Проективные пространства

Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскости, переводящее заданные прямые в заданные прямые:

Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскости, переводящее заданные кривые в заданные кривые:

Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскости, переводящее окружность $x^{2}+y^{2}=1$ в себя и:

Найти какое-нибудь проективное преобразование пространства, переводящее заданную квадрику в заданную квадрику:

Найти максимальную размерность плоскостей, содержащихся в квадрике:

Доказать, что над полем комплексных чисел любое проективное преобразование имеет по крайней мере одну неподвижную точку.

Доказать, что в вещественном проективном пространстве чётной размерности любое проективное преобразование имеет неподвижную точку.

Доказать, что если проективное преобразование $n$-мерного проективного пространства над бесконечным полем имеет конечное число неподвижных точек, то это число не превосходит $n+1$.

Доказать, что для всякого конечного множества точек $A$ в проективном пространстве над бесконечным полем существует содержащая его аффинная карта $A$.

Доказать, что любое $(k-1)$-мерное подпространство в $\mathbb {P}^{n}$ можно покрыть $k$ аффинными картами и нельзя покрыть меньшим числом аффинных карт.

Найти число точек $n$-мерного проективного пространства над полем из $q$ элементов.

Найти число $k$-мерных подпространств $n$-мерного проективного пространства над полем из $q$ элементов.

Найти число проективных преобразований $n$-мерного проективного пространства над полем из $q$ элементов.

Пусть $M_{1}$ и $M_{2}$ — непересекающиеся плоскости в $\mathbb {P}^{n}, L_{1}$ и $L_{2}$ — непересекающиеся плоскости, имеющие те же размерности. Доказать, что существует проективное преобразование, которое переводит $M_{1}$ в $L_{1}$ и $M_{2}$ в $L_{2}$.

Доказать, что если проективное преобразование переводит некоторую аффинную карту в себя, то оно индуцирует аффинное преобразование на этой карте.

Доказать, что всякое биективное преобразование двумерной проективной плоскости, переводящее прямые в прямые и сохраняющее двойное отношение точек на каждой прямой, является проективным.

Доказать, что с помощью подходящего проективного преобразования любые четыре прямые на проективной плоскости, из которых никакие три не пересекаются в одной точке, можно перевести в любые четыре прямые, обладающие тем же свойством.

Доказать, что существует проективное преобразование плоскости, сохраняющее заданный треугольник и переводящее заданную точку внутри этого треугольника в любую другую заданную точку внутри него.

Доказать, что существует преобразование плоскости, сохраняющее окружность и переводящее заданную точку внутри этой окружности в любую другую заданную точку внутри нее.

Доказать, что с помощью одной линейки нельзя построить центр заданной окружности.

Доказать с помощью проективных преобразований, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками противоположных сторон, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда эти точки являются точками касания некоторого вписанного в треугольник эллипса.

На картине изображена аллея. Расстояние от первого дерева до линии горизонта вдоль линии аллеи обозначим через $l$, pacстояние между $k$-м и $(k+1)$-м деревьями — через $a_{k}$. Выразить:

Проективное преобразование плоскости называется гомологией, если оно сохраняет все точки, лежащие на некоторой прямой (оси гомологии), и все прямые, проходящие через некоторую точку (чентр гомологии). Доказать, что:

Доказать, что существует единственное проективное преобразование плоскости, сохраняющее окружность $x^{2}+y^{2}=1$ и переводящее заданные три точки на этой окружности в заданные три точки, также лежащие на этой окружности.

Доказать, что если прямые $A A^{\prime }, B B^{\prime }$, $C C^{\prime }$ пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых $A B$ и $A^{\prime } B^{\prime }, B C$ и $B^{\prime } C^{\prime }, A C$ и $A^{\prime } C^{\prime }$ лежат на одной прямой.

Доказать, что точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в окружность, лежат на одной прямой.

Доказать, что точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вершины которого находятся поочередно на двух заданных прямых, лежат на одной прямой.

Пусть $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ — прямые на плоскости, проходящие через точку $O, l$ — прямая, не проходящая через $O$. Доказать, что двойное отношение точек пересечения прямых $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ с прямой $l$ не зависит от $l$ (двойное отношение прямых $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$).

Пусть $f$ — невырожденная билинейная функция на $(n+1)$-мерном векторном пространстве $V$. Каждому $(k+1)$-мерному подпространству $U \subset V$ сопоставим $(n-k)$-мерное подпространство

Этим соответствием в проективном пространстве $\mathbb {P}\left(V\right)$ определено отображение $K_{f}$, которое каждой $k$-мерной плоскости сопоставляет $(n-k-1)$-мерную плоскость (корреляция относительно функции $f$).

Доказать, что:

Доказать, что всякая корреляция проективной прямой действует на точки так же, как некоторое проективное преобразование.

Доказать, что корреляция на проективной плоскости сохраняет двойное отношение.

Доказать, что корреляция на проективной плоскости относительно симметрической билинейной функции $f$ переводит каждую точку кривой $f(x, x)=0$ в касательную к этой кривой, проходящую через данную точку.

Сформулировать теорему (теорема Брианшона), получаемую из теоремы Паскаля (см. 53.26) применением корреляции.

С помощью понятия корреляции доказать, что точки пересечения касательных к данной окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, проходящих через заданную точку, лежат на одной прямой.