}-2 x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}-1=0;

(н)

2x12+6x22+2x32+8x1x3−4x1−8x2+3=02 x_{1}^{2}+6 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+8 x_{1} x_{3}-4 x_{1}-8 x_{2}+3=0;

(о)

4x12+x22+4x32−4x1x2−8x1x3+4x2x3−28x1+2x2+16x3+45=04 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}-28 x_{1}+2 x_{2}+16 x_{3}+45=0;

(п)

2x12+5x22+2x32−2x1x2−4x1x3+2x2x3+2x1−10x2−2x3−1=02 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1}-10 x_{2}-2 x_{3}-1=0;

(р)

7x12+7x22+16x32−10x1x2−8x1x3−8x2x3−16x1−16x2−8x3+72=07 x_{1}^{2}+7 x_{2}^{2}+16 x_{3}^{2}-10 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}-16 x_{1}-16 x_{2}-8 x_{3}+72=0;

(с)

4x12+4x22−8x32−10x1x2+4x1x3+4x2x3−16x1−16x2+10x3−2=04 x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}-8 x_{3}^{2}-10 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}-16 x_{1}-16 x_{2}+10 x_{3}-2=0;

(т)

2x12−7x22−4x32+4x1x2−16x1x3+20x2x3+2 x_{1}^{2}-7 x_{2}^{2}-4 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-16 x_{1} x_{3}+20 x_{2} x_{3}+

+60x1−12x2+12x3−90=0; +60 x_{1}-12 x_{2}+12 x_{3}-90=0 ;
(у)

2x1x2+2x1x3−2x1x4−2x2x3+2x2x4+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+

+2x3x4−2x2−4x3−6x4+5=0; +2 x_{3} x_{4}-2 x_{2}-4 x_{3}-6 x_{4}+5=0 ;
(ф)

3x12+3x22+3x32+3x42−2x1x2−2x1x3−2x1x4−3 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+3 x_{4}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-

−2x2x3−2x2x4−2x3x4=36 -2 x_{2} x_{3}-2 x_{2} x_{4}-2 x_{3} x_{4}=36
Задача 52.23

При каких значениях параметра aa квадрика

x12+x22+x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3=4a x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}=4 a

является эллипсоидом?

?
Задача 52.24

При каком необходимом и достаточном условии два гиперболоида имеют общий асимптотический конус?

?
Задача 52.25

Найти аффинный и метрический типы квадрики, заданной в евклидовом пространстве Rn+1\mathbb {R}^{n+1} уравнением

a∑i=1nxi2+2b∑1⩽i<j⩽nxixj+2c∑i=1n+1xi=0 a \sum _{i=1}^{n} x_{i}^{2}+2 b \sum _{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}+2 c \sum _{i=1}^{n+1} x_{i}=0

в зависимости от значений параметров a,ba, b и cc.

?
Задача 52.26

Квадрика называется kk-планарной, если через любую её точку проходит хотя бы одна kk-мерная плоскость, целиком принадлежащая квадрике, но никакая (k+1)(k+1)-мерная плоскость не содержится в квадрике. Доказать, что:

?
(а)

квадрика типа In,s′\mathrm{I}_{n, s}^{\prime } над Rk\mathbb {R} \quad k-планарна, где k=min⁡(s,n−s)k=\min (s, n-s);

(б)

невырожденная квадрика типа In,s\mathrm{I}_{n, s} над R(s−1)\mathbb {R}(s-1)-планарна, если 0⩽s⩽n/20 \leqslant s \leqslant n / 2, и (n−s)(n-s)-планарна, если s>n/2s>n / 2;

(в)

невырожденная квадрика типа IIn,s\mathrm{II}_{n, s} над Rs\mathbb {R} s-планарна, если 0⩽s⩽n/20 \leqslant s \leqslant n / 2, и (n−1−s)(n-1-s)-планарна, если s>n/2s>n / 2.

Задача 52.27

Выяснить, при каких значениях параметров a,b,c≠0a, b, c \neq 0 на квадрике

a∑i=1nxi2+2b∑1⩽i<j⩽nxixj+2c∑i=1n+1xi=0 a \sum _{i=1}^{n} x_{i}^{2}+2 b \sum _{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}+2 c \sum _{i=1}^{n+1} x_{i}=0

в пространстве Rn+1\mathbb {R}^{n+1} лежит плоскость наибольшей размерности, и найти размерность этой плоскости.

?
Задача 52.28

Пусть (e1,…,en)\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right) — базис векторного пространства VV над полем KK характеристики, отличной от 2.

?
(а)

Доказать, что при n=4n=4 все разложимые элементы v1∧v2v_{1} \wedge v_{2} в Λ2V\Lambda^{2} V удовлетворяют невырожденному однородному квадратичному уравнению Q(x0,…,x5)=0Q\left(x_{0}, \ldots , x_{5}\right)=0 (квадрика Плюккера).

(б)

Доказать, что все разложимые векторы в пространстве ⋀rV\bigwedge^{r} V, 2⩽r⩽n−22 \leqslant r \leqslant n-2, удовлетворяют системе однородных квадратичных уравнений

Qi(x0,…,x(nr)−1)=0 Q_{i}\left(x_{0}, \ldots , x_{\binom {n}{r}-1}\right)=0
(в)

Пусть на пространстве VV имеется невырожденная квадратичная форма QQ. Тогда на пространстве ⋀pV\bigwedge^{p} V можно ввести квадратичную форму Q(p)Q^{(p)} по формулам

Q(0)=1,Q(p)(v1∧…∧vp)=det⁡[Q(v1,v1)…Q(v1,vp)…………………Q(vp,v1)…Q(vp,vp)]. \begin{gathered} Q^{(0)}=1, \\ Q^{(p)}\left(v_{1} \wedge \ldots \wedge v_{p}\right)=\operatorname {det}\left[\begin{smallmatrix} Q\left(v_{1}, v_{1}\right) & \ldots & Q\left(v_{1}, v_{p}\right) \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ Q\left(v_{p}, v_{1}\right) & \ldots & Q\left(v_{p}, v_{p}\right) \end{smallmatrix}\right]. \end{gathered}

Доказать, что полученное продолжение формы QQ на алгебру ∧(V)\wedge (V) является невырожденной квадратичной формой на ∧(V)\wedge (V).

(г)

Ориентацией nn-мерного векторного пространства с невырожденной квадратичной формой QQ называется элемент d∈ΛnVd \in \Lambda^{n} V, для которого Q(n)(d)=1Q^{(n)}(d)=1. Доказать, что если det⁡Q\operatorname {det} Q является квадратом в поле KK, то на VV имеются ровно две ориентации, и для любой из них (скажем, dd) можно определить изоморфизм векторных пространств λd:V→⋀n−1V\lambda_{d}: V \rightarrow \bigwedge^{n-1} V, удовлетворяющий соотношению

v∧x=Q(v,λd−1x)d=Q(n−1)(λdv,x)d,v∈⋀n−1V,x∈V v \wedge x=Q\left(v, \lambda _{d}^{-1} x\right) d=Q^{(n-1)}\left(\lambda _{d} v, x\right) d, \quad v \in \bigwedge ^{n-1} V, x \in V

(QQ — билинейная форма, соответствующая квадратичной форме QQ).

(д)

Используя изоморфизм λd\lambda_{d} из предыдущего пункта, определим в случае dim⁡V=3\operatorname {dim} V=3 билинейное отображение V×V→VV \times V \rightarrow V с помощью формулы

[x,y]=λd−1(x∧y),x,y∈V. [x, y]=\lambda _{d}^{-1}(x \wedge y), \quad x, y \in V.

Доказать, что так определенное умножение в VV наделяет VV структурой алгебры Ли над KK.